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1、1专题突破练专题突破练 1515 空间中的平行与几何体的体积空间中的平行与几何体的体积1 1.如图,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为 2,B1BA=,M,N分别为A1C1与B1C的中点,且侧面ABB1A1底面ABC.(1)证明:MN平面ABB1A1; (2)求三棱柱B1-ABC的高及体积.2 2.(2018 河北武邑中学质检一,文 18)如图,四棱锥V-ABCD中,底面ABCD是边长为 2 的正方 形,其他四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形,E为AB的中点.(1)在侧棱VC上找一点F,使BF平面VDE,并证明你的结论; (2)在(1)的条件下求三棱锥E-BDF的体积.23 3.如图
2、,在四棱锥P-ABCD中,ABC=BAD=90,BC=2AD,PAB与PAD都是边长为 2 的等边 三角形,E是BC的中点. (1)求证:AE平面PCD; (2)求四棱锥P-ABCD的体积.4 4.(2018 辽宁抚顺一模,文 18)如图,在四棱锥P-ABCD中,PD平面ABCD,底面ABCD为梯形, ABCD,BAD=60,PD=AD=AB=2,CD=4,E为PC的中点.(1)证明:BE平面PAD; (2)求三棱锥E-PBD的体积.35 5.(2018 全国卷 2,文 19)如图,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=2,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中 点. (1)证明:PO平面ABC
3、; (2)若点M在棱BC上,且MC=2MB,求点C到平面POM的距离.6 6.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1平面ABC,点M是棱CC1的中点. (1)在棱AB上是否存在一点N,使MN平面AB1C1?若存在,请确定点N的位置.若不存在,请 说明理由; (2)当ABC是等边三角形,且AC=CC1=2 时,求点M到平面AB1C1的距离.47 7.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB平面BCC1B1,BCC1=,AB=BB1=2,BC=1,D为CC1的中点.(1)求证:DB1平面ABD; (2)求点A1到平面ADB1的距离.8 8.(2018 百校联盟四月联考,文 19)如图,在几
4、何体ABCDEF中,底面CDEF是平行四边形, ABCD,AB=1,CD=2,DE=2,DF=4,DB=2,DB平面CDEF,CE与DF交于点O.(1)求证:OB平面ACF; (2)求三棱锥B-DEF的表面积.5参考答案专题突破练 1515 空间中的平行与 几何体的体积 1 1.(1)证明 取AC的中点P,连接PN,PM.在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分别为A1C1与B1C的中点,PNAB1,PMAA1. PMPN=P,AB1AA1=A,PM,PN平面PMN,AB1,AA1平面AB1A1,平面PMN平面AB1A1. MN平面PMN, MN平面ABB1A1. (2)解 设O为AB的中点
5、,连接B1O,由题意知B1BA是正三角形,则B1OAB. 侧面ABB1A1底面ABC,且交线为AB,B1O平面ABC,三棱柱B1-ABC的高B1O=AB1=.SABC= 22sin 60=,三棱柱B1-ABC的体积V= SABCB1O=1.2 2.解 (1)F为VC的中点.取CD的中点H,连接BH,HF,6ABCD为正方形,E为AB的中点,BEDH,BHDE. FHVD,平面BHF平面VDE. BF平面VDE.(2)F为VC的中点,SBDE= S正方形ABCD,VE-BDF=VF-BDE= VV-ABCD.V-ABCD为正四棱锥,V在平面ABCD内的射影为AC的中点O,VA=,AO=,VO=.
