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1、精品学习资源2021 年上海市高中数学竞赛试题及答案一、填空题（此题满分60 分，前 4 小题每道题 7 分，后 4 小题每道题 8 分）欢迎下载精品学习资源1. 已知函数fxax2bxc（ a0 ，a ,b,c 均为常数），函数 f1x 的图象与函数 fx欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源的图象关于y 轴对称，函数f2 x 的图象与函数f1x 的图象关于直线 y1 对称，就函数欢迎下载精品学习资源f2x 的解析式为欢迎下载精品学习资源2答案：fxax2bxc2.欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源解在函数 yfx 的表达式中用x 代替 x ，得f1 xax2bxc，在函数yf1 x
2、 的欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源表达式中用 2y 代替 y ，得 f 22xax2bxc2.2欢迎下载精品学习资源2. 复数 z 中意 z1， w3z2 在复平面上对应的动点W 所表示曲线的一般方程是z欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源答案：y2x21.25欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源解设 zabi , wxyi ，就 a 2b 21，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源xyi23 abi23 abi 222 abi欢迎下载精品学习资源222abiabiabi欢迎下载精品学习资源23 abi22 abia 2b 210abi .欢迎下载精品学习资源y22欢迎下
3、载精品学习资源从而 xa2b 2, y10ab ，于是 x225a 2b24a 2b21.欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源3. 关于 x 的方程 arctan 2xarctan 2 x的解是6欢迎下载精品学习资源答案： xlog23.欢迎下载精品学习资源解由于 tan arctan2xtan arctan2 x2x2 x1，所以 arctan 2 xarctan 2 x，解2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源得 arctan 2 x,arctan 2x，就 2x3, xlog23.欢迎下载精品学习资源364. 红、蓝、绿、白四颗骰子，每颗骰子的六个面上的数字为1,2,3,4,5,
4、6，就同时掷这四颗骰子使得四颗骰子向上的数的乘积等于36 ，共有种可能答案： 48欢迎下载精品学习资源2解四颗骰子乘积等于36，共有四种情形：欢迎下载精品学习资源C（ 1）两个 1，两个 6 ，这种情形共46 种可能；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源（ 2）两个 2，两个 3 ，这种情形共2C46 种可能；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源（ 3）两个 3，一个 1 ，一个 4，这种情形共21C4 C212 种可能；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源（ 4），63,21各一个，这种情形共A424 种可能欢迎下载精品学习资源4综上，共有 66122448种可能x1欢迎下载精品
5、学习资源5. 已 知 函 数fxc o sx, gx2aa ，0 2如 存 在x1, x20,1， 使欢迎下载精品学习资源f x1g x2成立，就实数 a 的取值范畴为欢迎下载精品学习资源答案；1 ,00, 3.22欢迎下载精品学习资源解易知 x0,1时， fx1,1 . 只需求 a 的取值范畴， 使得 g x 能取到1,1 中的值欢迎下载精品学习资源（ 1）当 a0 时， g x 单调递增，由于 g x1，故只需2g 01 ，解得 0a3 .2欢迎下载精品学习资源（ 2）当 a0 时， g x 单调递减， 由于 g x1，故只需2g 01，解得12a0.欢迎下载精品学习资源6. 如图，有16
6、 间小三角形的房间，甲、乙两人被随机地分别安置在不同的小三角形房间， 那么他们在不相邻（指没有公共边）房间的概率是（用分数表示）答案： 17 .20解法一如图 1，将小三角形房间分为三类：与第一类（红色）房间相邻的房子恰有一间，与其次类（绿色）房间相邻的房间恰有两间，与第三类（白色）房间相邻的房间恰有三间，从而中意条件的安置方法共有316261637164204 种从而所求概率为 20417 .16 1520欢迎下载精品学习资源解法二我们从反面考虑问题，如图2，每一对相邻房间对应着一条黄色的邻边，故所求概率为11821317 .欢迎下载精品学习资源16 1520207. 在空间，四个不共线的向
7、量OA,OB ,OC , OD ，它们两两的夹角都是，就的大小是欢迎下载精品学习资源答案：1arccos .3解如图， ABCD 为正四周体，角即为AOD ，设 E, M 分别为 BC 和 AD 的中点，就AEDE , OAOD ，就中心 O在 EM 上，从而 O 为 ADE 的垂心，欢迎下载精品学习资源sinODEsinEAHEH1cosDOH1 .欢迎下载精品学习资源AE33所以，1arccos .3欢迎下载精品学习资源8. 已知0, b0, a3b31 ，就 ab 的取值范畴为欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源答案：1, 3 4欢迎下载精品学习资源2ab欢迎下载精品学习资源解 留意
8、到 0ab，及4欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源1a3b3aba 2abb 22abab3ab,欢迎下载精品学习资源1333欢迎下载精品学习资源我们有ab 41ab，所以 1ab4.欢迎下载精品学习资源二、解答题（此题满分60 分，每道题 15 分）欢迎下载精品学习资源9. 如图，已知五边形A1B1C1D1E1 内接于边长为1 的正五边形ABCDE 求证：五边形欢迎下载精品学习资源A1B1C1D1E1 中至少有一条边的长度不小于cos.5欢迎下载精品学习资源证 设 E1 A,A1 ,A1A, B1B, B1,B C 1, C 1C ,CD1,D的1D,长 分D别E 为E Ea1, a2
