《九年级中考数学第三轮压轴题冲刺专题复习：三角形 综合练习题 .docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《九年级中考数学第三轮压轴题冲刺专题复习：三角形 综合练习题 .docx（39页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2021年中考数学第三轮压轴题冲刺专题复习：三角形 综合练习题1、如图，在中，点，分别在，边上，（1）求证：（2）设，若，求线段的长；若的面积是20，求的面积2、在中，C=90，ACBC，D是AB的中点E为直线上一动点，连接DE，过点D作DFDE，交直线BC于点F，连接EF（1）如图1，当E是线段AC的中点时，设，求EF的长（用含的式子表示）；（2）当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段AE，EF，BF之间的数量关系，并证明3、如图，点、分别是等边边、上的动点（端点除外），点、点以相同的速度，同时从点、点出发（1）如图1，连接、求证：；（2）如图1，当点、分别在、边上运动
2、时，、相交于点，的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数；（3）如图2，当点、在、的延长线上运动时，直线、相交于，的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数4、如图1，在中，点D，E分别在边上，且，连接现将绕点A顺时针方向旋转，旋转角为，如图2，连接 （1）当时，求证：；（2）如图3，当时，延长交于点，求证：垂直平分；（3）在旋转过程中，求的面积的最大值，并写出此时旋转角的度数5、（1）如图1，已知EK垂直平分BC，垂足为D，AB与EK相交于点F，连接CF求证：AFE=CFD（2）如图2，在RtGMN中，M=90，P为MN的中点用直尺和圆规在GN边上求作点Q，使得
3、GQM=PQN（保留作图痕迹，不要求写作法）；在的条件下，如果G=60，那么Q是GN的中点吗？为什么？6、已知ABC中，AB=AC，BAC=90，D、E分别是AB、AC的中点，将ADE绕点A按顺时针方向旋转一个角度（090）得到ADE，连接BD、CE，如图1（1）求证：BD=CE；（2）如图2，当=60时，设AB与DE交于点F，求的值7、如图，在ABC中，AB=AC，过AB上一点D作DEAC交BC于点E，以E为顶点，ED为一边，作DEF=A，另一边EF交AC于点F（1）求证：四边形ADEF为平行四边形；（2）当点D为AB中点时，ADEF的形状为；（3）延长图中的DE到点G，使EG=DE，连接A
4、E，AG，FG，得到图，若AD=AG，判断四边形AEGF的形状，并说明理由8、已知在RtABC中，BAC=90，CD为ACB的平分线，将ACB沿CD所在的直线对折，使点B落在点B处，连结AB，BB，延长CD交BB于点E，设ABC=2（045）（1）如图1，若AB=AC，求证：CD=2BE；（2）如图2，若ABAC，试求CD与BE的数量关系（用含的式子表示）；（3）如图3，将（2）中的线段BC绕点C逆时针旋转角（+45），得到线段FC，连结EF交BC于点O，设COE的面积为S1，COF的面积为S2，求（用含的式子表示）9、问题：如图，在RtABC中，AB=AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合
5、），将线段AD绕点A逆时针旋转90得到AE，连接EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为；探索：如图，在RtABC与RtADE中，AB=AC，AD=AE，将ADE绕点A旋转，使点D落在BC边上，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论；应用：如图，在四边形ABCD中，ABC=ACB=ADC=45若BD=9，CD=3，求AD的长10、如图，已知AOB=60，在AOB的平分线OM上有一点C，将一个120角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E(1)当DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时(如图1)，请猜想OE+OD与OC的数量关系，并说明理由；(2
