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1、第二节 排列与组合（理）排列与排列数排列与排列数组组合与合与组组合数合数定定义义1.排列：从排列：从n个不同元素中取出个不同元素中取出m(m n)个元素，个元素，叫做从，叫做从n个不同元个不同元素中取出素中取出m个元素的一个排列个元素的一个排列2排列数：从排列数：从n个不同元素中个不同元素中取出取出m(m n)个元素，个元素，叫做从，叫做从n个不同个不同元素中取出元素中取出m个元素的排列数个元素的排列数.1.组组合：从合：从n个不同元素中取个不同元素中取出出m(m n)个元素个元素 ，叫做从叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的一个个元素的一个组组合合2组组合数：从合数：从n个不同
2、元素中个不同元素中取出取出m(m n)个元素的个元素的 ，叫，叫做从做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个个元素的元素的组组合数合数按照一定按照一定顺顺序序排成一列排成一列所有不同所有不同排列的个数排列的个数合成一合成一组组所有不同所有不同组组合的个数合的个数排列与排列数排列与排列数组组合与合与组组合数合数公公式式排列数公式排列数公式组组合数公式合数公式排列与排列数排列与排列数组组合与合与组组合数合数性性质质(1)(2)0！.备备注注n、mN*且且m n.n!1如何区分某一问题是排列问题还是组合问题？如何区分某一问题是排列问题还是组合问题？提示：提示：区分某一问题是排列问题还是组合问题，关
3、区分某一问题是排列问题还是组合问题，关键是看所选出的元素与顺序是否有关，若交换某两键是看所选出的元素与顺序是否有关，若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，否个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，否则是组合问题则是组合问题.1数列数列an共有六项，其中四项为共有六项，其中四项为1，其余两项各不相同，其余两项各不相同，则满足上述条件的数列则满足上述条件的数列an共有共有()A30个个B31个个C60个个D61个个解析：解析：在数列的六项中，只要考虑两个非在数列的六项中，只要考虑两个非1的项的位置，即的项的位置，即得不同数列，共有得不同数列，共有30个不同的数列个不同的数列答案：答
4、案：A2若从若从6名志愿者中选出名志愿者中选出4名分别从事翻译、导游、导购、名分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，则选派方案有保洁四项不同的工作，则选派方案有()A180种种B360种种C15种种D30种种解析：解析：从从6名志愿者中选出名志愿者中选出4人进行全排列，所以共有人进行全排列，所以共有A360(种种)选派方案选派方案答案：答案：B3某学校有六间不同的阅览室，每天晚上至少开放二间，某学校有六间不同的阅览室，每天晚上至少开放二间，欲求不同安排方法的种数，现有下列四个结果，其中正欲求不同安排方法的种数，现有下列四个结果，其中正确的是确的是()AB26C267D解析：解析：共有共
5、有267种方法种方法答案：答案：C4某书店有某书店有11种杂志，种杂志，2元元1本的本的8种，种，1元元1本的本的3种，小种，小张用张用10元钱买杂志元钱买杂志(每种至多买一本，每种至多买一本，10元钱刚好用完元钱刚好用完)，则不同买法的种数是则不同买法的种数是_(用数字作答用数字作答)解析：解析：分两类：分两类：266种种答案：答案：2665安排安排3名支教教师去名支教教师去6所学校任教，每校至多所学校任教，每校至多2人，则不人，则不同的分配方案共有同的分配方案共有_种种(用数字作答用数字作答)解析：解析：共有共有63210种种答案：答案：2101排列数公式排列数公式n(n1)(n2)(nm
6、1)有两种形式：有两种形式：(1)连乘形式；连乘形式；(2)阶乘形式前者多用于数阶乘形式前者多用于数字计算，后者多用于对含有字母的排列数式子的变形和字计算，后者多用于对含有字母的排列数式子的变形和论证论证2组合数组合数中中m、n N*且且mn，又，又故要注意故要注意xy或或xyn两种情形两种情形(1)若若，则，则n_；(2)求和：求和：_；(3)求和：求和：_.利用排列数、组合数公式可求利用排列数、组合数公式可求.【解析解析】(1)由已知得，由已知得，2n(2n1)(2n2)(2n3)120即即n33n2n30，(n3)(n1)(n1)0.n2，n3或或1(舍去舍去)或或1(舍去舍去)故故（3
7、）法一：）法一：【答案答案】(1)3(2)(3)166650法二：法二：变形得，变形得，原式原式=11(1)求值：求值：_；(2)求和：求和：_.解析：解析：(1)由题意得由题意得 n4时，原式时，原式5.n5时，原式时，原式16.(2)从从mn个元素中取出个元素中取出r个的组合数为个的组合数为，可分类为：，可分类为：从从m个元素中取出个元素中取出r个元素有个元素有个；从个；从m个元素中取出个元素中取出r1个，再从剩余个，再从剩余n个元素中取个元素中取1个有个有个，个，；从；从m个元个元素中取出素中取出1个，再从剩余个，再从剩余n个元素中取出个元素中取出r1个有个有个；从个；从n个元素中取出个
