《2023年东莞市高中数学竞赛决赛模拟试题及答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年东莞市高中数学竞赛决赛模拟试题及答案.pdf（9页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2023年东莞市高中数学竞赛决赛试题一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分.每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确.请把正确选择支号填在答题卡的相应位置.)3 3万1.若 c o s a =，且a w (4,一),则 t a n a =()5 244 3 3A.-B.-C.-D.-3 3 4 42.函 数/*)=111(/+1)的图象大致是()3.已知三角形的边长为正整数，周长为2 4,在所有适合条件的三角形中任取一个，使得所取三角形为等腰三角形的概率为()4 .如图是棱长为1的正方体的平面展开图，则在这个正方体中，以下结论错误的是()A.点M到A 8的距离为:一2B.A 8与 跖
2、 所 成 角 是90C.三棱锥C O N E的体积是工6D.E b与MC是异面直线5.已知函数/(x)=一+,其中实数a 8,则下列关于/(x)的性质说法不正确的是(x a x b)A.若/(x)为奇函数，贝i j a =。B.方 程/(x)=()可能有两个相异实根C.函数/(x)有两个零点D.在区间(a 上“X)为减函数6.在等腰直角三角形A B C中，AB=A C =4,点P是边A B上 异 于 的 一点，光线从点P出发，经8C,C4反射后又回到原点P (如图)，若光线Q R经过AABC的重心，则A P等 于()c .4 8A.2 B.1 C.-D.-3 3二、填 空 题（本大题共6 小题
3、，每小题6 分，共 36分.请把答案填在答题卡相应题的横线上.）7.方 程 凶+付=1所表示的图形在直角坐标系中所围成的面积为 3 28.已知三棱柱A B C A A G 的六个顶点都在球。的球面上，若 A B =3,A C =4,A B A C,A4,=12则球。的半径是 .9 .集 合 M 是集合A =1,2,3,4,5的子集，且“中至少含有一个平方数，则 这 种 子 集 的 个 数 是.10.设 出7。0,若 函 数/（x）=f+2ax +4 b 与 人（x）=f+43 +2 匕具有相同的最小值，函数力（x）=+2hx+4 与 力（X）=f+4/zv +2 a 具有相同的最大值 v,则
4、u+v.11.若圆Y+），2 -4 x-4 y -10=0 上至少有三个不同点到直线/:以+力=0 的距离为2 后，则直线I的倾斜角的取值范围是 .12 .在 A A 5 C 和 A 4E R中，8 是 E F 的中点，A B=E F =,B C =6,CA=底,若A B A E +A C-A F 2,则即与前的夹角的余弦值等于 .答 题 卡一 选 择 题（本大题共6 小题，每小题6 分，共 36分.）题号123456答案二、填 空 题（本大题共6 小题，每小题6 分，共 36分.）7.8.9.10.11.12.三、解 答 题（本大题共6 小题，共 78分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或
5、演算步骤.）1 3.（本小题满分 1 2 分）已知 A（2,0）,3（0,2）,C（c o s a,s i n a）,（0 c r 7 t）.（i）若灰 1=（。为坐标原点），求与的夹角；(2)若 AC_L3C,求 t a n a 的值.1 4 .(本小题满分1 2 分)某学校假期后勤维修的一项工作是请3 0 名木工制作2 0 0 把椅子和1 0 0 张课桌.已知一名工人在单位时间内可制作1 0 把椅子或7 张课桌.将这3 0 名工人分成两组，一组制作课桌，一组制作椅子，两组同时开工.设制作课桌的工人为x 名.(1)分别用含x 的式子表示制作2 0 0 把椅子和1 0 0 张课桌所需的单位时间
6、；(2)当x 为何值时，完成此项工作的时间最短？1 5 .(本题满分1 2 分)如图，在三棱柱 中，M，底面 A B C,N 84c=90,AB=AC=2,A 4,=.M,N分别为BC和 CR的中点，P为侧棱S B 1 上的动点.若 尸 为 线 段 的 中 点，求证：平面APM；(2)试判断直线BG与 平 面 是 否 能 够 垂 直.若 能 垂 直，求 总 的值；若不能垂直，请说明理由.1 6 .(本题满分1 4 分)设函数 x)=3 s 讥x+2 c o s x+l.（1）求/（X）的最小正周期;（2）若实数a、仪C使得（x）+歹（x-c）=1 对任意实数x 恒成立，求（/+6）t a n
7、-?的值.1 7 .（本题满分1 4 分）设圆满足：（1）截轴所得弦长为2；（2）被轴分成两段弧，其弧长的比为，在满足条件（1）（2）的所有圆中，求圆心到直线/：x-2），=0的距离最小的圆的方程.1 8 .（本题满分1 4 分）已知函数/（x）=|l n x|,设 玉 力/且/（司）=/（）.（1）证明：&-1）（入 2 -1）0，且 中 2=1；（2）若西+&+/（2）+/（工 2）”对任意满足条件的X，/恒成立，求实数M 的最大值.2023年东莞市高中数学竞赛决赛试题参考答案及评分标准把正确选择支号填在答题卡的相应位置.）一、选择题（本大题共6 小题，每小题6 分，共 36分.每小题各有
