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1、第三章函数极限（计划课时： 1 4 时） P42681 函数极限概念（ 4 时 ）一、 x时函数的极限：1. 以x时xxf1)(和arctgxxg)(为例引入 . 2. 介绍符号 :x,x,x的意义 ,)(limxf的直观意义 . 3. 函数极限的“M”定义 (Axfx)(lim,Axfx)(lim,Axfx)(lim). 4. 几何意义 : 介绍邻域MxxU)(,MxxU)(, MxxU)(其中M为充分大的正数然后用这些邻域语言介绍几何意义5.函数在与,极限的关系 : Th1 .)()()(AffAf例1验证.01limxx证明格式：0（不妨设0） （不妨设x或x，x）要使Axf)(化简附加
2、条件逐次放大不等式，只须x（x）或x（x） ，x（x）. 于是0,M0，当xM（或xM，xM）时，有-. 根据函数极限的“M”定义知xlim = （或xlim = ，xlim = ） . 例 2 验证： 1）2lim arctgxx； 2）2lim arctgxx. 例 3 验证.222lim22xxxx精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 证.42224242222423222xxxxxxxxxxxx6.的正值性 , 任意性与确定性
3、, 以小为贵 . 7. M的存在性与非唯一性,对M只要求存在 ,在乎其大的一面.二0 xx时函数)(xf的极限：1. 由.2, 0,2, 12)(xxxxf考虑2x时的极限引入. 2.函数极限的“”定义 . 3. 几何意义 . 4. 用定义验证函数极限的基本思路. 例 4 验证.lim0CCxx例5验证.lim00 xxxx例6验证.512372933lim2233xxxxxx证由,3x512)3()12()3()3(5123729332223xxxxxxxxx= .123951253955121232xxxxxxxx为使,11635615595xxx需有; 13x为使, 132556212x
4、xx需有. 23x于是 , 倘限制130 x, 就有512372933223xxxxx12395xxx.3111311xx证明格式：0（不妨设0） （不妨设0 xx或0 xx，0 xx,则x）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 要使Axf)(化简附加条件逐次放大不等式，只须0 xx（0 xx）或00 xx（00 xx） ，xx00（00 xx）. 于 是0,0， 当00 xx（ 或00 xx，xx00）时，有 : -. 根据函数极限
5、的“”定义知0limxx = （或00limxx = ，00limxx = ） .例 7 验证).1(,11lim02020 xxxxx例 8 验证.s i nsi nl i m00 xxxx( 类似有).coscoslim00 xxxx5.的正值性 , 任意性与确定性, 以小为贵 . 6. 的存在性与非唯一性,对只要求存在 ,在乎其小的一面. 7. Axfxx)(lim0存在并不意味着)(xf在0 x有定义 ,即就是有定义也并不意味着)(0 xfA(如例 6). 例 9 证明1lim0 xxa)1(a.三. 单侧极限 : 1. 定义：单侧极限的定义及记法. 2. 几何意义 : 介绍半邻域,0
6、),(axxa),(a,(aa).,(),(),(),(00aaaaaa然后介绍)(lim0 xfxx等的几何意义. 例 9 验证.01lim21xx证 考虑使2221x的.3. 单侧极限与双侧极限的关系: Th2 .)0()0()(lim000AxfxfAxfxx例 10 证明 : 极限xxsgnlim0不存在 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 例11设函数)(xf在点0 x的某邻域内单调. 若)(lim0 xfxx存在 ,
7、 则有)(lim0 xfxx=).(0 xfEx 1P47 17. 2 函数极限的性质（ 2 时 ）我们引进了六种极限: ),(lim),(lim),(limxfxfxfxxx)(lim0 xfxx, )0(),0(00 xfxf.以下以极限)(lim0 xfxx为例讨论性质 . 均给出证明或简证. 一. 函数极限的性质 :以下性质均以定理形式给出. 1.唯一性 : 2.局部有界性 : 3.局部保号性 : 4.单调性 ( 不等式性质):Th 4 若)(lim0 xfxx和)(lim0 xgxx都存在 , 且存在点0 x的空心邻域),(00 x, 使),(00 xx都有),()(xgxf)(li
8、m0 xfxx).(lim0 xgxx证设)(lim0 xfxx=.)(lim,0BxgAxx( 现证对,0有.2Ba) .2,)()(),(,0,000BABxgxfAxx註 : 若在Th 4 的条件中 , 改“)()(xgxf”为“)()(xgxf” ,未必就有.BA以0, 1)(,1)(02xxgxxf举例说明 . 5.迫敛性 ( 双逼原理): 例 1 求xxx1lim0. 6.四则运算性质 : ( 只证“ +”和“”)Ex 1P51 5 7.二利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - -
9、 - - - - - - - -第 4 页，共 11 页 - - - - - - - - - - ;coscoslim,sinsinlim,lim,lim0000000 xxxxxxCCxxxxxxxx.2lim,01limarctgxxxx（ 注意前四个极限中极限就是函数值）这些极限可作为公式用.通过有关性质, 把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值, 即计算得所求极限. 例 1).1(lim4xtgxx( 利用极限224sinsinlim4xx和.22coslim4xx) 例 2)1(.1311lim31xxx例 3.523735lim233xxxxx註: 关于x的有理分式当x时的极限
