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1、解析几何计算处理技巧解析几何计算处理技巧中学解析几何是将几何图形置于直角坐标系中，用方程的观点来研究曲线，体现了用代数的方法解决几何问题的优越性，但有时运算量过大，或需冗杂的讨论，这些都会影响解题的速度，甚至会中止解题的经过，到达“望题兴叹的地步十分是高考经过中，在规定的时间内，保质保量完成解题的任务，计算能力是一个重要的方面为此，从下面几个方面探索减轻运算量的方法和技巧，合理简化解题经过，优化思维经过考点一回归定义，以逸待劳回归定义的本质是重新审视概念，并用相应的概念解决问题，是一种朴素而又重要的策略和思想方法圆锥曲线的定义既是有关圆锥曲线问题的出发点，又是新知识、新思维的生长点对于相关的圆
2、锥曲线中的数学问题，若能根据已知条件，巧妙灵敏应用定义，往往能到达化难为易、化繁为简、事半功倍的效果典例如图，F1，F2是椭圆C1：x24y21与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是()A.2B.3C.32D.62 解题观摩由已知，得F1(3，0)，F2(3，0)，设双曲线C2的实半轴长为a，由椭圆及双曲线的定义和已知，可得?|AF1|AF2|4，|AF2|AF1|2a，|AF1|2|AF2|212，解得a22，故a2.所以双曲线C2的离心率e3262.答案D关键点拨此题巧妙运用椭圆和双曲线的定义建立|AF1|，|AF2
3、|的等量关系，进而快速求出双曲线实半轴长a的值，进而求出双曲线的离心率，大大降低了运算量对点训练1.如图，设抛物线y24x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则BCF与ACF的面积之比是()A.|BF|1|AF|1B.|BF|21|AF|21C.|BF|1|AF|1D.|BF|21|AF|21解析：选A由题意可得SBCFSACF|BC|AC|xBxA|BF|p2|AF|p2|BF|1|AF|1.2抛物线y24mx(m0)的焦点为F，点P为该抛物线上的动点，若点A(m,0)，则|PF|PA|的最小值为_解析：设点P的坐标为(xP，yP)，
4、由抛物线的定义，知|PF|xPm，又|PA|2(xPm)2y2P(xPm)24mxP，则2)|(PAPF(xPm)2(xPm)24mxP114mxP(xPm)2114mxP(2xPm)212(当且仅当xPm时取等号)，所以|PF|PA|22，所以|PF|PA|的最小值为22.答案：22考点二设而不求，金蝉脱壳设而不求是解析几何解题的基本手段，是比拟特殊的一种思想方法，其本质是整体构造意义上的变式和整体思想的应用设而不求的灵魂是通过科学的手段使运算量最大限度地减少，通过设出相应的参数，利用题设条件加以巧妙转化，以参数为过渡，设而不求典例已知椭圆E：x2a2y2b21(ab0)的右焦点为F(3，0
5、)，过点F的直线交E于A，B两点若AB的中点坐标为(1，1)，则E的标准方程为()A.x245y2361B.x236y2271C.x227y2181D.x218y291解题观摩设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x22，y1y22，?x21a2y21b21，x22a2y22b21，得(x1x2)(x1x2)a2(y1y2)(y1y2)b20，所以kABy1y2x1x2b2(x1x2)a2(y1y2)b2a2.又kAB013112，所以b2a212.又9c2a2b2，解得b29，a218，所以椭圆E的方程为x218y291.答案D关键点拨(1)此题设出A，B两点的坐标，却不求出A，B两点
6、的坐标，巧妙地表达出直线AB的斜率，通过将直线AB的斜率“算两次建立几何量之间的关系，进而快速解决问题(2)在运用圆锥曲线问题中的设而不求方法技巧时，需要做到：但凡不必直接计算就能更简洁地解决问题的，都尽可能施行“设而不求；“设而不求不可避免地要设参、消参，而设参的原则是宜少不宜多对点训练1已知O为坐标原点，F是椭圆C：x2a2y2b21(ab0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点P为C上一点，且PFx轴过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E，若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为()A.13B.12C.23D.34解析：选A设OE的中点为G，由题意设直线l的方程为yk(xa)，
