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1、正弦定理 教学设计一、 教材分析正弦定理是人教A版新教材必修二第六章第四节平面向量的应用的内容之一，是必修一第五章三角函数中有关三角形知识的继续与发展，进一步揭示三角形的边角关系，也是本章前几节平面向量相关知识在三角形中的应用。正弦定理和余弦定理作为刻画三角形边角关系非常重要的两个定理，是解三角形基本而重要的工具。在以往的教材中，“正余弦定理及其应用举例”是单独作为一章“解三角形”出现，但人教A版新教材中，将这两个定理融入平面向量的应用中，进一步突出向量在解决数学问题中的应用价值。此外，正弦定理在解决物理、测量、工业等方面实际问题中应用广泛，体现了数学的工具性和基础性。二、 学情分析学生在初中
2、就已经讨论过三角形中的边角关系，具备一定的知识基础，但初中对于边角关系的探讨大多停留在定性描述阶段，正弦定理则是对三角形边角关系的定量刻画。由定性描述到定量刻画，需要学生具备一定数学抽象概括能力。本章前几节学生学习了平面向量的基础知识及其在平面几何、物理中的应用，前一课时运用向量法对余弦定理进行了探究，这都为本节学习正弦定理奠定良好的知识与方法基础。但是与余弦定理探究过程对比发现，在定理证明环节，使用向量法证明余弦定理十分简洁，而利用向量法证明正弦定理则比较复杂。因为向量的数量积运算中出现的是两向量夹角的余弦，正弦定理中涉及的是角的正弦，需要通过作新的向量构造角之间的互余关系，利用诱导公式将边
3、与角的余弦关系转化为正弦关系。这一过程对于学生的思维无疑是巨大的挑战。实际上证明正弦定理的方法有很多，如通过作高利用锐角三角函数证明、利用三角形面积证明、借助外接圆证明等，这些方法甚至都比向量法简洁。因此在实际教学中，定理证明环节可以放手让学生自主探究，生成多种证明方法。教材中着重讲的向量法思维量较大，学生难以自主生成，需要教师详细地引导学生一步步证明。三、 教学目标基于以上教材和学情分析，制定本节的教学目标如下：1. 理解掌握正弦定理的内容，探索证明正弦定理的方法，学会运用正弦定理解决简单的解三角形问题；2. 在“发现定理、验证定理、证明定理、应用定理”的过程中体会由特殊到一般的思想方法，培
4、养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力；3. 在小组合作探究过程中，实现思维的碰撞，培养学生学习数学的自信心和热情，养成善于合作交流的好习惯。四、 教学重难点教学重点：探究证明正弦定理的方法，理解掌握正弦定理的内容，应用正弦定理解决两角及任一边、两边及一边对角的解三角形问题教学难点：正弦定理的证明，特别是向量法证明正弦定理五、 教学策略为实现以上教学目标，突出重点、突破难点，我将采用探究式教学。在教师启发引导下，学生通过小组合作交流，以“正弦定理的发现及证明”为基本探究内容，经历“发现问题提出猜想验证猜想证明定理生成定理应用定理”这一过程，让学生了解正弦定理的来龙去脉，加深学生对于定理的认识
5、与理解，提升学生数学建模、数学抽象、逻辑推理的核心素养。六、 教学过程1. 创设情境，发现问题从生活中测量距离的问题出发，设A、B两点在河两岸，为测量A、B之间的距离，测量者在B同侧所在河岸取一点C，测出BC=24m，C=45，B=75，根据这些数据，能否求出A、B之间的距离？师：先给学生时间让其尝试思考解决，学生会发现解决起来有些困难，此时教师可以引导学生由生活情境抽象得到数学问题：在ABC中，已知两角夹边，求其他边。【设计意图】从生活中的实际问题抽象得到数学问题，可以激发学生学习数学的兴趣，让学生体会数学在实际生活中的应用，在这一过程中学生的抽象概括能力得到提高。2. 探究特例，提出猜想师
6、：同学们在初中借助直角三角形定义了锐角三角函数，在以C为直角的直角三角形中，容易得到sinA=ac，sinB=bc，sinC=1=cc，观察以上三式，它们之间有什么联系？能否将它们合成一个式子？生：asinA=bsinB=csinC=c师：在直角三角形中，有asinA=bsinB=csinC成立，一般地，在锐角或钝角三角形中，该结论是否依然成立？此时，教师可以引导学生大胆提出猜想：在任意三角形中，都有asinA=bsinB=csinC成立。【设计意图】从学生熟悉的直角三角形出发，引导学生发现正弦定理。再由直角三角形联想到一般的三角形，体现了由特殊到一般的数学思想，同时鼓励学生大胆提出猜想，有利
7、于学生养成善于思考、敢于求索、勇于求真的精神品质。3. 几何画板，验证猜想【师生共同活动】提出猜想后，教师现场利用几何画板构造三角形以及比值asinA，bsinB，csinC，让学生上台拖动改变三角形的形状，同时观察三个比值的变化。【设计意图】通过几何画板初步验证了正弦定理的正确性，为学生后面探索证明方法树立信心，让学生对定理的认识由感性逐步上升到理性。4. 小组探究，证明定理师：几何画板仅对结论的正确性进行验证，数学是讲究严密逻辑性的学科，下面同学们以小组为单位展开探究，考虑在锐角三角形、钝角三角形中对结论进行严格证明。【师生共同活动】学生小组合作探究，教师适时启发引导。证明正弦定理的方法较