6、)当DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，(1)中的结论是否成立？并说明理由；(3)当DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，上述结论是否成立？请在图3中画出图形，若成立，请给于证明；若不成立，线段OD、OE与OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明11、将一副三角尺按图1摆放，等腰直角三角尺的直角边DF恰好垂直平分AB，与AC相交于点G，BC=2cm（1）求GC的长；（2）如图2，将DEF绕点D顺时针旋转，使直角边DF经过点C，另一直角边DE与AC相交于点H，分别过H、C作AB的垂线，垂足分别为M、N，通过观察，猜想MD与ND的数量关系，并验证你的猜想（3
7、）在（2）的条件下，将DEF沿DB方向平移得到DEF，当DE恰好经过（1）中的点G时，请直接写出DD的长度12、如图，在中，点、分别在、边上，连接、，点、分别是、的中点，连接、（1）与的数量关系是（2）将绕点逆时针旋转到图和图的位置，判断与有怎样的数量关系？写出你的猜想，并利用图或图进行证明13、已知是斜边的中点，过点作使，连接并延长到，使，连接，设与交于，与交于（1）如图1，当，共线时，求证：；（2）如图2，当，不共线时，连接，求证：14、如图1，点B在线段上，RtRt， （1）点F到直线的距离是_；（2）固定，将绕点C按顺时针方向旋转30，使得与重合，并停止旋转请你在图1中用直尺和圆规画出
8、线段经旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示，保留画图痕迹，不要求写画法）该图形的面积为_；如图2，在旋转过程中，线段与交于点O，当时，求的长15、如图1，平面直角坐标系中，等腰的底边在轴上，顶点在的正半轴上，一动点从出发，以每秒1个单位的速度沿向左运动，到达的中点停止另一动点从点出发，以相同的速度沿向左运动，到达点停止已知点、同时出发，以为边作正方形，使正方形和在的同侧设运动的时间为秒（）（1）当点落在边上时，求的值；（2）设正方形与重叠面积为，请问是存在值，使得？若存在，求出值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，取的中点，连结，当点、开始运动时，点从点出发，以每秒个单位的速度沿运动，到达点
9、停止运动请问在点的整个运动过程中，点可能在正方形内（含边界）吗？如果可能，求出点在正方形内（含边界）的时长；若不可能，请说明理由16、如果三角形的两个内角与满足2+=90，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”（1）若ABC是“准互余三角形”，C90，A=60，则B=；（2）如图，在RtABC中，ACB=90，AC=4，BC=5若AD是BAC的平分线，不难证明ABD是“准互余三角形”试问在边BC上是否存在点E（异于点D），使得ABE也是“准互余三角形”？若存在，请求出BE的长；若不存在，请说明理由（3）如图，在四边形ABCD中，AB=7，CD=12，BDCD，ABD=2BCD，且ABC是“准
10、互余三角形”，求对角线AC的长参考答案2021年中考数学第三轮压轴题冲刺专题复习：三角形 综合练习题1、如图，在中，点，分别在，边上，（1）求证：（2）设，若，求线段的长；若的面积是20，求的面积【解答】（1）证明：，；（2）解：，解得：；，2、在中，C=90，ACBC，D是AB的中点E为直线上一动点，连接DE，过点D作DFDE，交直线BC于点F，连接EF（1）如图1，当E是线段AC的中点时，设，求EF的长（用含的式子表示）；（2）当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段AE，EF，BF之间的数量关系，并证明【详解】（1）D是AB的中点，E是线段AC的中点DE为的中位线，且