7、分别令xc与x0得|FM|k(ac)，|OE|ka，由OBGFBM，得|OG|FM|OB|FB|，即12kak(ac)aac，整理得ca13，所以椭圆C的离心率e13.2过点M(1,1)作斜率为12的直线与椭圆C：x2a2y2b21(ab0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于_解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则?x21a2y21b21，x22a2y22b21，(x1x2)(x1x2)a2(y1y2)(y1y2)b20，y1y2x1x2b2a2x1x2y1y2.y1y2x1x212，x1x22，y1y22，b2a212，a22b2.又b2a2c2，a22(a
8、2c2)，a22c2，ca22.即椭圆C的离心率e22.答案：22考点三巧设参数，变换主元换元引参是一种重要的数学方法，十分是解析几何中的最值问题、不等式问题等，利用换元引参使一些关系能够互相联络起来，激活了解题的方法，往往能化难为易，到达事半功倍常见的参数能够选择点的坐标、直线的斜率、直线的倾斜角等在换元经过中，还要注意代换的等价性，防止扩大或缩小原来变量的取值范围或改变原题条件典例设椭圆x2a2y2b21(ab0)的左、右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两点，O为坐标原点若|AP|OA|，证实直线OP的斜率k知足|k|3.解题观摩法一：依题意，直线OP的方程为ykx，设点P的坐标
9、为(x0，y0)由条件得?y0kx0，x20a2y20b21，消去y0并整理，得x20a2b2k2a2b2.由|AP|OA|，A(a,0)及y0kx0，得(x0a)2k2x20a2，整理得(1k2)x202ax00.而x00，于是x02a1k2，代入，整理得(1k2)24k22)(ba4.又ab0，故(1k2)24k24，即k214，因而k23，所以|k|3.法二：依题意，直线OP的方程为ykx，可设点P的坐标为(x0，kx0)由点P在椭圆上，得x20a2k2x20b21.由于ab0，kx00，所以x20a2k2x20a21，即(1k2)x20a2.由|AP|OA|及A(a,0)，得(x0a)
10、2k2x20a2，整理得(1k2)x202ax00，于是x02a1k2，代入，得(1k2)4a2(1k2)2a2，解得k23，所以|k|3.法三：设P(acos，bsin)(02)，则线段OP的中点Q的坐标为)sin2,cos2(ba.|AP|OA|?AQOP?kAQk1.又A(a,0)，所以kAQbsin2aacos，即bsinakAQcos2akAQ.进而可得|2akAQ|b2a2k2AQa1k2AQ，解得|kAQ|33，故|k|1|kAQ|3.关键点拨求解此题利用椭圆的参数方程，可快速建立各点之间的联络，降低运算量对点训练设直线l与抛物线y24x相交于A，B两点，与圆C：(x5)2y2r
11、2(r0)相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，求r的取值范围解：当斜率不存在时，有两条，当斜率存在时，不妨设直线l的方程为xtym，A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入抛物线y24x并整理得y24ty4m0，则有16t216m0，y1y24t，y1y24m，那么x1x2(ty1m)(ty2m)4t22m，可得线段AB的中点M(2t2m,2t)，而由题意可得直线AB与直线MC垂直，即kMCkAB1，可得2t02t2m51t1，整理得m32t2(当t0时)，把m32t2代入16t216m0，可得3t20，即0t23，又由于圆心到直线的距离等于半径，即d|5m|1t222t
12、21t221t2r，而由0t23可得2r4.故r的取值范围为(2,4)考点四数形结合，偷梁换柱著名数学家华罗庚讲过：“数与形本是两相倚，焉能分作两边飞数缺形时少直观，形少数时难入微在圆锥曲线的一些问题中，很多对应的长度、数式等都具有一定的几何意义，挖掘题目中隐含的几何意义，采用数形结合的思想方法，可解决一些相应问题典例已知F是双曲线C：x2y281的右焦点，P是C的左支上一点，A(0,66)当APF周长最小时，该三角形的面积为_ 解题观摩设双曲线的左焦点为F1，根据双曲线的定义可知|PF|2a|PF1|，则APF的周长为|PA|PF|AF|PA|2a|PF1|AF|PA|PF1|AF|2a，由
