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1、?数学分析?教案第三章第三章函数极限函数极限引言引言在?数学分析?中，所讨论的极限根本上分两局部，第一局部是“数列的极限，第二局部是“函数的极限。二者的关系到是“特殊与“一般的关系；数列极限是函数极限的特例。通过数列极限的学习。应有一种根本的观念：“极限是研究变量的变化趋势的或说：“极限是研究变量的变化过程，并通过变化的过程来把握变化的结果。例如，数列an这种变量即是研究当n时，an的变化趋势。我们知道，从函数角度看，数列an可视为一种特殊的函数f，其定义域为N，值域是an，即f:N R(n an);或f(n)an,nN或f(n)an.研究数列an的极限，即是研究当自变量n时，函数f(n)变化
2、趋势。此处函数f(n)的自变量 n 只能取正整数！因此自变量的可能变化趋势只有一种，即n。但是，如果代之正整数变量 n 而考虑一般的变量为xR，那么情况又如何呢？具体地说，此时自变量 x 可能的变化趋势是否了仅限于x 一种呢？为此，考虑以下函数:1,x 0;f(x)0,x 0.类似于数列，可考虑自变量x 时，f(x)的变化趋势；除此而外，也可考虑自变量x 时，f(x)的变化趋势；还可考虑自变量x 时，f(x)的变化趋势；还可考虑自变量x a时，f(x)的变化趋势,由此可见，函数的极限较之数列的极限要复杂得多，其根源在于自变量性质的变化。但同时我们将看到，这种复杂仅仅表现在极限定义的表达有所不同
3、。而在各类极限的性质、运算、证明方法上都类似于数列的极限。下面，我们就依次讨论这些极限。1 1函数极限的概念函数极限的概念一、一、x时函数的极限时函数的极限引言设函数定义在a,)上，类似于数列情形，我们研究当自变量x时，对应的函数值能否无限地接近于某个定数。这种情形能否出现呢？答复是可能出现，但不是对所有的函数都具此性质。例如f(x)接近于1,x无限增大时，f(x)无限地接近于；g(x)arctgx,x无限增大时，f(x)无限地x；h(x)x,x无限增大时，f(x)与任何数都不能无限地接近。正因为如此，所以才有必要考虑2x时，f(x)的变化趋势。我们把象f(x)，g(x)这样当x时，对应函数值
4、无限地接近于某个定数的函数称为“当x时有极限。?数学分析?教案问题问题如何给出它的精确定义呢?类似于数列,当x时函数极限的精确定义如下.2.x时函数极限的定义时函数极限的定义定义定义设f为定义在a,)上的函数，为实数。假设对任给的 0，存在正数(a)，使得当x M时有|f(x)A|,那么称函数f当x 时以为极限。记作xlim f(x)A或f(x)A(x ).几点注记（）定义中作用与数列极限中作用相同，衡量f(x)与的接近程度，正数的作用与数列极限定义中相类似，说明x充分大的程度；但这里所考虑的是比大的所有实数x，而不仅仅是正整数 n。（）（）xlim f(x)A的邻域描述：,U(),当xU()
5、时，f(x)U(A;).lim f(x)A的几何意义：对，就有y A和y A两条直线，形成以为中x心线，以2为宽的带形区域。“当x M时有|f(x)A|表示：在直线x M的右方，曲线y f(x)全部落在这个带形区域内。如果给得小一点，即带形区域更窄一点，那么直线x M一般往右移；但无论带形区域如何窄，总存在正数，使得曲线y f(x)在x M的右边的全部落在这个更窄的带形区域内。（）现记f为定义在U()或U()上的函数，当x 或x 时，假设函数值f(x)能无限地接近于常数，那么称f当x 或x 时时以为极限，分别记作，lim f(x)A或f(x)A(x )，xlim f(x)A或f(x)A(x )
6、。x这两种函数极限的精确定义与定义相仿，简写如下：xlim f(x)A 0,M 0,当x M时，|f(x)A|，lim f(x)A 0,M 0,当|x|M时，|f(x)A|。x推论：设f(x)为定义在U()上的函数，那么lim f(x)Alim f(x)lim f(x)A。xxx利用利用lim f(x)的定义验证极限等式举例的定义验证极限等式举例x例例证明lim1 0.xx例例证明lim arctgx x2；lim arctgx x2.?数学分析?教案二、二、x x0时函数的极限时函数的极限引言上节讨论的函数f当x时的极限，是假定f为定义在a,)上的函数，这事实上是U()，即f为定义在U()上
7、，考虑x 时f(x)是否趋于某个定数。本节假定f为定义在点x0的某个空心邻域U0 x0内的函数，。现在讨论当x x0(x x0)时，对应的函数值能否趋于某个定数数列。先看下面几个例子：例例f(x)1(x 0).f(x)是定义在U(0)上的函数，当x 0时，f(x)10 x240例例f(x).f(x)是定义在U(2)上的函数，当x 2时，f(x)4x2例例f(x)10.f(x)是定义在U(0)上的函数，当x 0时，f(x)?x由上述例子可见，对有些函数，当x x0(x x0)时，对应的函数值f(x)能趋于某个定数；但对有些函数却无此性质。所以有必要来研究当x x0(x x0)时，f(x)的变化趋