11、，四边形DECF为矩形则在中，；（2）过点B作AC的平行线交ED的延长线于点G，连接FG，D是AB的中点在和中，又DF是线段EG的垂直平分线，在中，由勾股定理得：3、如图，点、分别是等边边、上的动点（端点除外），点、点以相同的速度，同时从点、点出发（1）如图1，连接、求证：；（2）如图1，当点、分别在、边上运动时，、相交于点，的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数；（3）如图2，当点、在、的延长线上运动时，直线、相交于，的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数【解答】解：（1）证明：如图1，是等边三角形，又点、运动速度相同，在与中，；（2）点、在、边上运动的过
12、程中，不变理由：，是的外角，；（3）如图2，点、在运动到终点后继续在射线、上运动时，不变理由：同理可得，是的外角，即若点、在运动到终点后继续在射线、上运动，的度数为4、如图1，在中，点D，E分别在边上，且，连接现将绕点A顺时针方向旋转，旋转角为，如图2，连接 （1）当时，求证：；（2）如图3，当时，延长交于点，求证：垂直平分；（3）在旋转过程中，求的面积的最大值，并写出此时旋转角的度数【详解】（1）根据题意：AB=AC，AD=AE，CAB=EAD=90，CAE+BAE =BAD+BAE =90，CAE=BAD，在ACE和ABD中，ACEABD(SAS)，CE=BD；（2）根据题意：AB=AC，
13、AD=AE，CAB=EAD=90，在ACE和ABD中，ACEABD(SAS)，ACE=ABD，ACE+AEC=90，且AEC=FEB，ABD+FEB=90，EFB=90，CFBD，AB=AC=，AD=AE=1，CAB=EAD=90，BC=AB =，CD= AC+ AD=，BC= CD，CFBD，CF是线段BD的垂直平分线；（3）中，边BC的长是定值，则BC边上的高取最大值时的面积有最大值，当点D在线段BC的垂直平分线上时，的面积取得最大值，如图：AB=AC=，AD=AE=1，CAB=EAD=90，DGBC于G，AG=BC=，GAB=45，DG=AG+AD=，DAB=180-45=135，的面积
14、的最大值为：，旋转角5、（1）如图1，已知EK垂直平分BC，垂足为D，AB与EK相交于点F，连接CF求证：AFE=CFD（2）如图2，在RtGMN中，M=90，P为MN的中点用直尺和圆规在GN边上求作点Q，使得GQM=PQN（保留作图痕迹，不要求写作法）；在的条件下，如果G=60，那么Q是GN的中点吗？为什么？【解答】（1）证明：如图1中，EK垂直平分线段BC，FC=FB，CFD=BFD，BFD=AFE，AFE=CFD（2）作点P关于GN的对称点P，连接PM交GN于Q，连接PQ，点Q即为所求结论：Q是GN的中点理由：设PP交GN于KG=60，GMN=90，N=30，PKKN，PK=KP=PN，
15、PP=PN=PM，P=PMP，NPK=P+PMP=60，PMP=30，N=QMN=30，G=GMQ=60，QM=QN，QM=QG，QG=QN，Q是GN的中点6、已知ABC中，AB=AC，BAC=90，D、E分别是AB、AC的中点，将ADE绕点A按顺时针方向旋转一个角度（090）得到ADE，连接BD、CE，如图1（1）求证：BD=CE；（2）如图2，当=60时，设AB与DE交于点F，求的值【解答】解：（1）证明：AB=AC，D、E分别是AB、AC的中点，AD=BD=AE=EC由旋转的性质可知：DAD=EAE=，AD=AD，AE=AEAD=AE，BDACEA，BD=CE（2）连接DDDAD=60，
16、AD=AD，ADD是等边三角形ADD=ADD=60，DD=DA=DBDBD=DDB=30，BDA=90DAE=90，BAE=30，BAE=ABD，又BFD=AFE，BFDAFE，在RtABD中，tanBAD=，=7、如图，在ABC中，AB=AC，过AB上一点D作DEAC交BC于点E，以E为顶点，ED为一边，作DEF=A，另一边EF交AC于点F（1）求证：四边形ADEF为平行四边形；（2）当点D为AB中点时，ADEF的形状为菱形；（3）延长图中的DE到点G，使EG=DE，连接AE，AG，FG，得到图，若AD=AG，判断四边形AEGF的形状，并说明理由【解答】（1）证明：DEAC，BDE=A，DE
