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1、第三章函数极限（计划课时：1 4 时）P42681函数极限概念（4 时）一、x 时函数的极限：11.以x 时f(x)和g(x)arctgx为例引入.x2.介绍符号:x ,x ,x 的意义,lim f(x)的直观意义.3.函数极限的“M”定义(lim f(x)A,lim f(x)A,lim f(x)A).xxx4.几何意义:介绍邻域U()x x M,U()x x M,U()x x M其中M为充分大的正数然后用这些邻域语言介绍几何意义5.函数在与,极限的关系:Th1Th1f()A f()f()A.例1验证lim1 0.xx证明格式：0（不妨设0）（不妨设x 或x，x）要使f(x)A 化简附加条件逐
2、次放大不等式，只须x（x）或x（x ），x（x ）.于是 0,M 0，当x M（或x M，x M）时，有-.根据函数极限的“M”定义知lim=（或lim=，lim=）.xxx例 2 验证：1）lim arctgx x2；2）lim arctgx x2.2x2 x例 3 验证lim2 2.xx 22x2 xx 4x 3x 4x 42 x4证2.2222xx 2x 2x2x26.的正值性,任意性与确定性,以小为贵.7.M的存在性与非唯一性,对M只要求存在,在乎其大的一面.二x x0时函数f(x)的极限：2x 1,x 2,f(x)1.由考虑x 2时的极限引入.x 2.0,2.函数极限的“”定义.3.
3、几何意义.4.用定义验证函数极限的基本思路.例 4 验证lim C C.xx0例5验证lim x x0.xx0 x33x23x 912.例6验证lim2x352x 7x 3x33x23x 912(x23)(x 3)12=证由x 3,25(2x 1)(x 3)52x 7x 35x 9 x 35x 9 x 3x2312.2x1552x 12x 1,需有x3 1;为使5x9 5x156 5x3 6 11为使2x1 2x65 52x3 1,需有x3 2.于是,倘限制0 x3 1,就有5x9 x 311x 3x33x23x 91211x 3.2152x 12x 7x 3证明格式：0（不妨设0）（不妨设x
4、 x0或x x0，x x0,则 x）要使f(x)A 化简附加条件逐次放大不等式，只须x x0（x x0）或0 x x0（x x00），0 x0 x（x x00）.于 是 0,0，当0 x x0（或0 x x0，0 x0 x）时，有:-.根据函数极限的“”定义知lim=（或lim=，lim=）.xx0 xx00 xx00(x01).例 7 验证lim 1 x1 x0,xx022例 8 验证lim sin x sin x0.(类似有lim cosx cos x0.)xx0 xx05.的正值性,任意性与确定性,6.以小为贵.的存在性与非唯一性,对只要求存在,在乎其小的一面.7.lim f(x)A存在
5、并不意味着f(x)在x0有定义,即就是有定义也并不意味着xx0A f(x0)(如例 6).例 9 证明lima1(a 1).x0 x三.单侧极限:1.定义：单侧极限的定义及记法.2.几何意义:介绍半邻域(a,)x 0 xa,(a,)(a,a(a,)(a,a),(a,)(a,a).然后介绍lim f(x)等的几何意义.xx0001 x 0.例 9 验证limx12证 考虑使1 x222的.3.单侧极限与双侧极限的关系:Th2Th2lim f(x)A f(x0 0)f(x00)A.xx0例 10 证明:极限limsgn x不存在.x0例11设函数f(x)在点x0的某邻域内单调.若lim f(x)存
6、在,则有lim f(x)=f(x0).xx0 xx0ExEx1P4717.2函数极限的性质（2 时）lim f(x),lim f(x),我们引进了六种极限:lim f(x),lim f(x),xxxxx0f(x00),f(x00).以下以极限lim f(x)为例讨论性质.均给出证明或简证.xx0一.函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出.1.2.3.4.4.唯一性:局部有界性:局部保号性:单调性(不等式性质):0 xx0 xx0Th 4Th 4若lim f(x)和lim g(x)都存在,且存在点x0的空心邻域(x0,),使x(x0,)都有f(x)g(x),lim f(x)lim g(x).x
7、x0 xx00证设lim f(x)=A,lim g(x)B.(现证对 0,有a B 2.)xx0 xx0 0,0,x(x0,),A f(x)g(x)B,A B 2.註:若在 Th 4 的条件中,改“f(x)g(x)”为“f(x)g(x)”,未必就有A B.以0f(x)1 x2,g(x)1,x0 0举例说明.5.迫敛性(双逼原理):例 1 求limx.x0 x6.6.四则运算性质:(只证“+”和“”)1 ExEx1P5157.二利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限：xx0lim C C,lim x x0,lim sin x sin x0,lim cos x cos x0;xx0 xx0 xx