6、VV-ABCD= 22,VE-BDF=.3 3.(1)证明 ABC=BAD=90,ADBC. BC=2AD,E是BC的中点,AD=CE, 四边形ADCE是平行四边形,AECD. 又AE平面PCD,CD平面PCD, AE平面PCD. (2)解 连接DE,BD,设AEBD=O,连接OP,则四边形ABED是正方形, O为BD的中点. PAB与PAD都是边长为 2 的等边三角形,BD=2,OB=,OA=,PA=PB=2,OPOB,OP=,OP2+OA2=PA2,即OPOA.又OA平面ABCD,BD平面ABCD,OAOB=O,7OP平面ABCD.VP-ABCD= S梯形ABCDOP=(2+4)2=2.4
7、 4.(1)证明 设F为PD的中点,连接EF,FA.因为EF为PDC的中位线,所以EFCD,且EF= CD=2.又ABCD,AB=2,所以ABEF, 故四边形ABEF为平行四边形,所以BEAF.又AF平面PAD,BE平面PAD,所以BE平 面PAD.(2)解 因为E为PC的中点,所以三棱锥VE-PBD=VE-BCD= VP-BCD.又AD=AB,BAD=60,所以ABD为等边三角形.因此BD=AB=2. 又CD=4,BDC=BAD=60,所以BDBC,因为PD平面ABCD,所以三棱锥P-BCD的体积VP-BCD= PDSBCD= 2 22.所以三棱锥E-PBD的体积VE-PBD=.5 5.解
8、(1)因为AP=CP=AC=4,O为AC的中点,所以OPAC,且OP=2.连接OB,因为AB=BC=AC,所以ABC为等腰直角三角形,且OBAC,OB= AC=2.由OP2+OB2=PB2知,OPOB. 由OPOB,OPAC知PO平面ABC. (2)作CHOM,垂足为H.又由(1)可得OPCH,所以CH平面POM.故CH的长为点C到 平面POM的距离.由题设可知OC= AC=2,CM= BC=,ACB=45.所以OM=,CH=8.所以点C到平面POM的距离为.6 6.解 (1)在棱AB上存在中点N,使MN平面AB1C1,证明如下: 设BB1的中点为D,连接DM,NM,ND,因为点M,N,D是C
9、C1,AB,BB1的中点,所以NDAB1,DMB1C1,所以ND平面AB1C1,DM平面AB1C1. 又NDDM=D,所以平面NDM平面AB1C1.因为MN平面NDM,所以MN平面AB1C1. (2)因为MN平面AB1C1,所以点M到平面AB1C1的距离与点N到平面AB1C1的距离相等. 又点N为AB的中点,所以点N到平面AB1C1的距离等于点B到平面AB1C1的距离的一半.因为AA1平面ABC,所以AB1=AC1=2,所以AB1C1的底边B1C1上的高为.设点B到平面AB1C1的距离为h,则由,得22h,可得h=,故点M到平面AB1C1的距离为.7 7.(1)证明 在四边形BCC1B1中,B
10、C=CD=DC1=1,BCD=,BD=1.B1D=,BB1=2,B1DBD.AB平面BCC1B1,ABDB1, DB1平面ABD. (2)解 对于四面体A1ADB1,A1到直线DB1的距离即为A1到平面BB1C1C的距离,A1到DB1的距离为 2.设A1到平面ADB1的距离为h,ADB1为直角三角形,ADDB1=,h=h.22=2,D到平面AA1B1的距离为,92.,解得h=.点A1到平面ADB1的距离为.8 8.(1)证明 取CF中点G,连接AG,OG, 在CDF中,O是DF的中点,G是CF的中点,OGCD,OG= CD,又ABCD,AB=1,CD=2,OGAB,OG=AB, 四边形ABOG
11、为平行四边形,OBAG,AG平面ACF,OB平面ACF,故OB平面ACF.(2)解 由EF=CD=2,DE=2,DF=4,可得EF2+DF2=DE2,所以EFDF.DEF的面积S1= DFEF= 42=4.由DB平面CDEF,DF平面CDEF,DE平面CDEF,EF平面CDEF,可得BDDF,BDDE,BDEF,BDF的面积S2= BDDF= 24=4,BDE的面积S3= BDDE= 22=2,由EFDF,EFBD,BDDF=D, 可得EF平面BDF. 又BF平面BDF,所以EFBF.BF=2,BEF的面积S4= BFEF= 22=2,三棱锥B-DEF的表面积S=S1+S2+S3+S4=8+4.10