13、于|AF|2a是定值，要使APF的周长最小，则|PA|PF1|最小，即P，A，F1共线，由于A(0,66)，F1(3,0)，则直线AF1的方程为x3y661，即xy263，代入双曲线方程整理可得y266y960，解得y26或y86(舍去)，所以点P的纵坐标为26，所以1266612626126.答案126关键点拨要求APF的周长的最小值，其实就是转化为求解三角形三边长之和，根据已知条件与双曲线定义加以转化为已知边的长度问题与已知量的等价条件来分析，根据直线与双曲线的位置关系，通过数形结合确定点P的位置，通过求解点P的坐标进而利用三角形的面积公式来处理对点训练1椭圆x25y241的左焦点为F，直
14、线xm与椭圆相交于点M，N，当FMN的周长最大时，FMN的面积是()A.55B.655C.855D.455解析：选C如下图，设椭圆的右焦点为F，连接MF，NF.由于|MF|NF|MF|NF|MF|NF|MN|，所以当直线xm过椭圆的右焦点时，FMN的周长最大此时|MN|2b2a855，又ca2b2541，所以此时FMN的面积S122855855.故选C.2设P为双曲线x2y2151右支上一点，M，N分别是圆C1：(x4)2y24和圆C2：(x4)2y21上的点，设|PM|PN|的最大值和最小值分别为m，n，则|mn|()A4B.5C6D7解析：选C由题意得，圆C1：(x4)2y24的圆心为(4
15、,0)，半径为r12；圆C2：(x4)2y21的圆心为(4,0)，半径为r21.设双曲线x2y2151的左、右焦点分别为F1(4,0)，F2(4,0)如下图，连接PF1，PF2，F1M，F2N，则|PF1|PF2|2.又|PM|max|PF1|r1，|PN|min|PF2|r2，所以|PM|PN|的最大值m|PF1|PF2|r1r25.又|PM|min|PF1|r1，|PN|max|PF2|r2，所以|PM|PN|的最小值n|PF1|PF2|r1r21，所以|mn|6.故选C.考点五妙借向量，无中生有平面向量是衔接代数与几何的纽带，沟通“数与“形，融数、形于一体，是数形结合的典范，具有几何形式
16、与代数形式的双重身份，是数学知识的一个交汇点和联络多项知识的媒介妙借向量，能够有效提升圆锥曲线的解题方向与运算效率，到达良好效果典例如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆x2a2y2b21(ab0)的右焦点，直线yb2与椭圆交于B，C两点，且BFC90，则该椭圆的离心率是_解题观摩把yb2代入椭圆x2a2y2b21，可得x32a，则B)2,23(ba-，C)2,23(ba，而F(c,0)，则FB)2,23(bca-，FC)2,23(bca-，又BFC90，故有FBFC)2,23(bca-)2,23(bca-c234a214b2c234a214(a2c2)34c212a20，则有3c22a2，
17、所以该椭圆的离心率eca63.答案63关键点拨此题通过相关向量坐标确实定，结合BFC90，巧妙借助平面向量的坐标运算来转化圆锥曲线中的相关问题，从形入手转化为相应数的形式，简化运算对点训练设直线l是圆O：x2y22上动点P(x0，y0)(x0y00)处的切线，l与双曲线x2y221交于不同的两点A，B，则AOB为()A90B.60C45D30解析：选A点P(x0，y0)(x0y00)在圆O：x2y22上，x20y202，圆在点P(x0，y0)处的切线方程为x0xy0y2.由?x2y221，x0xy0y2及x20y202得(3x204)x24x0x82x200.切线l与双曲线交于不同的两点A，B
18、，且0x202，3x2040，且16x204(3x204)(82x20)0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x24x03x204，x1x282x203x204.OAOBx1x2y1y2x1x21y20(2x0x1)(2x0x2)x1x212x2042x0(x1x2)x20x1x282x203x20412x20?48x203x204x20(82x20)3x2040，AOB90.考点六巧用“根与系数的关系某些涉及线段长度关系的问题能够通过解方程、求坐标，用距离公式计算长度的方法来解；但可以以利用一元二次方程，使相关的点的同名坐标为方程的根，由根与系数的关系求出两根间的关系或有关线段长度
19、间的关系后者往往计算量小，解题经过简捷典例已知椭圆x24y21的左顶点为A，过A作两条相互垂直的弦AM，AN交椭圆于M，N两点(1)当直线AM的斜率为1时，求点M的坐标；(2)当直线AM的斜率变化时，直线MN能否过x轴上的一定点？若过定点，请给出证实，并求出该定点；若不过定点，请讲明理由解题观摩(1)直线AM的斜率为1时，直线AM的方程为yx2，代入椭圆方程并化简得5x216x120.解得x12，x265，所以M)54,56(-.(2)设直线AM的斜率为k，直线AM的方程为yk(x2)，联立方程?yk(x2)，x24y21，化简得(14k2)x216k2x16k240.则xAxM16k214k
