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1、2021年高中数学竞赛决赛试题及答案2021年高中数学竞赛复赛试题及答案一、选择题本大题共6小题，每题6分，共36分每题各有四个选择支，仅有一个选择支正确请把正确选择支号填在答题卡的相应位置1从集合1，3，6，8中任取两个数相乘，积是偶数的概率是A56B23C12D132若是第四象限角，且2cos2sin212cos2sin-=-，则2是A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角3.已知点OAB、不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且22+OPOABA=，则A点P不在直线AB上B点P在线段AB上C点P在线段AB的延长线上D点P在线段AB的反向延长线上4设+Rnm,，若直线04)1()1
2、(=-+ynxm与圆4)2()2(22=-+-yx相切，则mn+的取值范围是A.31,0(+B.),31+C.),222+D.222,0(+5.已知正方体C1的棱长为C1的各个面的中心为顶点的凸多面体记为C2，以C2的各个面的中心为顶点的凸多面体记为C3，则凸多面体C3的棱长为A18B29C9D266.已知定义在R上的奇函数)(xf，知足(3)()fxfx+=-,且在区间23,0上是增函数,若方程mxf=)()0(?=?-的解集为.8随机抽查某中学高二年级100名学生的视力情况，发现学生的视力全部介于4.3至5.2.现将这些数据分成9组，得其频率分布直方图如下.又知前4组的频数成等比数列，后6
3、组的频数成等差数列，则视力在4.6到5.0之间的学生有人.9在ABC?中，角,ABC所对应的边长分别为,abc，若2222abc+=，则cosC的最小值为.10给出下列四个命题：1假如平面与平面相交，那么平面内所有的直线都与平面相交；2假如平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面；3假如平面平面，那么平面内与它们的交线不垂直的直线与平面也不垂直；4假如平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面其中真命题的序号是写出所有真命题的序号11若动点00(,)Mxy在直线20xy-=上运动，且知足2200(2)(2)xy-+8，则2200xy+的取值范围是12设函数()1121+?=xxxfx
4、，0A为坐标原点，nA为函数()xfy=图象上横坐标为nnN*的点，向量=-=nkkknAAa11，向量)0,1(=i，设n为向量na与向量i的夹角，知足15tan3nkk=二、填空题本大题共6小题，每题6分，共36分789101112三、解答题本大题共6小题，共78分.解答应写出必要的文字讲明、证实经过或演算步骤.13.本小题满分12分已知函数2()2sincos222xxxfx=-+1求函数()fx的单调减区间；2该函数的图象可由)(sinRxxy=的图象经过如何的变换得到?3已知2,63?，且6()5f=，求()6f-的值菱形ABCD中，)2,1(A，)0,6(=，点M是线段AB的中点，
5、线段CM与BD交于点P.1若向量)7,3(=，求点C的坐标；2当点D运动时，求点P的轨迹.如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，ABE为等腰三角形，AEBE，平面ABCD平面ABE，点F在CE上，且BF平面ACE.1判定平面ADE与平面BCE能否垂直，并讲明理由；2求点D到平面ACE的距离.ABCDEF如图，某化工集团在一条河流的上、下游分别建有甲、乙两家化工厂，其中甲厂天天向河道内排放污水2万m3，天天流过甲厂的河水流量是500万m3含甲厂排放的污水；乙厂天天向河道内排放污水1.4万m3，天天流过乙厂的河水流量是700万m3含乙厂排放的污水.由于两厂之间有一条支流的作用，使得甲厂排放的污水
6、在流到乙厂时，有20%可自然净化.假设工厂排放的污水能迅速与河水混合，且甲厂上游及支流均无污水排放.根据环保部门的要求，整个河流中污水含量不能超过0.2%，为此，甲、乙两个工厂都必须各自处理一部分污水.1设甲、乙两个化工厂天天各自处理的污水分别为x、y万m3，试根据环保部门的要求写出x、y所知足的所有条件；2已知甲厂处理污水的成本是1200元/万m3，乙厂处理污水的成本是1000元/万m3，在知足环保部门要求的条件下，甲、乙两个化工厂天天应分别各自处理污水多少万m3，才能使这两个工厂处理污水的总费用最小？最小总费用是多少元？已知),(42)(2Rcbacbxaxxf+=.1当0a时，若函数)(
7、xf的图象与直线xy=均无公共点，求证：;4142-bac243,4=cb时，对于给定的负数8-a，记使不等式5|)(|xf成立的x的最大值为)(aM.问a为何值时，)(aM最大，并求出这个最大的)(aM，证实你的结论.2021年高中数学竞赛决赛参考答案11.24一、选择题本大题共6小题，每题6分，共36分二、填空题本大题共6小题，每题6分，共36分7),0()1,(e-8789121034112，8123三、解答题本大题共6小题，共78分.解答应写出必要的文字讲明、证实经过或演算步骤.13.本小题满分12分解：12()sin2sin)2xfxx=-sinxx=2sin3x?=+?2分令kxk
