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1、2021年中考数学第三轮压轴题冲刺专题复习：四边形的综合题 专项练习1、如图，在矩形中，点为边上的一点（与、不重合）四边形关于直线的对称图形为四边形，延长交与点，记四边形的面积为（1）若，求的值；（2）设，求关于的函数表达式2、如图，中，点为斜边的中点.将线段平移至交于点，连接、.（1）求证：；（2）求证：四边形为菱形；（3）连接，交于点，若，求的长.3、如图，菱形的边长为1，点是边上任意一点（端点除外），线段的垂直平分线交，分别于点，的中点分别为，（1）求证：；（2）求的最小值；（3）当点在上运动时，的大小是否变化？为什么？4、如图，正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（不与A、C重
2、合），连结BP，将BP绕点B顺时针旋转到BQ，连结QP交BC于点E，QP延长线与边AD交于点F（1）连结CQ，求证：；（2）若，求的值；（3）求证：5、实践操作：第一步：如图1，将矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在上的点处，得到折痕，然后把纸片展平第二步：如图2，将图1中的矩形纸片沿过点E的直线折叠，点C恰好落在上的点处，点B落在点处，得到折痕，交于点M，交于点N，再把纸片展平 问题解决：（1）如图1，填空：四边形的形状是_；（2）如图2，线段与是否相等？若相等，请给出证明；若不等，请说明理由；（3）如图2，若，求的值6、在矩形ABCD中，E为上的一点，把沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上
3、的点F（1）求证：（2）若，求EC的长；（3）若，记，求的值7、在一次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片和拼在一起，使点与点重合，点与点重合（如图，其中，并进行如下研究活动活动一：将图1中的纸片沿方向平移，连结，（如图，当点与点重合时停止平移【思考】图2中的四边形是平行四边形吗？请说明理由【发现】当纸片平移到某一位置时，小兵发现四边形为矩形（如图求的长活动二：在图3中，取的中点，再将纸片绕点顺时针方向旋转度，连结，（如图【探究】当平分时，探究与的数量关系，并说明理由8、在一次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片和拼在一起，使点与点重合，点与点重合（如图，其中，并进行如
4、下研究活动活动一：将图1中的纸片沿方向平移，连结，（如图，当点与点重合时停止平移【思考】图2中的四边形是平行四边形吗？请说明理由【发现】当纸片平移到某一位置时，小兵发现四边形为矩形（如图求的长活动二：在图3中，取的中点，再将纸片绕点顺时针方向旋转度，连结，（如图【探究】当平分时，探究与的数量关系，并说明理由9、已知：如图，将一块45角的直角三角板与正方形的一角重合，连接，点M是的中点，连接（1）请你猜想与的数量关系是_（2）如图，把正方形绕着点D顺时针旋转角（）与的数量关系是否仍成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（温馨提示：延长到点N，使，连接）求证：；若旋转角，且，求的值（可不写过
5、程，直接写出结果）10、如图，在边长为4的正方形中，点为对角线上一动点（点与点、不重合），连接，作交射线于点，过点作分别交、于点、，作射线交射线于点（1）求证：；（2）当时，求的长11、如图1，在矩形中，动点，分别从点，点同时以每秒1个单位长度的速度出发，且分别在边上沿，的方向运动，当点运动到点时，两点同时停止运动，设点运动的时间为，连接，过点作，与边相交于点，连接（1）如图2，当时，延长交边于点求证：；（2）在（1）的条件下，试探究线段三者之间的等量关系，并加以证明；（3）如图3，当时，延长交边于点，连接，若平分，求的值12、如图，正方形的边长为6，为的中点，为等边三角形，过点作的垂线分别与