8、元素中取出r个有个有个，故个，故故原式故原式答案：答案：(1)5或或16(2)1求排列应用题的主要方法求排列应用题的主要方法(1)直接法：把符合条件的排列数直接列式计算直接法：把符合条件的排列数直接列式计算(2)特殊元素特殊元素(或位置或位置)优先安排的方法即先排特殊元素或特优先安排的方法即先排特殊元素或特殊位置殊位置(3)排列、组合混合问题先选后排的方法排列、组合混合问题先选后排的方法(4)相邻问题捆绑处理的方法即可以把相邻元素看作一个相邻问题捆绑处理的方法即可以把相邻元素看作一个整体参与其他元素排列，同时注意捆绑元素的内部排列整体参与其他元素排列，同时注意捆绑元素的内部排列(5)不相邻问题
9、插空处理的方法即先考虑不受限制的元素不相邻问题插空处理的方法即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中(6)“小集团小集团”排列问题中先集体后局部的处理方法排列问题中先集体后局部的处理方法(7)定序问题除法处理的方法即可以先不考虑顺序限制，定序问题除法处理的方法即可以先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列排列后再除以定序元素的全排列(8)正难则反，等价转化的方法正难则反，等价转化的方法2组合问题常有以下两类题型变化组合问题常有以下两类题型变化(1)“含有含有”或或“不含有不含有”某些元素的组合题型：某些元素的组
10、合题型：“含含”，则先将，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；这些元素取出，再由另外元素补足；“不含不含”，则先将这，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取些元素剔除，再从剩下的元素中去选取(2)“至少至少”或或“最多最多”含有几个元素的题型：解这类题必须十含有几个元素的题型：解这类题必须十分重视分重视“至少至少”与与“最多最多”这两个关键词的含义，谨防重复这两个关键词的含义，谨防重复与漏解用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法与漏解用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理有五张卡片，它们的正、反面分别写着有五
11、张卡片，它们的正、反面分别写着0与与1,2与与3,4与与5,6与与7,8与与9，将其中任意三张并排放在一起组成，将其中任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？三位数，共可组成多少个不同的三位数？考虑考虑0，1两个特殊值可分类也可用排除法两个特殊值可分类也可用排除法.【解解】法一：法一：(直接法直接法)：从：从0与与1两个特殊值着眼，可分三两个特殊值着眼，可分三类：类：取取0不取不取1，可先从另四张卡片中选一张作百位，有，可先从另四张卡片中选一张作百位，有种种方法；方法；0可在后两位，有可在后两位，有种方法；最后从剩下的三张中任种方法；最后从剩下的三张中任取一张，有取一张，有
12、种方法；又除含种方法；又除含0的那张外，其他两张都有正的那张外，其他两张都有正面或反面两种可能，故此时可得不同的三位数有面或反面两种可能，故此时可得不同的三位数有(个个)取取1不取不取0，同上分析可得不同的三位数，同上分析可得不同的三位数(个个)0和和1都不取，有不同三位数都不取，有不同三位数(个个)综上所述，共有不同的三位数：综上所述，共有不同的三位数：=432(个个)法二：法二：(间接法间接法)：任取三张卡片可以组成不同三位数：任取三张卡片可以组成不同三位数(个个)，其中，其中0在百位的有在百位的有(个个)，这是，这是不合题意的，故共有不同三位数：不合题意的，故共有不同三位数：432(个个
13、)2(1)(2010长春模拟长春模拟)从从3名男生和名男生和3名女生中选出名女生中选出3人分别人分别担任语文、数学、英语的课代表，要求至少有担任语文、数学、英语的课代表，要求至少有1名女生，名女生，则不同的选派方案共有则不同的选派方案共有()A19种种B54种种C114种种D120种种(2)(2009浙江高考浙江高考)甲、乙、丙甲、乙、丙3人站到共有人站到共有7级的台阶级的台阶上，若每级台阶最多站上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是站的位置，则不同的站法种数是_(用数字作答用数字作答)解析：解析：(1)从从6个人中选出个人中选出
14、3人有人有20种不同的选法，其中种不同的选法，其中不选女生只有一种方法，则选不选女生只有一种方法，则选3个人分别担任不同的课代表个人分别担任不同的课代表且至少有一名女生的不同选派方案共有且至少有一名女生的不同选派方案共有(201)114种种(2)3个人各站一级台阶有个人各站一级台阶有210种站法；种站法；3个人中有个人中有2个人个人站在一级，另一人站在另一级，有站在一级，另一人站在另一级，有126种站法，共种站法，共有有210126336种站法种站法 答案：答案：(1)C(2)336解排列组合的应用题要注意以下几点解排列组合的应用题要注意以下几点(1)仔细审题，判断是排列问题还是组合问题；要按