10、. 例 4.11lim1071xxx 利用公式).1)(1(121aaaaannn 例 5 .2122lim221xxxxx例 6 .53132lim22xxxx例 7 .23)102sin(lim254xxxxx例 8 .11lim31xxx例 9 .1111lim30 xxx例10已知.316lim23BxAxx求A和.B精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 11 页 - - - - - - - - - - Ex 1P51 1 4. 补充题 : 已知.74lim222BxBAxx
11、x求A和.B(.320,316BA) 3 函数极限存在的条件（ 2 时 ）本节介绍函数极限存在的两个充要条件. 仍以极限)(lim0 xfxx为例 . 一、Heine 归并原则 函数极限与数列极限的关系：Th 1 设函数f在点0 x的某空心邻域)(00 x内有定义 .则极限)(lim0 xfxx存在对任何)(00 xxn且)(lim,0nnnxfxx都存在且相等 . ( 证 ) Heine 归并原则反映了离散性与连续性变量之间的关系,是证明极限不存在的有力工具. 对单侧极限 ,还可加强为nx单调趋于0 x. 参阅1P70. 例 1 证明函数极限的双逼原理. 例 2 证明.01sinlim0 x
12、x例 3 证明xx1sinlim0不存在 . Th 2 设函数)(xf在点0 x的某空心右邻域)(0 xU有定义 .则Axfxx)(lim0对任何以0 x为极限的递减数列nx)(0 xU,有Axfnn)(lim. Th 3 设函数)(xf为定义在)(0 xU上的单调有界函数.则)(lim0 xfxx存在 . 二、Cauchy准则: Th3 (Cauchy 准则 )设函数)(xf在点0 x的某空心邻域),(00 x内有定义 .则)(lim0 xfxx存在xx ,),(0, 0),(00 x,.)()(xfxf证)( 利用 Heine 归并原则) 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - -
13、 - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 11 页 - - - - - - - - - - Cauchy 准则的否定 : )(lim0 xfxx不存在的充要条件. 例 4 用 Cauchy 准则证明极限xx1sinlim0不存在 . 证取.21,1nxnx例5设在),a上函数)(xf . 则极限)(limxfx存在)(xf在 ),a上有界. ( 简证 , 留为作业). Ex 1P55 1 4. 4 两个重要极限（ 2 时 ）一.1s i nl i m0 xxx（证）（同理有, 1sinlim0 xxx.11sinlimnnn）例 1.s
14、inlimxxx例 220cos1limxxx. 例 3.3sin5sinlim0 xxx例 4.arcsinlim0 xxx例 5 证明极限xxxsinlim0不存在 . 二.11limexxx.)1(lim10exxx证对, 1nxn有,1111111nxn,11111111nxnnxn精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 例 6,1limxxxk特别当21,1 kk等. 例 7 .)21(lim10 xxx例 8 .)sin31
15、(limcsc0 xxx例 9nnnn2111limEx 1P58 1 4. 5 无穷小量与无穷大量阶的比较（2 时 ）一、无穷小量 :1. 定义 . 记法 . 2.无穷小的性质 :性质 1 ( 无穷小的和差积) 性质 2 (无穷小与有界量的积) 例 1).53sin(1lim232nnnnn3.无穷小与极限的关系: Th 1 AxfAxfxx)()(lim0.,)1(0 xx( 证 ) 二、 无穷小的阶 : 设0 xx时).1()(),1()(xgxf1高阶（或低阶）无穷小：2同阶无穷小：3等价 :Th 2 ( 等价关系的传递性). 等价无穷小在极限计算中的应用: Th 3( 等价无穷小替换
16、法则) . 几组常用等价无穷小: 设.0 x以x作为基本无穷小, 有等价关系 :当0 x时,xsinx, tgxx, 1xax, )1ln(xx, xarcsinx, 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 11 页 - - - - - - - - - - arctgxx, xcos122x, 11nxnx, nx)1(nx. 再加上n时 (或x时)n的(或x的)有理分式 (分子次数小于分母次数)的等价无穷小 .其中有些等价关系的证明以后陆续进行. 例 3 求xarctgxx4sinl
17、im0. 例 4.sinsinlim30 xxtgxx三.无穷大量 :1.定义 : 例 5 验证201limxx. 例 6 验证3lim3xxx. 2.性质 : 性质 1 同号无穷大的和是无穷大. 性质 2 无穷大与无穷大的积是无穷大. 性质 3 与无界量的关系. 无穷大的阶、等价关系以及应用, 可仿无穷小讨论, 有平行的结果. 3.无穷小与无穷大的关系: 无穷大的倒数是无穷小, 非零无穷小 的倒数是无穷大. 四、曲线的渐近线：1.定义：2.结论：若)(lim0 xfxx,则直线0 xx为曲线)(xfy的垂直渐近线. 若cxfx)(lim,则直线cy为曲线)(xfy的水平渐近线. 若,)(l
18、i maxxfxbaxxfx)(lim, 则 直 线baxy为 曲 线)(xfy的斜渐近线 . 注：0 xx可换为0 xx,0 xx;x可换为x,x. 例 7 求曲线32)(23xxxxf的渐近线 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 11 页 - - - - - - - - - - Ex 1P66 1 6. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 11 页 - - - - - - - - - -