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1、1专题突破练专题突破练 1616 空间中的垂直与几何体的体积空间中的垂直与几何体的体积1 1.(2018 江苏卷,15)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB,AB1B1C1. 求证:(1)AB平面A1B1C; (2)平面ABB1A1平面A1BC.2 2.如图,四面体ABCD中,ABC是正三角形,AD=CD. (1)证明:ACBD; (2)已知ACD是直角三角形,AB=BD,若E为棱BD上与D不重合的点,且AEEC,求四面体 ABCE与四面体ACDE的体积比.3 3.(2018 江西南昌三模,文 18)如图,多面体ABCDEF中,四边形ABCD为正方形,2AB=2,AE=3,D
2、E=,EF=,cosCDE=,且EFBD.(1)证明:平面ABCD平面EDC; (2)求三棱锥A-EFC的体积.4 4.如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,点E,F分别在AD,CD上,AE=CF,EF交BD于点 H.将DEF沿EF折到DEF的位置. (1)证明:ACHD;(2)若AB=5,AC=6,AE=,OD=2,求五棱锥D-ABCFE的体积.35 5.(2018 河南郑州三模,文 19)如图,四棱锥E-ABCD中,ADBC,AD=AB=AE= BC=1,且BC底面ABE,M为棱CE的中点, (1)求证:直线DM平面CBE; (2)当四面体D-ABE的体积最大时,求四棱锥E-ABC
3、D的体积.6 6.如图,在三棱台ABC-DEF中,平面BCFE平面ABC,ACB=90,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3. (1)求证:BF平面ACFD; (2)求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值.7 7.(2018 全国卷 3,文 19)如图,矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直,M是上异于C,D的点.4(1)证明:平面AMD平面BMC; (2)在线段AM上是否存在点P,使得MC平面PBD?说明理由.8 8.如图(1),在直角梯形ABCD中,ADBC,ABC=90,AB=BC=2,AD=6,CEAD于点E,把DEC 沿CE折到DEC的位置,使DA=2,如图(2).若G,H分别
4、为DB,DE的中点.(1)求证:GHDA; (2)求三棱锥C-DBE的体积.5参考答案专题突破练 1616 空间中的垂直与 几何体的体积 1 1.证明 (1)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,ABA1B1. 因为AB平面A1B1C,A1B1平面A1B1C,所以AB平面A1B1C.(2)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,四边形ABB1A1为平行四边形. 又因为AA1=AB,所以四边形ABB1A1为菱形,因此AB1A1B. 又因为AB1B1C1,BCB1C1, 所以AB1BC. 又因为A1BBC=B,A1B平面A1BC,BC平面A1BC, 所以AB1平面A1BC. 因为AB1平面A
5、BB1A1, 所以平面ABB1A1平面A1BC. 2 2.(1)证明 取AC的中点O,连接DO,BO.因为AD=CD,所以ACDO. 又由于ABC是正三角形, 所以ACBO. 从而AC平面DOB,故ACBD. (2)解 连接EO. 由(1)及题设知ADC=90, 所以DO=AO. 在 RtAOB中,BO2+AO2=AB2. 又AB=BD,所以BO2+DO2=BO2+AO2=AB2=BD2,故DOB=90.6由题设知AEC为直角三角形,所以EO= AC.又ABC是正三角形,且AB=BD,所以EO= BD.故E为BD的中点,从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的 ,四面体ABCE的体积为
6、四面体ABCD的体积的 ,即四面体ABCE与四面体ACDE的体积之比为 11.3 3.(1)证明 AB=2,AE=3,DE=,由勾股定理得ADDE.又正方形ABCD中ADDC,且DEDC=D, AD平面EDC.AD面ABCD, 平面ABCD平面EDC.(2)解 由已知 cosCDE=,连接AC交BD于G.作OECD于O, 则OD=DEcosCDE=1,OE=2. 又由(1)知,平面ABCD平面EDC,平面ABCD平面EDC=CD,OE平面EDC,得OE面ABCD.由EFBD,EF=,知四边形DEFG为平行四边形,即DEFG,而VA-EFC=VE-AFC,进而VA-EFC=VE-AFC=VD-A
7、FC=VF-ADC.又由EFBD,VF-ADC=VE-ADC=222=,所以,三棱锥A-EFC的体积为.4 4.(1)证明 由已知得ACBD,AD=CD.又由AE=CF得,故ACEF.由此得EFHD,EFHD,所以ACHD.7(2)解 由EFAC得.由AB=5,AC=6 得DO=BO=4.所以OH=1,DH=DH=3.于是OD2+OH2=(2)2+12=9=DH2,故ODOH.由(1)知ACHD,又ACBD,BDHD=H, 所以AC平面BHD,于是ACOD.又由ODOH,ACOH=O, 所以,OD平面ABC.又由得EF= .五边形ABCFE的面积S= 68-3=.所以五棱锥D-ABCFE的体积
8、V=2.5 5.解 (1)AE=AB,设N为EB的中点,ANEB. 又BC平面AEB,AN平面AEB,BCAN. 又BCBE=B,AN平面BCE.MNBC,MN= BC,ADMN. 四边形ANMD为平行四边形,DMAN, DM平面CBE. (2)设EAB=,AD=AB=AE=1,且AD底面ABE,则四面体D-ABE的体积V=AEABsin AD=sin ,当=90,即AEAB时体积最大. 又BC平面AEB,AE平面AEB,AEBC, BCAB=B,AE平面ABC,VE-ABCD=(1+2)11= .6 6.(1)证明 延长AD,BE,CF相交于一点K,如图所示.8因为平面BCFE平面ABC,且
9、ACBC,所以AC平面BCK,因此BFAC. 又因为EFBC,BE=EF=FC=1,BC=2,所以BCK为等边三角形,且F为CK的中点,则BFCK. 所以BF平面ACFD. (2)解 因为BF平面ACK,所以BDF是直线BD与平面ACFD所成的角.在 RtBFD中,BF=,DF=,得 cosBDF=,所以直线BD与平面ACFD所成角的余弦值为.7 7.解 (1)由题设知,平面CMD平面ABCD,交线为CD.因为BCCD,BC平面ABCD,所以BC 平面CMD,故BCDM.因为M为上异于C,D的点,且DC为直径,所以DMCM.又BCCM=C,所以DM平面BMC.而DM平面AMD,故平面AMD平面BMC. (2)当P为AM的中点时,MC平面PBD. 证明如下:连接AC交BD于O.因为ABCD为矩形,所以O为AC中点. 连接OP,因为P为AM中点,所以MCOP.MC平面PBD,OP平面PBD,所以MC平面PBD.8 8.(1)证明 连接BE,GH,AC,在AED中,ED2=AE2+AD2,可得ADAE.又DC=2,AC=2,可得AC2+AD2=CD2,可得ADAC.9因为AEAC=A,所以AD平面ABCE,所以ADBE. 又G,H分别为DB,DE的中点, 所以GHBE,所以GHDA. (2)解 设三棱锥C-DBE的体积为V,则V= SBCEAD=222.