17、F=A，DEF=BDE，ADEF，又DEAC，四边形ADEF为平行四边形；（2）解：ADEF的形状为菱形，理由如下：点D为AB中点，AD=AB，DEAC，点D为AB中点，DE=AC，AB=AC，AD=DE，平行四边形ADEF为菱形，故答案为：菱形；（3）四边形AEGF是矩形，理由如下：由（1）得，四边形ADEF为平行四边形，AFDE，AF=DE，EG=DE，AFDE，AF=GE，四边形AEGF是平行四边形，AD=AG，EG=DE，AEEG，四边形AEGF是矩形8、已知在RtABC中，BAC=90，CD为ACB的平分线，将ACB沿CD所在的直线对折，使点B落在点B处，连结AB，BB，延长CD交B
18、B于点E，设ABC=2（045）（1）如图1，若AB=AC，求证：CD=2BE；（2）如图2，若ABAC，试求CD与BE的数量关系（用含的式子表示）；（3）如图3，将（2）中的线段BC绕点C逆时针旋转角（+45），得到线段FC，连结EF交BC于点O，设COE的面积为S1，COF的面积为S2，求（用含的式子表示）【解答】解：（1）如图1中，B、B关于EC对称，BBEC，BE=EB，DEB=DAC=90，EDB=ADC，DBE=ACD，AB=AC，BAB=DAC=90，BABCAD，CD=BB=2BE（2）如图2中，结论：CD=2BEtan2理由：由（1）可知：ABB=ACD，BAB=CAD=90
19、，BABCAD，=，=，CD=2BEtan2（3）如图 3中，在RtABC中，ACB=902，EC平分ACB，ECB=（902）=45，BCF=45+，ECF=45+45+=90，BEC+ECF=180，BBCF，=sin（45），=，=sin（45）9、问题：如图，在RtABC中，AB=AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90得到AE，连接EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为BC=DC+EC；探索：如图，在RtABC与RtADE中，AB=AC，AD=AE，将ADE绕点A旋转，使点D落在BC边上，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证
20、明你的结论；应用：如图，在四边形ABCD中，ABC=ACB=ADC=45若BD=9，CD=3，求AD的长【解答】解：（1）BC=DC+EC，理由如下：BAC=DAE=90，BACDAC=DAEDAC，即BAD=CAE，在BAD和CAE中，BADCAE，BD=CE，BC=BD+CD=EC+CD，故答案为：BC=DC+EC；（2）BD2+CD2=2AD2，理由如下：连接CE，由（1）得，BADCAE，BD=CE，ACE=B，DCE=90，CE2+CD2=ED2，在RtADE中，AD2+AE2=ED2，又AD=AE，BD2+CD2=2AD2；（3）作AEAD，使AE=AD，连接CE，DE，BAC+C
21、AD=DAE+CAD，即BAD=CAD，在BAD与CAE中，BADCAE（SAS），BD=CE=9，ADC=45，EDA=45，EDC=90，DE=6，DAE=90，AD=AE=DE=610、如图，已知AOB=60，在AOB的平分线OM上有一点C，将一个120角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E(1)当DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时(如图1)，请猜想OE+OD与OC的数量关系，并说明理由；(2)当DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，(1)中的结论是否成立？并说明理由；(3)当DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，上述结论是否成立？请在