6、边、相交于点、，点、分别在线段、上运动，且满足，连接（1）求证：（2）当点在线段上时，试判断的值是否变化？如果不变，求出这个值，如果变化，请说明理由（3）设，点关于的对称点为，若点落在的内部，试写出的范围，并说明理由13、如图，四边形是正方形，点为对角线的中点（1）问题解决：如图，连接，分别取，的中点，连接，则与的数量关系是，位置关系是；（2）问题探究：如图，是将图中的绕点按顺时针方向旋转得到的三角形，连接，点，分别为，的中点，连接，判断的形状，并证明你的结论；（3）拓展延伸：如图，是将图中的绕点按逆时针方向旋转得到的三角形，连接，点，分别为，的中点，连接，若正方形的边长为1，求的面积14、（
7、1）阅读与证明如图1，在正的外角内引射线，作点关于的对称点（点在内），连接，、分别交于点、完成证明：点是点关于的对称点，正中，得在中，在中，求证：（2）类比与探究把（1）中的“正”改为“正方形”，其余条件不变，如图2类比探究，可得：；线段、之间存在数量关系（3）归纳与拓展如图3，点在射线上，在内引射线，作点关于的对称点（点在内），连接，、分别交于点、则线段、之间的数量关系为15、如图1，矩形中，中，的延长线相交于点，且，将绕点逆时针旋转得到（1）当时，求点到直线的距离（2）在图1中，取的中点，连结，如图2当与矩形的一条边平行时，求点到直线的距离当线段与矩形的边有且只有一个交点时，求该交点到直线
8、的距离的取值范围参考答案2021年中考数学第三轮压轴题冲刺专题复习：四边形的综合题 专项练习1、如图，在矩形中，点为边上的一点（与、不重合）四边形关于直线的对称图形为四边形，延长交与点，记四边形的面积为（1）若，求的值；（2）设，求关于的函数表达式【详解】解：（1）在RtADE中，四边形关于直线的对称图形为四边形，为等边三角形，S=SAPE+SADE=；（2）过点作于点F，如图，则四边形ADEF矩形，由（1）可知，设，则， 在中，由勾股定理，得：，解得：，S=SAPE+SADE=2、如图，中，点为斜边的中点.将线段平移至交于点，连接、.（1）求证：；（2）求证：四边形为菱形；（3）连接，交于点
9、，若，求的长.解（1）证明：为平移所得，四边形为平行四边形，在中，点为斜边的中点，.（2）证明：四边形为平行四边形，即，又，四边形为平行四边形，又，四边形为菱形.（3）解：在菱形中，点为的中点，又，在中，即，在平行四边形中，点为的中点，.3、如图，菱形的边长为1，点是边上任意一点（端点除外），线段的垂直平分线交，分别于点，的中点分别为，（1）求证：；（2）求的最小值；（3）当点在上运动时，的大小是否变化？为什么？【解答】解：（1）连接，垂直平分，四边形为菱形，和关于对角线对称，；（2）连接，和分别是和的中点，点为中点，即，当点与菱形对角线交点重合时，最小，即此时最小，菱形边长为1，为等边三角形
10、，即的最小值为；（3）不变，理由是：延长，交于，点在菱形对角线上，根据菱形的对称性可得：，为定值4、如图，正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（不与A、C重合），连结BP，将BP绕点B顺时针旋转到BQ，连结QP交BC于点E，QP延长线与边AD交于点F（1）连结CQ，求证：；（2）若，求的值；（3）求证：【详解】解：四边形ABCD为正方形，AB=BC，ABC=90，BP绕点B顺时针旋转到BQ，BP=BQ，PBQ=90，ABC-PBC=PBQ-PBC,ABP=CBQ，在APB和CQB中，APBCQB(SAS)，AP=CQ(2) 设AP=x，则AC=4x，PC=3x，由(1)知CQ=AP=x
11、，ABC为等腰直角三角形，BC=，RtPCQ中，由勾股定理有：，且PBQ为等腰直角三角形，又BCQ=BAP=45，BQE=45，BCQ=BQE=45，且CBQ=CBQ，BQEBCQ，代入数据：，BE=，CE=BC-BE=，故答案为：(3) 在CE上截取CG，并使CG=FA，如图所示：FAP=GCQ=45，且由(1)知AP=CQ，且截取CG=FA，故有PFAQGC(SAS)，PF=QG，PFA=CGQ，又DFP=180-PFA，QGE=180-CGQ，DFP=QGE，DABC，DFP=CEQ，QGE=CEQ，QGE为等腰三角形，GQ=QE，故PF=QE5、实践操作：第一步：如图1，将矩形纸片沿过