8、四个选择支，仅有一个选择支正确.请题号123456答案BABDCC二、填 空 题（本大题共6 小题，每小题6 分，共 36分.请把答案填在答题卡相应题的横线上.）7.12 8.9.24-2-三、解 答 题（本大题共6 小题，共 78分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）1 3.（本小题满分12分）兀5乃210.011.12.3解：（1）V OA+OC=（2+coscr,sin cr）.2 分又 I 砺(2+cosa)2+sin2 a=1,cos。=.2.4 分(2)A C=(cosa 2,sin a),BC=(c o s a,s in a-2),又 a （0,兀），7T 即 NA
9、OC=71,3 3TT又 4 4 0 8 =，2与的夹角为7三1.6 分6由 A C，5C,A AC-BC=0,可得cosa+sina=工，28 分2 1 3(cosa+sincr)=,2sinacosa=4 4.9 分*/a G(0,7i)，.a e(/兀5,兀)，2又由(co sa-sin a)二 1 -2sinacosa=，c o s a-s in a 0,4.cosa sine=，.11 分由，得cosa=45亩。=11,从而tana=匕 自.4 3.12分1 4.（本小题满分12分）解：(1)制作课桌与制作椅子的人数分别为X与30 X,.1分一名工人在一个单位时间内可制作10把椅子或
10、7张桌子，所以制作100张课桌所需的单位时间为P(x)=.3分7%而制作200把椅子所需的单位时间为。瓮)=一 200一=20一.5分10(30 x)30 x(2)完成此项工作的时间为y=max P(x),Q(x).由于y=P(x)为减函数，y=Q(x)为增函数,所以，当P(x)=Q(x)时，y最小,7分即 122=二9 _,解得X=12.lx 30-x 2考虑到人数必须为整数，所以8分y=maxP(x),Q(x)=100-,x/x2030 x4 1,2,12,”13,14,29.10分小工 100 25 20 20 25 nn,由于 P(12)=r=天，。(1 3)=，即 儿=13M=AA.
11、则四边形4AM。为平行四边形，所以4。A M.2分又4。2平面河，A M u平面所以A。I平 面.由 于D,N分别为G g，G。的中点，所以ON BtC.又P,M分 别 为 的 中 点，所以.则D N M P.4分又WcZ平面APM,M P u平面A P M,所以 W|平面APM.由于A D cO N =。,所以平面AQN|平面由于ANu平面4DN,所以AN|平面A P M.6分（2）假设BQ与平面A P A/垂直，由 P A/u 平面 APM,则 B C|_ L P M.7 分设 P 8 =x,xe (),由 .当 时，N B P M =NBCB,所以R t a P B M Rt B B ,
12、所以殁刍1 1 M B BB.9分由已知=2 0,4 8 =6匚 匚 x 2 3 ,曰 4A/3,4 百 rr所以；=-=-,倚=-.由于 x=-定 0,3,V2 3 3 3因此直线B C,与平面A P M不能垂直.1 2分1 6 .（本题满分1 4分）解：（1）因为/（x）=3 s%x+2 c 0 s x+l =/ri s i（x+9）+l,2 TC其中0满足ta n Q =1,0(p/1 3 s i n c c o s(x+)+t 7 +/?-1=0.8 分由已知上式对任意实数X恒成立，故须满足a+hcosc=0(1)0,：.d -.10 分将d=手 代 入 方 程 得b=l.又 2/?2
13、=。2+1 6?=1.由|。一24=1知、同号.故所求圆的方程为（x 1）2+（y 1）2=2 或（x+1）2+（y+1）2 =2.14 分18.（本题满分14分）解：（1）当0 工1 时，ln x l 时，ln x 0,f（x）=lnx|=lnx.于是/（九）=|lnx|在（0,1上单调递减，在1,+8）上单调递增，2分而/（%）=/（工2），且石故玉，12分属两个不同的单调区间，3分不妨设用 （0,1）,则 马（1，+8），因此（X 1 -1）（工2-1）0，由/（X|）=/（工2）知：一In%=nx2,即 In%+ln%2=。,于是1 1 1（百 入2）=0，因此玉入2=1 6分(2)不妨设不 0,1),则 由(1)知：f(x2)=/(x1)=-lnx1,x2=,于是 +x2+/(%)+/(x2)=Xj+-2 In X,7 分X令 g(，)=f+-21nr(0，l)，设0 。1，则=-r2)+(-)-2(1!-lnz2)=(Zj-z2)(l-)-2 1 n ,9 分A G 隼 2 G因为0 4 ，2 I，所以，人 0,i-o 0,In “2 G从而(4 右)(1-)2 In 0,伍 ，2因此g(r)=t+；-2 h w 在(0,1)上单调递减，丝 分所以g Q)g =2，即玉+%2+/(X)+f(x2)2,因此M 的最大值为2.14分