22、图3中画出图形，若成立，请给于证明；若不成立，线段OD、OE与OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明【答案】解：(1)OM是AOB的角平分线，AOC=BOC=12AOB=30，CDOA，ODC=90，OCD=60，OCE=DCE-OCD=60，在RtOCD中，OD=OEcos30=32OC，同理：OE=32OC，OD+OD=3OC；(2)(1)中结论仍然成立，理由：过点C作CFOA于F，CGOB于G，OFC=OGC=90，AOB=60，FCG=120，同(1)的方法得，OF=32OC，OG=32OC，OF+OG=3OC，CFOA，CGOB，且点C是AOB的平分线OM上一点，CF=
23、CG，DCE=120，FCG=120，DCF=ECG，CFDCGE，DF=EG，OF=OD+DF=OD+EG，OG=OE-EG，OF+OG=OD+EG+OE-EG=OD+OE，OD+OE=3OC；(3)(1)中结论不成立，结论为：OE-OD=3OC，理由：过点C作CFOA于F，CGOB于G，OFC=OGC=90，AOB=60，FCG=120，同(1)的方法得，OF=32OC，OG=32OC，OF+OG=3OC，CFOA，CGOB，且点C是AOB的平分线OM上一点，CF=CG，DCE=120，FCG=120，DCF=ECG，CFDCGE，DF=EG，OF=DF-OD=EG-OD，OG=OE-EG
24、，OF+OG=EG-OD+OE-EG=OE-OD，OE-OD=3OC11、将一副三角尺按图1摆放，等腰直角三角尺的直角边DF恰好垂直平分AB，与AC相交于点G，BC=2cm（1）求GC的长；（2）如图2，将DEF绕点D顺时针旋转，使直角边DF经过点C，另一直角边DE与AC相交于点H，分别过H、C作AB的垂线，垂足分别为M、N，通过观察，猜想MD与ND的数量关系，并验证你的猜想（3）在（2）的条件下，将DEF沿DB方向平移得到DEF，当DE恰好经过（1）中的点G时，请直接写出DD的长度【解答】解：（1）如图1中，在RtABC中，BC=2，B=60，AC=BCtan60=6，AB=2BC=4，在R
25、tADG中，AG=4，CG=AC=AG=64=2（2）如图2中，结论：DM+DN=2或DM=DN理由：HMAB，CNAB，AMH=DMH=CNB=CND=90，A+B=90，B+BCN=90，A=BCNAHMCBN，=，同法可证：DHMCDN，=由可得AMBN=DNDM，=，=，=，AD=BD，AM=DN，DM+DN=AM+DM=AD=2或ABC为直角三角形，D为斜边AB的中点，CD=BD=AD又B=60，BDC为等边三角形，CDB=60又EDF=90，MDA=30A=90B=30，AH=HD，又HMAD，MD=在等边三角形 BCD中，CNBD，ND=NB又AD=BD，MD=ND（3）如图3中
26、，作GKDE交AB由K在AGK中，AG=GK=4，A=GKD=30，作GHAB于H则AH=AGcos30=2，可得AK=2AH=4，此时K与B重合DD=DB=212、如图，在中，点、分别在、边上，连接、，点、分别是、的中点，连接、（1）与的数量关系是（2）将绕点逆时针旋转到图和图的位置，判断与有怎样的数量关系？写出你的猜想，并利用图或图进行证明【解答】解：（1）如图中，的等腰直角三角形，故答案为（2）如图中，结论仍然成立理由：连接，延长交于点和是等腰直角三角形，、分别为、的中点，13、已知是斜边的中点，过点作使，连接并延长到，使，连接，设与交于，与交于（1）如图1，当，共线时，求证：；（2）如
27、图2，当，不共线时，连接，求证：【解答】证明（1），同理，是斜边的中点，即是的中点，即是的中点，是直角三角形，；，由知：，是线段的垂直平分线，；（2）如图2，延长到，使，连接，则，是的垂直平分线，是的垂直平分线，14、如图1，点B在线段上，RtRt， （1）点F到直线的距离是_；（2）固定，将绕点C按顺时针方向旋转30，使得与重合，并停止旋转请你在图1中用直尺和圆规画出线段经旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示，保留画图痕迹，不要求写画法）该图形的面积为_；如图2，在旋转过程中，线段与交于点O，当时，求的长【详解】解：（1），ACB=60，RtRt，ECF=BAC=30，EF=BC=1，ACF