20、2，xMxA16k214k2216k214k228k214k2.同理，可得xN2k28k24.由(1)知若存在定点，则此点必为P)0,56(-.证实如下：由于kMPyMxM65k?28k214k2228k214k2655k44k2，同理可得kPN5k44k2.所以直线MN过x轴上的一定点P)0,56(-.关键点拨本例在第(2)问中可应用根与系数的关系求出xM28k214k2，这体现了整体思想这是解决解析几何问题时常用的方法，简单易懂，通过设而不求，大大降低了运算量对点训练已知椭圆C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为12，且经过点P)23,1(，左、右焦点分别为F1，F2.(1)求椭圆C的
21、方程；(2)过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若AF2B的内切圆半径为327，求以F2为圆心且与直线l相切的圆的方程解：(1)由ca12，得a2c，所以a24c2，b23c2，将点P)23,1(的坐标代入椭圆方程得c21，故所求椭圆方程为x24y231.(2)由(1)可知F1(1,0)，设直线l的方程为xty1，代入椭圆方程，整理得(43t2)y26ty90，显然判别式大于0恒成立，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AF2B的内切圆半径为r0，则有y1y26t43t2，y1y2943t2，r0327，12r0(|AF1|BF1|BF2|AF2|)12r04a1283271227，所以
22、12t2143t21227，解得t21，由于所求圆与直线l相切，所以半径r2t212，所以所求圆的方程为(x1)2y22.课时跟踪检测1在平面直角坐标系xOy中，设直线yx2与圆x2y2r2(r0)交于A，B两点，O为坐标原点，若圆上一点C知足OC54OA34OB，则r()A210B.10C25D.5解析：选B已知OC54OA34OB，两边平方化简得OAOB35r2，所以cosAOB35，所以cosAOB255，又圆心O(0,0)到直线的距离为|2|22，所以2r55，解得r10.2设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y22px(p0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|2|MF|，则
23、直线OM的斜率的最大值为()A.33B.23C.22D1解析：选C如下图，设P(x0，y0)(y00)，则y202px0，即x0y202p.设M(x，y)，由PM2MF，得?xx02?p2x，yy02(0y)，化简可得?xpx03，yy3.直线OM的斜率ky03px03y0py202p2p2p2y0y02p22p222(当且仅当y02p时取等号)故直线OM的斜率的最大值为22.3(2019惠州调研)设m，nR，若直线l：mxny10与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且直线l与圆x2y24相交所得的弦长为2，O为坐标原点，则AOB面积的最小值为()A5B.4C3D2解析：选C由直线与圆相交所得
24、的弦长为2，得圆心到直线的距离d1m2n23，所以m2n2132|mn|，当且仅当mn时等号成立所以|mn|16，又A)0,1(m，B)1,0(n，所以AOB的面积S12|mn|3，故AOB面积的最小值为3.4(2019兰州模拟)已知双曲线C：x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P为双曲线右支上一点，若|PF1|28a|PF2|，则双曲线C的离心率的取值范围为()A(1,3B.3，)C(0,3)D(0,3解析：选A根据双曲线的定义及点P在双曲线的右支上，得|PF1|PF2|2a，设|PF1|m，|PF2|n，则mn2a，m28an，m24mn4n20，m2n，则n2