12、点D的直线折叠，使点A落在上的点处，得到折痕，然后把纸片展平第二步：如图2，将图1中的矩形纸片沿过点E的直线折叠，点C恰好落在上的点处，点B落在点处，得到折痕，交于点M，交于点N，再把纸片展平 问题解决：（1）如图1，填空：四边形的形状是_；（2）如图2，线段与是否相等？若相等，请给出证明；若不等，请说明理由；（3）如图2，若，求的值【详解】（1）解：ABCD是平行四边形，四边形是平行四边形矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在上的点处四边形的形状是正方形故最后答案为：四边形的形状是正方形；（2）理由如下：如图，连接，由（1）知：四边形是矩形，由折叠知：又，（3），由折叠知：，设，则中，由勾股
13、定理得：解得：，即如图，延长交于点G，则，6、在矩形ABCD中，E为上的一点，把沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F（1）求证：（2）若，求EC的长；（3）若，记，求的值【详解】（1）证明：四边形ABCD是矩形，B=C=D=90，AFB+BAF=90，AFE是ADE翻折得到的，AFE=D=90，AFB+CFE=90，BAF=CFE，ABFFCE（2）解：AFE是ADE翻折得到的，AF=AD=4，BF=，CF=BC-BF=AD-BF=2，由（1）得ABFFCE，EC=（3）解：由（1）得ABFFCE，CEF=BAF=，tan+tan=，设CE=1，DE=x，AE=DE+2EC=x+2，AB=
14、CD=x+1，AD=ABFFCE，x2-4x+4=0，解得x=2，CE=1，CF=，EF=x=2，AF= AD=，tan+tan=7、在一次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片和拼在一起，使点与点重合，点与点重合（如图，其中，并进行如下研究活动活动一：将图1中的纸片沿方向平移，连结，（如图，当点与点重合时停止平移【思考】图2中的四边形是平行四边形吗？请说明理由【发现】当纸片平移到某一位置时，小兵发现四边形为矩形（如图求的长活动二：在图3中，取的中点，再将纸片绕点顺时针方向旋转度，连结，（如图【探究】当平分时，探究与的数量关系，并说明理由【解答】解：【思考】四边形是平行四边形证明：如
15、图，四边形是平行四边形；【发现】如图1，连接交于点，四边形为矩形，设，则，在中，解得：，【探究】，证明：如图2，延长交于点，四边形为矩形，平分，8、在一次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片和拼在一起，使点与点重合，点与点重合（如图，其中，并进行如下研究活动活动一：将图1中的纸片沿方向平移，连结，（如图，当点与点重合时停止平移【思考】图2中的四边形是平行四边形吗？请说明理由【发现】当纸片平移到某一位置时，小兵发现四边形为矩形（如图求的长活动二：在图3中，取的中点，再将纸片绕点顺时针方向旋转度，连结，（如图【探究】当平分时，探究与的数量关系，并说明理由【解答】解：【思考】四边形是平行
16、四边形证明：如图，四边形是平行四边形；【发现】如图1，连接交于点，四边形为矩形，设，则，在中，解得：，【探究】，证明：如图2，延长交于点，四边形为矩形，平分，9、已知：如图，将一块45角的直角三角板与正方形的一角重合，连接，点M是的中点，连接（1）请你猜想与的数量关系是_（2）如图，把正方形绕着点D顺时针旋转角（）与的数量关系是否仍成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（温馨提示：延长到点N，使，连接）求证：；若旋转角，且，求的值（可不写过程，直接写出结果）【详解】（1）猜想与的数量关系是AF=2DM，故答案为：AF=2DM；（2）AF=2DM仍然成立，理由如下：延长到点N，使，连接，M
17、是CE中点，CM=EM又CMN=EMD，MNCMDECN=DE=DF,MNC=MDECNDE，又ADBCNCB=EDAADFDCNAF=DNAF=2DMADFDCNNDC=FAD，CDA=90，NDC+NDA=90FAD+NDA=90AFDM，EDC=90-45=45，EDM=EDC=30，AFD=30过A点作AGFD的延长线于G点，ADG=90-45=45ADG是等腰直角三角形，设AG=k,则DG=k，AD=AGsin45=k，FG=AGtan30=k，FD=ED=k-k故=10、如图，在边长为4的正方形中，点为对角线上一动点（点与点、不重合），连接，作交射线于点，过点作分别交、于点、，作射