28、=30，ACF=ECF=30，CF是ACB的平分线，点F到直线的距离=EF=1；故答案为：1；（2）线段经旋转运动所形成的平面图形如图3中的阴影所示：在RtCEF中，ECF=30，EF=1，CF=2，CE=，由旋转的性质可得：CF=CA=2，CE=CG=，ACG=ECF=30，S阴影=（SCEF+S扇形ACF）（SACG+S扇形CEG）=S扇形ACFS扇形CEG=；故答案为：；作EHCF于点H，如图4，在RtEFH中，F=60，EF=1，CH=，设OH=x，则，OB=OE，在RtBOC中，解得：，15、如图1，平面直角坐标系中，等腰的底边在轴上，顶点在的正半轴上，一动点从出发，以每秒1个单位的
29、速度沿向左运动，到达的中点停止另一动点从点出发，以相同的速度沿向左运动，到达点停止已知点、同时出发，以为边作正方形，使正方形和在的同侧设运动的时间为秒（）（1）当点落在边上时，求的值；（2）设正方形与重叠面积为，请问是存在值，使得？若存在，求出值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，取的中点，连结，当点、开始运动时，点从点出发，以每秒个单位的速度沿运动，到达点停止运动请问在点的整个运动过程中，点可能在正方形内（含边界）吗？如果可能，求出点在正方形内（含边界）的时长；若不可能，请说明理由【详解】（1）由题意，A(0，2)，B(-4，0)，C(4，0)，设直线AC的函数解析式为y=kx+b，将点A
30、、C坐标代入，得：，解得：，直线AC的函数解析式为，当点落在边上时，点E(3-t，0)，点H（3-t，1），将点H代入，得：，解得：t=1；（2）存在，使得根据已知，当点F运动到点O停止运动前，重叠最大面积是边长为1的正方形的面积，即不存在t，使重叠面积为，故t4，设直线AB的函数解析式为y=mx+n，将点A、B坐标代入，得：，解得：，直线AC的函数解析式为，当t4时，点E（3-t，0）点H（3-t，t-3），G(0，t-3)，当点H落在AB边上时，将点H代入，得：，解得：；此时重叠的面积为，t5，如图1，设GH交AB于S，EH交AB于T,将y=t-3代入得：，解得：x=2t-10，点S(2t
31、-10，t-3)，将x=3-t代入得：，点T，AG=5-t，SG=10-2t，BE=7-t，ET=，,所以重叠面积S=4-=，由=得：，5(舍去)，； （3）可能，t1或t=4点D为AC的中点，且OA=2,OC=4，点D（2，1），AC=，OD=OC=OA=,易求得OD的解析式为，当0t1时，如图2，设点M为EH与OD的交点，由题意，OM=，将x=3-t代入中得：，OE=3-t，EM=，由勾股定理得：即，解得：，当t=1时，由（1）知，点M与点H都运动到D点处，符合题意；当t1时，点可能在正方形内（含边界），,当1t4时，点不可能在正方形内（含边界），当t=4时，点M运动返回到点O处，此时点F
32、也运动到点O处，符合题意，综上，当t1或t=4时，点可能在正方形内（含边界）16、如果三角形的两个内角与满足2+=90，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”（1）若ABC是“准互余三角形”，C90，A=60，则B=15；（2）如图，在RtABC中，ACB=90，AC=4，BC=5若AD是BAC的平分线，不难证明ABD是“准互余三角形”试问在边BC上是否存在点E（异于点D），使得ABE也是“准互余三角形”？若存在，请求出BE的长；若不存在，请说明理由（3）如图，在四边形ABCD中，AB=7，CD=12，BDCD，ABD=2BCD，且ABC是“准互余三角形”，求对角线AC的长【解答】解：（1）
33、ABC是“准互余三角形”，C90，A=60，2B+A=60，解得，B=15，故答案为：15；（2）如图中，在RtABC中，B+BAC=90，BAC=2BAD，B+2BAD=90，ABD是“准互余三角形”，ABE也是“准互余三角形”，只有2B+BAE=90，B+BAE+EAC=90，CAE=B，C=C=90，CAECBA，可得CA2=CECB，CE=，BE=5=（3）如图中，将BCD沿BC翻折得到BCFCF=CD=12，BCF=BCD，CBF=CBD，ABD=2BCD，BCD+CBD=90，ABD+DBC+CBF=180，A、B、F共线，A+ACF=902ACB+CAB90，只有2BAC+ACB=90，FCB=FAC，F=F，FCBFAC，CF2=FBFA，设FB=x，则有：x（x+7）=122，x=9或16（舍弃），AF=7+9=16，在RtACF中，AC=20