8、多，学生容易想到通过作高利用锐角三角函数证明、利用三角形面积证明这两种证明方法，可以让学生积极上台分享交流，教师最后总结。向量法思维量较大，学生自行难以生成，教师可在学生自主探究展示结束后引导学生一步步证明。师：在探究余弦定理时，我们发现向量法证明余弦定理十分简洁，下面我们也尝试借助向量证明正弦定理。在ABC中，AC+CB=AB。师：正弦定理中涉及边和角的正弦，向量中哪一类运算会同时涉及长度和角？生：数量积运算师：向量数量积运算中会出现夹角的余弦，但我们需要角的正弦，如何将余弦关系转化为正弦关系？生：三角函数中的诱导公式BAC师：根据诱导公式，我们需要构造角之间的互余关系。于是考虑过点A作垂直
9、于AC的单位向量j，则单位向量j与AB的夹角为2A，j与CB的夹角为2C。在AC+CB=AB两边同时点乘单位向量j，利用数量积定义展开，同学们可以顺着这一思路做一做，尝试给出正弦定理的证明。【设计意图】关于正弦定理的证明，教材中着重讲了向量法，这是为了更好地突出向量的应用价值。实际上，证明正弦定理还有较多方法，甚至都比向量法简洁得多。因此在定理证明环节，以教师启发为主导，学生通过小组合作共同探求正弦定理的证明方法，小组生成证明方法后进行分享展示，能够增强学生的课堂参与度，激发学习兴趣，也充分体现学生在课堂中的主体地位，有利于学生形成合作交流、善于思考、勇于探究的习惯。向量法对于学生来说思维量大
10、，不易自行生成，故通过设置一系列有梯度的问题，由教师引导，带领学生一步步推导证明，同时将证明过程以填空形式出现在课件和学案中，帮助学生理清思路。5. 定理生成，剖析认知师：通过严格的证明，我们得到：在任意三角形中，都有asinA=bsinB=csinC成立。这一结论称之为正弦定理。同学们能尝试用文字语言描述正弦定理吗？生：在三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。师：观察正弦定理的符号表示式，它在结构上有什么特点？生：具有对称性师：正弦定理符号表达式在形式上具有对称性、统一性，体现了数学的对称和谐美。这个式子能否拆分成几个式子？每个式子含有几个量?生：三个等式，即asinA=bsinB，asi
11、nA=csinC，bsinB=csinC；每个等式都含有四个量。师：每个等式含有的四个量中，知道任意三个量可以求出其他量，因而正弦定理主要解决两类解三角形问题，即已知两角和任一边、已知两边及一边对角。【设计意图】严格证明之后，引出正弦定理的内容，教师引导学生尝试用文字语言来描述正弦定理，有利于学生理解正弦定理边角关系的本质；通过引导学生对于符号表达式的观察，发现定理的对称和谐美，提升学生对于数学美的享受；通过介绍正弦定理的其他形式，如拆分式，加深学生对正弦定理的了解和认识，分析总结出正弦定理能够解决的两类解三角形问题。如果时间充裕，教师还可补充其他形式，如连比式a:b:c=sinA:sinB:
12、sinC，分体式：设asinA=bsinB=csinC=k，则a=ksinA，b=ksinB，c=ksinC；sinA=a2R，sinB=b2R，sinC=c2R，6. 定理应用，解三角形例1 在ABC中，b=23，A=15，B=120，解三角形。变式1 在ABC中，BC=24，B=75，C=45，解三角形。【设计意图】例1是已知三角形两角及一角对边的解三角形问题，学生可以直接利用正弦定理求解；变式1是本节课一开始由生活情境提出的数学问题，已知三角形两角及另一边的解三角形问题，学生需先根据内角和定理求出第三个角，再利用正弦定理解决问题。由生活情境抽象到数学问题，利用数学原理解决问题后再回到实际
13、问题，充分体现了数学来源于生活，高于生活，最终又服务于生活的特点。例1和变式1体现了正弦定理能够解决已知三角形两角和任一边的解三角形问题，有利于巩固学生对正弦定理的认识和理解。例2 在ABC中，b=2，c=2，B=30，解三角形。变式2 （1）在ABC中，b=2，c=2，B=30，解三角形。（2）在ABC中，b=12，c=2，B=30，解三角形。【设计意图】例2是已知三角形两边及一边对角的解三角形问题，学生在利用正弦定理得到sinC=22后，满足题意的角C有两个：45或135，教师需引导学生分析两个结果是否都符合题意要求，即判断解的个数问题。为了让学生更加深入理解掌握这一问题，在例2题干中改变
14、b的长度，令b=2以及b=12，设计两个变式，对应解的个数为1个和0个。这两个变式与例2一起形成对比，有利于学生体会总结在利用正弦定理解决已知两边及一边对角的解三角形问题时的思路方法。7. 课堂小结教师可引导学生从知识内容、思想方法、情感态度等方面进行总结。知识内容：正弦定理的内容、证明和应用思想方法：从直角三角形这一特例入手，再到一般三角形中证明，体现了由特殊到一般的数学思想，向量法证明正弦定理也体现了数形结合的思想情感态度：小组探究中体会合作交流的力量，通过定理发现、猜想、验证、证明等一系列过程，体会发现、分析、解决问题的乐趣，学习数学的热情和自信心进一步增强。【设计意图】课堂小结是学生回顾本节所学、总结反思的过程，可以帮助学生理顺本节所学知识框架结构，培养学生学习能力，升华学生思维，为下节新知作好铺垫。8. 课后作业（1） 教材48页练习、同步练习册对应课时练习（2） 思考：正弦定理中各边与所对角的正弦的比值是多少？能不能求出来？【设计意图】课后练习是对本节所学新知的巩固，有利于学生熟练掌握和应用正弦定理，在巩固中得到提高。9. 板书设计正弦定理1. 内容 asinA=bsinB=csinC 例12. 应用 （1）两角及任一边（2）两边及一边对角学科网（北京）股份有限公司