8、0lim1 0,lim arctgx .（注意前四个极限中极限就是函数值）xxx2这些极限可作为公式用.通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限.例 1lim(xtgx 1).(利用极限limsin x sinx44x422.)和limcosx 22x4例 2lim313.(1)x1x 1x 15x33x 7.例 3lim3x3x 2x25註:关于x的有理分式当x 时的极限.x71.利用公式an1(a 1)(an1 an2 a 1).例 4lim10 x1x1x2 2x 2 1例 5lim.x1x2 x 2例 6lim5x2x23x21.3x 5x4sin(2x
9、2 x 10)例 7lim.x3 2x3例 8limx13x 1x 1.例 9limx01 x 11 x 1.x216 A例10已知lim B.求A和B.x3x 3ExEx1P5114.1620 x2 Ax BAB.A ,B.)B 7.补充题:已知lim求和(x233x2 43函数极限存在的条件（2 时）本节介绍函数极限存在的两个充要条件.仍以极限lim f(x)为例.xx0一、Heine 归并原则 函数极限与数列极限的关系：ThTh 1 1设函数f在点x0的某空心邻域(x0)内有定义.则极限lim f(x)存在对任何xx00 xn(x0)且xn x0,lim f(xn)都存在且相等.(证)n
10、0Heine 归并原则反映了离散性与连续性变量之间的关系,是证明极限不存在的有力工具.对单侧极限,还可加强为xn单调趋于x0.参阅1P70.例 1证明函数极限的双逼原理.1 0.x0 x1例 3 证明limsin不存在.x0 x例 2 证明limsinf(x)A对任何以ThTh 2 2 设函数f(x)在点x0的某空心右邻域U(x0)有定义.则limxx0 x0为极限的递减数列xnU(x0),有lim f(xn)A.nf(x)存在.Th 3Th 3 设函数f(x)为定义在U(x0)上的单调有界函数.则limxx0二、Cauchy 准则:Th3Th3(Cauchy 准则)设函数f(x)在点x0的某
11、空心邻域(x0,)内有定义.则lim f(x)存在xx00 0,0(),x,x(x0,),f(x)f(x).证)0)(利用 Heine 归并原则)Cauchy 准则的否定:lim f(x)不存在的充要条件.xx0例 4 用 Cauchy 准则证明极限limsinx01不存在.x证取x 1,x n1n2.例5设在 a,)上函数f(x).则极限lim f(x)存在 f(x)在a,)上有x界.(简证,留为作业).ExEx1P5514.4两个重要极限（2 时）一一lim例 1limsin xx11.（证）1,limnsin1.）（同理有limx0 x0sin xnxnsin x.x x1cos x例
12、2lim.x0 x2sin5x.例 3limx0sin3xarcsin x.例 4limx0 x例 5 证明极限limx0sin xxx不存在.11二.lim1 e.lim(1 x)x e.x0 xx证对n x n 1,有1nx11111,n 1xnn11111 1 1n1xn,1k 例 6lim1,特别当k 1,k 等.x2x例 7lim(1 2x).x01xx例 8lim(13sin x)x0csc x.11 例 9lim12nnnnExEx1P5814.5无穷小量与无穷大量阶的比较（2 时）一、无穷小量:1.定义.记法.2.无穷小的性质:性质 1 (无穷小的和差积)性质 2(无穷小与有界
13、量的积)n2例 1limsin(n23n5).nn133.无穷小与极限的关系:Th 1Th 1lim f(x)Af(x)A(1),x x0.(证)xx0二、二、无穷小的阶:设x x0时f(x)(1),g(x)(1).1高阶（或低阶）无穷小：2 2同阶无穷小：3 3等价:Th 2Th 2(等价关系的传递性).等价无穷小在极限计算中的应用:Th 3Th 3(等价无穷小替换法则).几组常用等价无穷小:设x 0.以x作为基本无穷小,有等价关系:x1 x)x,arcsin xx,当x 0时,sin xx,tgxx,a 1x,ln(xx2arctgxx,1 cos x,n1 x 1,(1 x)nnx.n2
14、再加上n 时(或x 时)n的(或x的)有理分式(分子次数小于分母次数)的等价无穷小.其中有些等价关系的证明以后陆续进行.arctgx.x0sin 4xtgx sin x.例 4limx0sin x3三.无穷大量:例 3求lim1.定义:1.x0 x2x.例 6 验证limx3x 3例 5 验证lim2.性质:性质 1同号无穷大的和是无穷大.性质 2无穷大与无穷大的积是无穷大.性质 3与无界量的关系.无穷大的阶、等价关系以及应用,可仿无穷小讨论,有平行的结果.3.无穷小与无穷大的关系:无穷大的倒数是无穷小,非零无穷小的倒数是无穷大.四、曲线的渐近线：1.定义：2.结论：若lim f(x),则直线x x0为曲线y f(x)的垂直渐近线.xx0若lim f(x)c,则直线y c为曲线y f(x)的水平渐近线.x 若limxf(x)a,lim f(x)ax b,则 直 线y ax b为 曲 线xxy f(x)的斜渐近线.注：x x0可换为x x0,x x0;x 可换为x ,x .x3例 7 求曲线f(x)2的渐近线.x 2x 3ExEx1P6616.