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1、1专题对点练专题对点练 1717 空间中的垂直、夹角及几何体的体积空间中的垂直、夹角及几何体的体积1 1.(2018 江苏,15)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB,AB1B1C1. 求证:(1)AB平面A1B1C; (2)平面ABB1A1平面A1BC.2 2.如图,在三棱台ABC-DEF中,平面BCFE平面ABC,ACB=90,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3. (1)求证:BF平面ACFD; (2)求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值.3 3.由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1-B1CD1后得到的几何体如图所示.四边形ABCD为正方形,O 为AC
2、与BD的交点,E为AD的中点,A1E平面ABCD.(1)证明:A1O平面B1CD1; (2)设M是OD的中点,证明:平面A1EM平面B1CD1.24 4.如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD平面ABCD,ABDC,PAD是等边三角形,已知 BD=2AD=8,AB=2DC=4.5 (1)设M是PC上的一点,证明:平面MBD平面PAD; (2)求四棱锥P-ABCD的体积.5 5.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,ADC=45,AD=AC=2,O为AC的中点,PO平面 ABCD,且PO=6,M为PD的中点. (1)证明:AD平面PAC; (2)求直线AM与平面ABCD所成角
3、的正切值.6 6.(2018 北京,文 18)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,平面PAD平面ABCD,PAPD,PA=PD,E,F分别为 AD,PB的中点. 求证:(1)PEBC; (2)平面PAB平面PCD; (3)EF平面PCD.37 7.如图,在直角梯形ABCD中,ADBC,ABC=90,AB=BC=2,AD=6,CEAD于点E,把DEC沿CE折 到DEC的位置,使DA=2,如图.若G,H分别为DB,DE的中点.3(1)求证:GHDA; (2)求三棱锥C-DBE的体积.8 8.如图,在四棱锥S-ABCD中,ABCD,BCCD,侧面SAB为等边三角形,AB=BC=2,CD
4、=SD=1. (1)证明:SD平面SAB; (2)求四棱锥S-ABCD的高.4专题对点练 1717 答案 1 1.证明 (1)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,ABA1B1. 因为AB平面A1B1C,A1B1平面A1B1C, 所以AB平面A1B1C. (2)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,四边形ABB1A1为平行四边形. 又因为AA1=AB,所以四边形ABB1A1为菱形, 因此AB1A1B. 又因为AB1B1C1,BCB1C1, 所以AB1BC. 又因为A1BBC=B,A1B平面A1BC,BC平面A1BC,所以AB1平面A1BC. 因为AB1平面ABB1A1, 所以平面ABB
5、1A1平面A1BC. 2 2.(1)证明 延长AD,BE,CF相交于一点K,如图所示.因为平面BCFE平面ABC,且ACBC, 所以AC平面BCK, 因此BFAC. 又因为EFBC,BE=EF=FC=1,BC=2, 所以BCK为等边三角形,且F为CK的中点,则BFCK. 所以BF平面ACFD. (2)解 因为BF平面ACK, 所以BDF是直线BD与平面ACFD所成的角. 在 RtBFD中,BF=,DF=,3得 cosBDF=,217所以,直线BD与平面ACFD所成角的余弦值为.217 3 3.证明 (1)取B1D1的中点O1,连接CO1,A1O1,由于ABCD-A1B1C1D1是四棱柱,所以A
6、1O1OC,A1O1=OC,因 此四边形A1OCO1为平行四边形,所以A1OO1C.又O1C平面B1CD1,A1O平面B1CD1,所以A1O平面B1CD1. (2)因为ACBD,E,M分别为AD和OD的中点,所以EMBD, 又A1E平面ABCD,BD平面ABCD, 所以A1EBD,因为B1D1BD, 所以EMB1D1,A1EB1D1. 又A1E,EM平面A1EM,A1EEM=E, 所以B1D1平面A1EM, 又B1D1平面B1CD1, 所以平面A1EM平面B1CD1. 4 4.(1)证明 在ABD中,因为AD=4,BD=8,AB=4,5所以AD2+BD2=AB2.所以ADBD.5又平面PAD平
7、面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,BD平面ABCD, 所以BD平面PAD.又BD平面MBD, 故平面MBD平面PAD. (2)解 过点P作POAD交AD于点O,因为平面PAD平面ABCD, 所以PO平面ABCD,所以PO为四棱锥P-ABCD的高.又PAD是边长为 4 的等边三角形,因此PO=4=2.323 在底面四边形ABCD中,ABDC,AB=2DC,所以四边形ABCD是梯形.在 RtADB中,斜边AB边上的高为,4 84 5=8 55此即为梯形ABCD的高,所以四边形ABCD的面积为S=24.2 5 + 4 528 55 故VP-ABCD=242=16.335 5.(1)证明 PO
8、平面ABCD,且AD平面ABCD,POAD. ADC=45,且AD=AC=2,ACD=45,DAC=90,ADAC. AC平面PAC,PO平面PAC,且ACPO=O, AD平面PAC. (2)解 取DO的中点N,连接MN,AN,由PO平面ABCD,得MN平面ABCD, MAN是直线AM与平面ABCD所成的角.M为PD的中点,MNPO,且MN=PO=3,AN=DO=.52在 RtANM中,tanMAN=, =3 5 2=6 55即直线AM与平面ABCD所成角的正切值为.6 55 6 6.证明 (1)PA=PD,且E为AD的中点, PEAD. 底面ABCD为矩形,BCAD, PEBC. (2)底面
9、ABCD为矩形,ABAD. 平面PAD平面ABCD, AB平面PAD. ABPD.又PAPD,PAAB=A, PD平面PAB.PD平面PCD, 平面PAB平面PCD. (3)如图,取PC的中点G,连接FG,GD.6F,G分别为PB和PC的中点,FGBC,且FG=BC. 四边形ABCD为矩形,且E为AD的中点, EDBC,ED=BC, EDFG,且ED=FG,四边形EFGD为平行四边形, EFGD. 又EF平面PCD,GD平面PCD, EF平面PCD. 7 7.(1)证明 连接BE,GH,AC,在AED中,ED2=AE2+AD2,可得ADAE.又DC=2,2+ 25 AC=2,可得AC2+AD2
10、=CD2,可得ADAC.2因为AEAC=A,所以AD平面ABCE,所以ADBE. 又G,H分别为DB,DE的中点,所以GHBE,所以GHDA. (2)解 设三棱锥C-DBE的体积为V,则V=SBCEAD=222.1 31 23 =4 33 8 8.(1)证明 如图,取AB的中点E,连接DE,SE,则四边形BCDE为矩形,DE=CB=2,AD=.2+ 2= 5 侧面SAB为等边三角形,AB=2, SA=SB=AB=2,且SE=.3又SD=1, SA2+SD2=AD2,SB2+SD2=BD2, SDSA,SDSB. SASB=S,SD平面SAB. (2)解 设四棱锥S-ABCD的高为h,则h也是三棱锥S-ABD的高. 由(1)知,SD平面SAB,由VS-ABD=VD-SAB,得SABDh=SSABSD.又SABD=ABDE=22=2,SSAB=AB2=22=,SD=1,34343所以h=. =3 12=32故四棱锥S-ABCD的高为.32