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1、(3)(3)解解 (1)(1)(2)(2)设设 P(A)=0.4,P(B)=0.3,P(AB)=0.6,求求P(AB),例例3 =0.4+0.3-0.6=0.1;由加法公式由加法公式 BABAB A=0.4-0.1=0.3;余概公式余概公式=0.4+(1-1-0.3)-0.3=0.8;B1.1.2 解解 设设 P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AC)=P(BC)=1/6,P(AB)=0，例例4 1-(1-(1/4+1/4+1/4 -0-1/6-1/6+0)=7/12.由概率的非负性可知由概率的非负性可知 对偶律对偶律余概公式余概公式加法公式加法公式求事件求事件 A,B,C 全不发生的概
2、率全不发生的概率.1.2.2(1)(1)A 包含的样本点数包含的样本点数n!由于每个粒子落入格子有由于每个粒子落入格子有N N种方式种方式n n个粒子落入个粒子落入N个格子有个格子有Nn 种种(2)(2)A=恰有恰有n个格子中各有一个粒子个格子中各有一个粒子；(1)(1)A=指定的指定的n个格子中各有一个粒子个格子中各有一个粒子；解解 例例1(分房模型分房模型)有有n个不同的粒子，每个粒子都以同样的概率落入个不同的粒子，每个粒子都以同样的概率落入N（）个格子的每一格子中，试求下述事件的概率：）个格子的每一格子中，试求下述事件的概率：123.N(2)(2)先选出先选出n n个格子个格子-N个格子
3、中选取个格子中选取n个有个有 种种即即 的样本点数为的样本点数为 。n个个1.3(2)(2)先任取一只先任取一只,作测试后不放回作测试后不放回,在剩下的中再任取一只在剩下的中再任取一只.一个盒子中装有一个盒子中装有10个大小、形状完全相同的晶体管，个大小、形状完全相同的晶体管，其中其中 3 只是次品只是次品.例例2 按下列两种方法抽取晶体管：按下列两种方法抽取晶体管：(1)(1)先任取一只先任取一只,作测试后放回盒中作测试后放回盒中,再任取下一只；再任取下一只；有放回抽样有放回抽样无放回抽样无放回抽样 试分别对这两种抽样方法试分别对这两种抽样方法,求从这求从这10只晶体只晶体管任取管任取 2
4、只中，恰有一只是次品的概率只中，恰有一只是次品的概率.解解设设 A=抽取的抽取的 2 2 只晶体管中恰有一只是只晶体管中恰有一只是次次品品 (1)有放回抽样：有放回抽样：由于每次都是从由于每次都是从10只中取只中取 10 10 种取法种取法 即即 的样本点数的样本点数 n=10 2，第第 1 次取到合格品，且第次取到合格品，且第 2 次取到次品次取到次品第第 1 次取到次品，且第次取到次品，且第 2 次取到合格品次取到合格品A:7 3 3 7 共有共有 7 3+3 7=42 种取法种取法 古典概型古典概型(2)无放回抽样：无放回抽样：第第 1 次是从次是从10只中取只中取,第第 2 次是从次是
5、从 9 只中取，只中取，10 9 种取法种取法 即即 的样本点数的样本点数 n=10 9，A:共有共有 7 3+3 7=42 种取法种取法 古典概型古典概型1.3 将将n n个球随机放入个球随机放入N N（Nn）个盒子中，试求个盒子中，试求每个盒子中至多一个球的概率？（盒子的容量不限）每个盒子中至多一个球的概率？（盒子的容量不限）解解例例5 每个盒子里放一个的方法一共有每个盒子里放一个的方法一共有 将将n n个球随机放入个球随机放入N N（Nn）个盒子中，一共有个盒子中，一共有 种不同的放法。种不同的放法。1.3.1 将将1515名学生随机地平均分到名学生随机地平均分到3 3个班，这个班，这1
6、515名学生中有名学生中有3 3名优秀生。问名优秀生。问（1 1）每班分到一名优秀生的概率；）每班分到一名优秀生的概率；（2 2）3 3名优秀生分到一个班的概率。名优秀生分到一个班的概率。解解例例6 15名学生随机地平均分到名学生随机地平均分到3个班的分法总数为个班的分法总数为 设设 A每班分到一名优秀生每班分到一名优秀生 B3名优秀生分到一个班名优秀生分到一个班 (1)(1)优秀生的分法有优秀生的分法有 种种,其他学生分法有其他学生分法有 种。种。(2)(2)优秀生的分法有优秀生的分法有 种种,其他学生分法有其他学生分法有 种。种。1.3.2 设某吸毒人员强制戒毒期满后在家接受监控，监控期设