8、势。我们称上述的第一类函数f(x)为当x x0时以为极限，记作lim f(x)A。xx0和数列极限的描述性说法一样，这是一种描述性的说法。不是严格的数学定义。那么如何给出这类函数极限的精确定义呢？作如下分析：“当自变量x越来越接近于x0时，函数值f(x)越来越接近于一个定数只要x充分接近x0，函数值f(x)和的相差就会相当小欲使|f(x)A|相当小，只要x充分接近x0就可以了。即对 0,0，当0|x x0|时，都有|f(x)A|。此即lim f(x)A。xx0 x x0(x x0)时函数极限的时函数极限的定义定义0定义定义设函数f(x)在点x0的某个空心邻域Ux0;内有定义，为定数，假设对任给
9、的 0,()0，使得当0|x x0|时有|f(x)A|，那么称函数f当x趋于x0时以为极限或称为x x0时f(x)的极限，记作lim f(x)A或f(x)A(x x0).xx0说明如何用定义来验证这种类型的函数极限函数极限的定义的几点说明：|f(x)A|是结论，0|x x0|是条件，即由0|x x0|推出。是表示函数f(x)与的接近程度的。为了说明函数f(x)在x x0的过程中，能够任意地接?数学分析?教案近于，必须是任意的。这即的第一个特性任意性，即是变量；但一经给定之后，暂时就把看作是不变的了。以便通过寻找，使得当0|x x0|时|f(x)A|成立。这即的第二特性暂时固定性。即在寻找的过程
10、中是常量；另外，假设是任意正数，那么2,2,均 为 任 意 正 数，均 可 扮 演的 角 色。也 即的 第 三 个 特 性 多 值 性；|f(x)A|f(x)A|(3)是表示x与x0的接近程度，它相当于数列极限的 N定义中的。它的第一个特性是相应性。即对给定的 0，都有一个与之对应，所以是依赖于而适中选取的，为此记之为(x0;)；一般说来，越小，越小。但是，定义中是要求由0|x x0|推出|f(x)A|即可，故假设满足此要求，那么多值性。在定义中，只要求函数f在x0的某空心邻域内有定义，而一般不要求f在x0处的函数值是否存在，或者取什么样的值。这是因为，对于函数极限我们所研究的是当x趋于x0的
11、过程中函数的变化趋势，与函数在该处的函数值无关。所以可以不考虑f在点 a 的函数值是否存在，或取何值，因而限定“0|x x0|。0定义中的不等式0|x x0|xU(x0,)；|f(x)A|f(x)U(A;)。从而定0义 0,0，当xU(x0,)时，都有f(x)U(A;)0,0，使得,等等比还小的正数均可满足要求，因此不是唯一的。这即的第二个特性2 3fU0(x0,)U(A;)。定义的几何意义。x24例设f(x)，证明lim f(x)4.x2x2例设f(x)1(x 0)，讨论x 0时f(x)的极限。例证明limsin x sin x0；limcosx cosx0.xx0 xx0 x212.例证明
12、lim2x12x x13例证明lim1 x 1 x0(|x0|1).xx022例证明limC C,lim x x0.xx0 xx0?数学分析?教案x316x5 3;证明lim练习：证明lim 6.x1x1xx三、单侧极限三、单侧极限引言有些函数在其定义域上某些点左侧与右侧的解析式不同，如x2,x 0f1(x)x,x 0或函数在某些点仅在其一侧有定义，如f2(x)x,x 0。这时，如何讨论这类函数在上述各点处的极限呢？此时，不能再用前面的定义讨论方法，而要从这些点的某一侧来讨论。如讨论f1(x)在x 0时的极限。要在x 0的左右两侧分别讨论。即当x 0而趋于时，应按f1(x)x2来考察函数值的变
13、化趋势；当x 0而趋于时，应按f1(x)x来考察函数值的变化趋势；而对f2(x)，只能在点x 0的右侧，即x 0而趋于时来考察。为此，引进“单侧极限的概念。单侧极限的定义定义定义 设函数f在U(x0;)内有定义，为定数。假设对任给的 0,()0，使得当x0 x x0时有|f(x)A|,那么称数为函数f当x趋于x0时的右极限，记作xx00limf(x)A或f(x)A(x x0)或f(x00)A。xx00类似可给出左极限定义U(x0;)，x0 x x0，limf(x)A或f(x)A(x x0)或f(x00)A.注：右极限与左极限统称为单侧极限。例子例讨论函数f1(x)在x 0的左、右极限。例讨论sgn x在x 0的左、右极限。例讨论函数1 x2在1处的单侧极限。函数极限lim f(x)与limf(x),limf(x)的关系。xx0 xx0 xx0定理定理.lim f(x)A limf(x)limf(x)A.xx0 xx0 xx0注：利用此可验证函数极限的存在，如由定理3.1 知：lim f1(x)0。还可说明某些函数极限x0不存在，如由例知limsgn x不存在。f(x00)，f(x00)，f(x0)可能毫无关系，如例。x0