15、元素的仔细审题，判断是排列问题还是组合问题；要按元素的性质分类，按事件发生的过程进行分步性质分类，按事件发生的过程进行分步(2)深入分析，严密周详，注意分清是乘还是加，要防止重深入分析，严密周详，注意分清是乘还是加，要防止重复和遗漏，辨证思维，多角度分析，全面考虑复和遗漏，辨证思维，多角度分析，全面考虑(3)对限制条件较复杂的排列组合应用题，要周密分析，设对限制条件较复杂的排列组合应用题，要周密分析，设计出合理的方案，把复杂问题分解成若干简单的基本问题计出合理的方案，把复杂问题分解成若干简单的基本问题后用两个计数原理来解决后用两个计数原理来解决(4)由于排列组合问题的答案一般数目较大，不易直接
16、验证，由于排列组合问题的答案一般数目较大，不易直接验证，因此在检查结果时，应着重检查所设计的解决方案是否完因此在检查结果时，应着重检查所设计的解决方案是否完备，有无重复和遗漏，也可采用多种不同的方法求解，看备，有无重复和遗漏，也可采用多种不同的方法求解，看看结果是否相同在对排列组合问题分类时，分类标准应看结果是否相同在对排列组合问题分类时，分类标准应统一，否则易出现遗漏或重复统一，否则易出现遗漏或重复(1)(2009陕西高考陕西高考)从从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为为
17、()A300B216C180D162(2)(2009四川高考四川高考)3位男生和位男生和3位女生共位女生共6位同学站成一排，位同学站成一排，若男生甲不站两端，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是不同排法的种数是()A360B288C216D96（1）由于）由于0这个特殊元素，故分类解决这个特殊元素，故分类解决.（2）利用排除法）利用排除法.【解析解析】(1)分两类：分两类：选选0，有，有108(种种)；不选不选0，有，有72(种种)共有共有10872180(种种)，(2)先保证先保证3位女生中有且只有两位女生相邻，则有位女生中有且
18、只有两位女生相邻，则有种排法，再从中排除甲站两端，种排法，再从中排除甲站两端，所求所求6(61224)288.【答案答案】(1)C(2)B3天津市某中学拟在实施新课程标准的高二年级开设天津市某中学拟在实施新课程标准的高二年级开设矩矩阵与变换阵与变换信息安全与密码信息安全与密码开关电路与布尔代数开关电路与布尔代数三门选修课在本校任教高二的三门选修课在本校任教高二的10名数学教师中，有名数学教师中，有3人只能教人只能教矩阵与变换矩阵与变换，有，有3人只能教人只能教信息安全与信息安全与密码密码，另有，另有2人只能教人只能教开关电路与布尔代数开关电路与布尔代数，这，这三门课程都能教的只有三门课程都能教
19、的只有2人，现要从这人，现要从这10名教师中选出名教师中选出9人分别担任这三门课程的教师，且每门课程安排人分别担任这三门课程的教师，且每门课程安排3名教名教师，则不同的安排方案有师，则不同的安排方案有()A12种种B16种种C18种种D24种种解析：解析：由题意至少有一人教由题意至少有一人教开关电路与布尔代数开关电路与布尔代数，故可以分类计算，有一人教故可以分类计算，有一人教开关电路与布尔代数开关电路与布尔代数共共有有16(种种)答案：答案：B排列、组合应用题几乎是每年必考内容，其考查方排列、组合应用题几乎是每年必考内容，其考查方式是：一是在选择、填空中单独考查，二是在解答题中式是：一是在选择
20、、填空中单独考查，二是在解答题中与概率问题相结合，重点考查分类讨论思考与分析问题与概率问题相结合，重点考查分类讨论思考与分析问题解决问题的能力解决问题的能力.2009年宁夏、海南卷考查了排列组合的年宁夏、海南卷考查了排列组合的应用问题应用问题.(2009宁夏、海南高考宁夏、海南高考)7名志愿者中安排名志愿者中安排6人在周六、周日人在周六、周日两天参加社区公益活动若每天安排两天参加社区公益活动若每天安排3人，则不同的安排人，则不同的安排方案共有方案共有_种种(用数字作答用数字作答)解析解析法一：法一：先从先从7人中任取人中任取6人，共有人，共有种不同的取法种不同的取法再把再把6人分成两部分，每部
21、分人分成两部分，每部分3人，共有人，共有种分法种分法最后排在周六和周日两天，有最后排在周六和周日两天，有种排法，种排法，140种种法二：法二：先从先从7人中选取人中选取3人排在周六，共有人排在周六，共有种排法再从种排法再从剩余剩余4人中选取人中选取3人排在周日，共有人排在周日，共有种排法，种排法，共有共有=140种种答案答案140在本例解法一中利用平均分组，而分组后再排列最容易出在本例解法一中利用平均分组，而分组后再排列最容易出现重复，因此应用平均分组法时一定要将重复的情况去掉现重复，因此应用平均分组法时一定要将重复的情况去掉解法二中利用了组合知识，更简单，注意题意的理解与解法二中利用了组合知识，更简单，注意题意的理解与方法选择方法选择