18、线交射线于点（1）求证：；（2）当时，求的长【解答】（1）证明：四边形是正方形，是对角线，在和中，；（2）如图1所示，由（1）知，四边形是矩形，又，；如图2所示，同理可得，即，解得，11、如图1，在矩形中，动点，分别从点，点同时以每秒1个单位长度的速度出发，且分别在边上沿，的方向运动，当点运动到点时，两点同时停止运动，设点运动的时间为，连接，过点作，与边相交于点，连接（1）如图2，当时，延长交边于点求证：；（2）在（1）的条件下，试探究线段三者之间的等量关系，并加以证明；（3）如图3，当时，延长交边于点，连接，若平分，求的值【详解】（1）由题意得：四边形ABCD是矩形，在和中，；（2），证明如
19、下：如图，连接FQ由（1）已证：PQ是线段EF的垂直平分线在中，由勾股定理得：则；（3）如图，设FQ与AC的交点为点O由题意得：，平分，（角平分线的性质）是等腰三角形在和中，即是的角平分线（等腰三角形的三线合一）在中，在中，即解得，即故的值为12、如图，正方形的边长为6，为的中点，为等边三角形，过点作的垂线分别与边、相交于点、，点、分别在线段、上运动，且满足，连接（1）求证：（2）当点在线段上时，试判断的值是否变化？如果不变，求出这个值，如果变化，请说明理由（3）设，点关于的对称点为，若点落在的内部，试写出的范围，并说明理由【解答】证明：（1）正方形的边长为6，为的中点，是等边三角形，又，；（
20、2）的值不变，理由如下：如图1，连接，过点作于，四边形是矩形，；（3）如图2，当点落在上时，是等边三角形，当点落在上时，点关于的对称点为，点与点重合，点与点重合，如图3，当点落在上时，同理可求：，当时，点落在的内部13、如图，四边形是正方形，点为对角线的中点（1）问题解决：如图，连接，分别取，的中点，连接，则与的数量关系是，位置关系是；（2）问题探究：如图，是将图中的绕点按顺时针方向旋转得到的三角形，连接，点，分别为，的中点，连接，判断的形状，并证明你的结论；（3）拓展延伸：如图，是将图中的绕点按逆时针方向旋转得到的三角形，连接，点，分别为，的中点，连接，若正方形的边长为1，求的面积【解答】解
21、：（1）点为对角线的中点，为的中点，为的中点，；故答案为：，（2）的形状是等腰直角三角形理由如下：连接并延长交于点，四边形是正方形，将绕点按顺时针方向旋转得到，是等腰直角三角形，又点是的中点，为等腰直角三角形，也为等腰直角三角形又点为的中点，且，的形状是等腰直角三角形；（3）延长交边于点，连接，四边形是正方形，是对角线，由旋转得，四边形是矩形，为等腰直角三角形点是的中点，为等腰直角三角形，点是的中点，14、（1）阅读与证明如图1，在正的外角内引射线，作点关于的对称点（点在内），连接，、分别交于点、完成证明：点是点关于的对称点，正中，得在中，60在中，求证：（2）类比与探究把（1）中的“正”改为
22、“正方形”，其余条件不变，如图2类比探究，可得：；线段、之间存在数量关系（3）归纳与拓展如图3，点在射线上，在内引射线，作点关于的对称点（点在内），连接，、分别交于点、则线段、之间的数量关系为【解答】（1）解：如图1中，点是点关于的对称点，正中，得在中，在中，故答案为60，30证明：如图1中，连接，在上取一点，使得，连接，关于对称，垂直平分线段，是等边三角形，（2）解：如图2中，点是的外接圆的圆心，故答案为45结论：理由：如图2中，连接，在上取一点，使得，连接，是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，（3）如图3中，连接，在上取一点，使得，同法可证，即故答案为：15、如图1，矩形中，中，的延长线相
23、交于点，且，将绕点逆时针旋转得到（1）当时，求点到直线的距离（2）在图1中，取的中点，连结，如图2当与矩形的一条边平行时，求点到直线的距离当线段与矩形的边有且只有一个交点时，求该交点到直线的距离的取值范围【解答】解：（1）如图1中，过点作于，点到直线的距离为（2）如图2中，当时，过点作于，是等腰直角三角形，点到直线的距离为如图3中，当时，过点作于同法可证是等腰直角三角形，点到直线的距离为设为所求的距离第一种情形：如图4中，当点落在上时，连接，延长交于，即，如图5中，当点落在上时，连接，过点作于，第二种情形：当与相交，不与相交时，当点在上时，即，如图6中，当点落在上时，设交于，过点作于，过点作交于，连接，即，第三种情形：当经过点时，如图7中，显然