25、a，m4a，依题得|F1F2|PF1|PF2|，2c4a2a，eca3，又e1，1e3，即双曲线C的离心率的取值范围为(1,35过抛物线y22px(p0)的焦点F，斜率为43的直线交抛物线于A，B两点，若AFFB(1)，则的值为()A5B.4C.43D.52解析：选B根据题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由AFFB，得),2(11yxp-),2(22ypx-，故y1y2，即y1y2.设直线AB的方程为y43)2(px-，联立直线与抛物线方程，消去x，得y232pyp20.故y1y232p，y1y2p2，则(y1y2)2y1y2y1y2y2y1294，即1294.又1，解得4.6.已知椭
26、圆C：x24y21，过椭圆上一点A(0,1)作直线l交椭圆于另一点B，P为线段AB的中点，若直线AB，OP的斜率存在且不为零，则kABkOP_.解析：法一：(特殊值法)取B)23,1(，则P)432,21(+，则kAB322，kOP232，故kABkOP32223214.法二：由题意，设直线l的方程为ykx1，联立方程?ykx1，x24y21，消去y得，(14k2)x28kx0，得xB8k14k2，即B)4141,418(222kkkk+-+-.则P)411,414(22kkk+-，kABk，kOP14k，kABkOP14.法三：(点差法)设A(xA，yA)，B(xB，yB)，P(x0，y0)
27、，则?x2A4y2A1，x2B4y2B1，两式相减得x2Ax2B4y2Ay2B0，化简得yAyBxAxByAyBxAxB14，即yAyBxAxBy0x014，kABkOP14.答案：147已知AB为圆x2y21的一条直径，点P为直线xy20上任意一点，则PAPB的最小值为_解析：由题意，设A(cos，sin)，P(x，x2)，则B(cos，sin)，PA(cosx，sinx2)，PB(cosx，sinx2)，PAPB(cosx)(cosx)(sinx2)(sinx2)x2(x2)2cos2sin22x24x32(x1)21，当且仅当x1，即P(1，1)时，PAPB取最小值1.答案：18(201
28、9武汉调研)已知A，B分别为椭圆x29y2b21(0b3)的左、右顶点，P，Q是椭圆上关于x轴对称的不同两点，设直线AP，BQ的斜率分别为m，n，若点A到直线y1mnx的距离为1，则该椭圆的离心率为_解析：根据椭圆的标准方程x29y2b21(0b3)知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，A(3,0)，B(3,0)，设P(x0，y0)，Q(x0，y0)，则x209y20b21，kAPmy0x03，kBQny0x03，mny20x209b29，1mn9b23，直线y1mnx9b23x，即9b2x3y0.又点A到直线y1mnx的距离为1，|39b2|9b2939b218b21，解得b2638，c2a2b
29、298，ec2a21824.答案：249已知椭圆C：x24y21的右顶点为A，上顶点为B.设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值解：由题意知，A(2,0)，B(0,1)，设P(x0，y0)(x00，y00)，则x204y204，所以直线PA的方程为yy0x02(x2)，令x0，得yM2y0x02，进而|BM|1yM12y0x02，直线PB的方程为yy01x0x1，令y0，得xNx0y01，进而|AN|2xN2x0y01，所以四边形ABNM的面积S12|AN|BM|12)221)(12(0000-+-+xyyxx204y
30、204x0y04x08y042(x0y0x02y02)2x0y02x04y04x0y0x02y022，进而四边形ABNM的面积为定值10已知离心率为63的椭圆x2a2y2b21(ab0)的一个焦点为F，过F且与x轴垂直的直线与椭圆交于A，B两点，|AB|233.(1)求此椭圆的方程；(2)已知直线ykx2与椭圆交于C，D两点，若以线段CD为直径的圆过点E(1,0)，求k的值解：(1)设焦距为2c，eca63，a2b2c2，ba33.由题意可知b2a33，b1，a3，椭圆的方程为x23y21.(2)将ykx2代入椭圆方程，得(13k2)x212kx90，又直线与椭圆有两个交点，所以(12k)236(13k2)0，解得k21.设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1x212k13k2，x1x2913k2.若以CD为直径的圆过E点，则ECED0，即(x11)(x21)y1y20，而y1y2(kx12)(kx22)k2x1x22k(x1x2)4，所以(x11)(x21)y1y2(k21)x1x2(2k1)(x1x2)59(k21)13k212k(2k1)13k250，解得k76，知足k21，所以k76.