8、223322+，Zk得kxk26726+，Zk()fx的单调减区间为267,26kk+，Zk5分2先把函数)(sinRxxy=的图象向左平移3个单位，就得到函数)(3sin(Rxxy+=的图象；再把其纵坐标伸长为原来的2倍，横坐标不变，就得到2sin3yx?=+?)(Rx的图象7分3由56)(=f得：62sin(),35+=即3sin(),35+=8分由于2,63?,所以()(,)32+.进而4cos()35+=-10分于是()2sin()2sin()coscos()sin6363636f-=+-=+-+5433215423532+=?+?=.12分14.本小题满分12分解：1菱形ABCD中，
9、)7,9()0,6()7,3(=+=+=，且)2,1(A，所以)9,10(C.4分2设),(yxP，则)2,7()0,6()2,1(-=-=-=yxyx.5分又由于点M是线段AB的中点，线段CM与BD交于点P，即点P是ABC?的重心，进而有3=,所以11133()3222ACAMMCABMPABAPABAPAB=+=+=+-=-3(1,2)(6,0)(39,36)xyxy=-=-7分菱形ABCD的对角线相互垂直，所以ACBP，即0)63,93()2,7(=-?-yxyx，亦即0)63)(2()93()7(=-+-?-yyxx，整理得：4)2()5(22=-+-yx2y，11分故P点的轨迹是以)
10、2,5(为圆心，2为半径的圆，除去与2=y的交点.12分15此题满分13分解：1平面ADE与平面BCE垂直.1分证实如下：由于BF平面ACE，所以BFAE.3分由于平面ABCD平面ABE，且ABCD是正方形，BCAB，CD平面ABCD平面ABEAB，所以BC平面ABE，进而BCAE.6分于是AE平面BCE，故平面ADE平面BCE.7分2连结BD交AC与点M，则点M是BD的中点，所以点D与点B到平面ACE的距离相等.8分由于BF平面ACE，所以BF为点B到平面ACE的距离.9分由于AE平面BCE，所以AEBE.又AEBE，所以AEB是等腰直角三角形.10分由于AB2，所以BE2sin45?=.1
11、1分在RtCBE中，CE=3BCBEBFCE?=故点D到平面ACE的距离是332.13分16此题满分13分解：1据题意，x、y所知足的所有条件是()20.25001000.8(2)1.40.27001000201.4xxyxy-?-+-?，4分即?+4.1021854yxyx.5分2设甲、乙两厂处理污水的总费用为z元，则目的函数z1200x1000y200(6x5y).7分作可行域，如图.10分平移直线l：6x5y=0，当直线经过点A(1，0.8)时，z取最大值，此时ABCDEFMGz1200110000.82000元.12分故甲、乙两厂天天应分别处理1万m3、0.8万m3污水，才能使两厂处理
12、污水的总费用最小，且最小总费用是2000元.13分17此题满分14分解：(1)由),(42)(2Rcbacbxaxxf+=与直线xy=均无公共点0a，可知xcbxax=+422无解，1分由04)12(2=+cxbax无解，得：016)12(2-4142(1)3分由04)12(2=+-+cxbax无解，得：016)12(2-4142(2)5分由(1),(2)得:4142-bac.6分(2)由43,4=cb，所以38)(2+=xaxxf7分由于aaf163)4(-=-,由8-a得，5163)4(-=-aaf9分所以()5fx恒成立，故不等式5|)(|xf成立的x的最大值也就是不等式()5fx-成立
13、的x的最大值，10分因而)(aM为方程5382-=+xax的较大根，即aaaM2424)(-=8-a11分当8-a时，()Ma=a的增函数，13分所以，当8a=-时，)(aM获得最大值，其最大值为251)(+=aM.14分18此题满分14分解：1由条件可得3nnx=，45nyn=+，根据题意知，23nnc=1分由kc为数列ny中的第m项，则有2345km=+，2分因910m*+N,所以1kc+是数列ny中的第910m+项5分2设在区间1,2上存在实数b使得数列nx和ny有公共项，即存在正整数s，t使(1)saatb=+，1+-=abats，因自然数2a,s，t为正整数，sab-能被1a+整除6
14、分当1s=时，1sabta-=，则2nbaa*-?N，又a与1a+互质，故此时2()1nbaaata*-=?+N11分若2a=，要2nbaa*-N，则要2b=，此时221nnbaaa-=-，12分由知，21na-能被1a+整除，故2()1nbaaata*-=+N，即sab-能被1a+整除当且仅当2ba=时，baS-能被1a+整除13分此时数列nx和ny有公共项组成的数列nz，通项公式为212nnz+=(n*N).综上所述，存在1,2b，使得数列nx和ny有公共项组成的数列nz，且当1b=时,数列2nza=(n*N)；当2ba=时,数列212nz+=(n*N).14分18此题满分14分已知数列nx和ny的通项公式分别为nnxa=和()1,nyanbnN+=+.1当3,5ab=时，记2nncx=，若kc是ny中的第m项(,)kmN+，试问：1kc+是数列ny中的第几项？请讲明理由2对给定自然数2a，试问能否存在1,2b，使得数列nx和ny有公共项？若存在，求出b的值及相应的公共项组成的数列z，若不存在，请讲明理由