《5第五章 大数定律与中心极限定律.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《5第五章 大数定律与中心极限定律.ppt（41页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、u 大数定律u 中心极限定理第五章 大数定律与中心极限定理5.1 大数定律定义记为设是一个随机变量序列，a是一个常数，若对任意 0,有或则称随机序列依概率收敛于a或定理1（贝努利大数定律）（贝努利大数定律）设Xn(n=1,2,)是独立同分布的随机序列,且PXn=1=pPXn=0=q0p0,有注注：通常令则定理的结论可写成或证：根据切比雪夫不等式，有因为所以设n是n次独立重复试验中事件A发生的次数，令显然n=X1+X2+.+Xn=因此，贝努利大数定律也可写为第i次试验出现A第i次试验不出现Ap是事件A在每次试验中发生的概率，贝努利大数定律说明，事件发生的频率依概率收敛于事件的概率p，在实际应用中
2、，当试验次数很大时，用频率来代替概率.（常常还需要考虑在n次独立试验中,事件A发生的概率pk随试验次数k的变化而变化.对这种情况，有下面的定理）定理2（泊松大数定律）（泊松大数定律）设Xn(n=1,2,)是相互独立的随机变量序列,且PXn=1=pnPXn=0=qnpn+qn=1则对任意 0,有或证：根据切比雪夫不等式，有因为所以(前面两个定理说明，只要则大数定律就成立，下面的定理说明了这一点)当n充分大时能任意地小，的方差定理3（切比雪夫大数定律）（切比雪夫大数定律）上界，则对任意 0,0,有或设 Xn(n=1,2,.)是相互独立的随机变量序列，它们的期望和方差都存在，并且方差有共同的即 D(
3、Xn)=n2C0，有设 Xn(n=1,2,.)是独立同分布的随机变量序列，情况.辛钦大数定律为寻找随机变量的期望值区平均亩产量的一个估计.提供了一条实际可行的途径.例如要估计某地区的平均亩产量，收割某些有代表性的地块，例如n块.计算其平均亩产量，则当n较大时，可用它作为整个地 强大数定律简介定义记为设是一个随机变量序列，a是一个常数，若或称以概率为1收敛于a.或则称几乎处处收敛于a.定理5（波雷尔强大数定律）（波雷尔强大数定律）设X1,X2,是独立同分布的随机变量序列,且 PXn=1=pPXn=0=q0p1920由于EY=1600,DY=160000由中心极限定理,近似服从N(0,1)PY19
4、20=1PY1920=1(0.8)1=10.7881=0.2119=1 定理2（德莫佛（德莫佛-拉普拉斯定理）拉普拉斯定理）(De Moivre Laplace)设随机序列Xn(n=1,2,)独立同分布，且PXk=1=p,PXk=0=q,(k=1,2,.)其中0p1,p+q=1则随机序列Xn服从中心极限定理.即这里(这是因为,随机变量Xn可以分解为n个相互独立的定理定理2是最早的中心极限定理是最早的中心极限定理.设随机变量Xn(n=1,2,)服从参数为n,p(0p1),则对任意x，有q=1p的二项分布定理定理2的另一种表达方式的另一种表达方式:显然显然,定理定理2是是定理定理1的特殊情况的特殊
5、情况.且均服从两点分布的随机变量之和)定理2表明，当n很大时,可以用正态分布去近似二项分布.第二章的泊松定理表明，也可以用泊松分布去近似二项分布.当n很大，0p1是一个定值时,(当p很小,np不很大时,用泊松近似较好当p固定,n很大,即np很大时，用正态近似较好)(或者说，np也很大时)二项分布近似服从正态分布N(np,npq).推论：(0p1)的二项分布,说明：这个公式给出了n 较大时二项分布 的概率计算方法.当 n 充分大时有：设随机变量n(n=1,2,)服从参数为n,p 例2某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占20%，以X 表示在随机抽查的100个索赔户中因被盗向保险公司
6、索赔的户数.(2)np=20npq=16=(5/2)(3/2)解解:(1)XB(100,0.2)且不多于30户的概率的近似值.(2)利用中心极限定理，求被盗索赔户不少于14户(1)写出X 的概率分布.根据中心极限定理,有P14X30=0.99371+0.9331=0.9268例3 某单位有1000台电话分机，每台分机有5%的时间要使用外线通话。假定每台分机是否使用外线是相互独立的，问该单位总机要安装多少条外线，才能以95%以上的概率保证分机用外线时不等待？解：设有X台分机同时使用外线，则有设安装N条外线,由题意有由德莫佛由德莫佛-拉普拉斯定理有拉普拉斯定理有查表得查表得因此有因此有查表得查表得
7、故故取取即即所以至少安装62条外线.例4某车间有200台车床，它们独立地工作着，开工率为0.6，开工时耗电各为1千瓦，问供电所至少要供给这个车间多少电力才能以99.9%的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产.解：设至少要供给这个车间r 千瓦电才能以99.9%的概率保设某时在工作着的车床数为X,则证这个车间不会因供电不足而影响生产。由题意有：即供给141千瓦电就能以99.9%的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产。查表得所以例5.现有一批种子，其中良种占1/6。今任取6000粒，问能以0.99的概率保证在这6000粒种子中良种所占的比例与1/6的差不超过多少？相应的良种粒数在哪个范围内？解：由德莫佛-拉普拉斯定理设良种数为X,则XB(n,p)设不超过的界限为,则应有故近似地有良种粒数X的范围为即查表得解出即例6设X1,X2,.,X48为独立同分布的随机变量,且均服从区间0,1上的均匀分布,令求解:显然,X1,X2,.,X48满足定理1的条件,且EXi=DXi=(i=1,2,.,48)则有容易算出所以