9、, b1, b2 ,c1,欢迎下载精品学习资源c2 ,d1, d2 , e1, e2 , 就欢迎下载精品学习资源a1a2 a1e2b1b2 a2b1c1c2 b2c1d1d 2c2d1e1e2 d2e15.欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源由平均数原理， a1a2 ,b1b2, c1c2 ,d1d2 , e1e2 中必有一个大于 1，不妨设 a1a21 ，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源就 a21a10. 此时欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源A E 2a 2a 22a acos3a 21a22a1acos 2欢迎下载精品学习资源5511121 211111112 1cos
10、 2a 22 1cos 2a 22 1cos 2a15552a12 1cos 211 1cos 252251 1cos 2cos2.255欢迎下载精品学习资源所以，A1E1cos.命题得证 5欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源10.设p, q 和 r 是素数，且p | qr1,q | rp1,r| pq1 ，求 pqr 的全部可能的值欢迎下载精品学习资源解由题设可得pqr | qr1 rp1pq1，由于欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源qr1rp1pq1p2q2r 2pqrpqrpqqrrp1,欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源所以，pqr| pqqrrp1. 于是pqqrr
11、p11111 pqrpqrpqr为正整数欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源1111pqrpqr记 k，留意到p, q, r2 ，就 k3 从而 k1.2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源由对称性，不妨设pqr.欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源如 p3 ，就 k如 q3 ，就 q5 ， k1 ，冲突，故p2.111pqr121，冲突 25欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源如 q2 ，就 k11111 ，也冲突故 q3.欢迎下载精品学习资源最终，由 122r11114r，得 r5.欢迎下载精品学习资源综上， pqr23r6r30.欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源1
12、1. 已知数列a中意递推关系 a1 a1nN*，求全部a 的值，使a 为单欢迎下载精品学习资源nn 123n1n欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源n调数列，即an为递增数列或递减数列欢迎下载精品学习资源113n 1n解由 aa得， 3n 1 aa3 ，令 b3 a ，就欢迎下载精品学习资源nn 1n23b 3 b3bn 1nnn263b6,欢迎下载精品学习资源n 12 nn 152n5n 1欢迎下载精品学习资源6从而， bn5b63, 就152欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源abnn 1163a63欢迎下载精品学习资源n3n3n5152欢迎下载精品学习资源n 1n 1a21211
13、5352n 1n 1n欢迎下载精品学习资源122253a21T.152欢迎下载精品学习资源22如 a，留意到1，就当 n1log5 a2时，T 与 an 121同号，但欢迎下载精品学习资源1532/3215152欢迎下载精品学习资源正负交替，从而an 正负交替，an不为单调数列欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源当 a12时， an5n 121为递减数列53欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源综上，当且仅当 a12时，an 为单调数列5欢迎下载精品学习资源12. 已知等边三角形 ABC 的边长为 5，延长 BA 至点 P ，使得 AP9 ， D 是线段 BC 上一欢迎下载精品学习资源点
14、（包括端点） 直线 AD 与 BPC 的外接圆交于E, F 两点，其中EAED .欢迎下载精品学习资源（ 1）设 BDx ，试将 EADF 表示为关于 x 的函数 fx ；（ 2）求 fx 的最小值欢迎下载精品学习资源解（ 1）设uEA ,vAD, wDF ，就fxuw.欢迎下载精品学习资源在 ABD 中，由余弦定理，得欢迎下载精品学习资源v52x225x12x25 x25.欢迎下载精品学习资源在 PBC 的外接圆中运用相交弦定理，得欢迎下载精品学习资源u vw5945,u v wx 5x .欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源两式相减，得v uwx25x45, 故欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源fxuwx25x45x25x450x5 .欢迎下载精品学习资源vx25x25欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源（ 2）设tx25x250 ，就欢迎下载精品学习资源x25x45t 2202020fxt2 t45.欢迎下载精品学习资源x25x25ttt欢迎下载精品学习资源当且仅当 t20时等号成立，此时ttx25x2525, 解得 x55 .2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源所以，当x55 时， fx 取到最小值 45.2欢迎下载精品学习资源欢迎下载