7、某吸毒人员强制戒毒期满后在家接受监控，监控期为为 L 单位时间，该期间内随时可提取尿样化验单位时间，该期间内随时可提取尿样化验.问该人员问该人员复吸且被检验出的概率是多少？复吸且被检验出的概率是多少？例例7 设该人员随设该人员随时可能复吸，时可能复吸，且复吸后且复吸后 S 单位时间内尿样呈阳性反应，单位时间内尿样呈阳性反应，解解 x 复吸时刻复吸时刻;y 提取尿样的时刻提取尿样的时刻,(x,y)样本点样本点,样本空间样本空间 =(x,y )|)|0 x L,0 y L ，则则 的度量的度量=L 2 2.LLSy=x0 xy A=该人员复吸且被检验出该人员复吸且被检验出 A=(x,y)|0 y-
8、x S,则则 A 的度量的度量=A1.3.3 现从这现从这 20 套题套题中不放回地连取两次，每次取一套，共取两套，中不放回地连取两次，每次取一套，共取两套，=,例例3 有有 20 套试题，其中套试题，其中7套已在考试中用过套已在考试中用过.12A1 发生后的缩减样本空间发生后的缩减样本空间所含样本点总数所含样本点总数在缩减样本空间在缩减样本空间中中A2 所含样本点个数所含样本点个数解解 设设 Ai=第第 i 次取到的是次取到的是未曾用过的试题未曾用过的试题 ，问在第一次取到问在第一次取到的是未曾用过的试题的情况下的是未曾用过的试题的情况下,第二次取到的也是未曾用过的试题第二次取到的也是未曾用
9、过的试题的概率是多少？的概率是多少？i=1,2.方法方法 1)P(A1)P(A1A2)13 20 方法方法 2)的的点数点数 2019=1.4.1 现从中连续取现从中连续取3次，次，每次不放回地取每次不放回地取 1 件，件，例例4 设有设有 100 件产品，其中有件产品，其中有 5 件次品件次品.则所求概率为：则所求概率为：解解 设设 Ai=第第 i 次取到的是次品次取到的是次品,求第求第 3 次才取到正品的概率次才取到正品的概率.i=1,2,3.推广到多个事件的乘法公式推广到多个事件的乘法公式:当当 P(A1A2An-1)0 时，有时，有P(A1A2An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3
10、|A1A2)P(An|A1A2An-1)1.4.2 求：求：(1)它是由机器甲生产出来的概率；它是由机器甲生产出来的概率；,(2)它是由哪一部机器生产出来的可能性大它是由哪一部机器生产出来的可能性大.现从总产品现从总产品中随即地抽取一个零件中随即地抽取一个零件,发现是不合格品发现是不合格品,已知机器已知机器甲、乙、丙生产的零件分别有甲、乙、丙生产的零件分别有 10%、5%和和 1%不合格不合格,其中机器甲生产其中机器甲生产的占的占40%,机器丙生产的占机器丙生产的占35%,机器乙生产的占机器乙生产的占25%,解解 设设 B1,B2,B3 分别表示事件分别表示事件:任取的零件为甲任取的零件为甲、
11、乙乙、丙机器生产丙机器生产,A=抽取的零件抽取的零件是是不合格品不合格品,由条件知由条件知例例7 三部自动的机器生产同样的零件三部自动的机器生产同样的零件,(1)所求概率为所求概率为 P(B1|A),),由由 Bayes公式公式 0.714;代入数据得代入数据得(2)类似类似(1)的计算可得的计算可得 P(B2|A)0.063,P(B3|A)0.223 比较可知是比较可知是机器甲生产出来的可能性大机器甲生产出来的可能性大.1.4.3例例8 8：8 8支步枪中有支步枪中有5 5支已校准过支已校准过,3,3支未校准。一名射手用校支未校准。一名射手用校准过的枪射击时，中靶概率为准过的枪射击时，中靶概
12、率为0.8；用未校准的枪射击时，中；用未校准的枪射击时，中靶概率为靶概率为0.3。现从。现从8 8支枪中任取一支用于射击，结果中靶。支枪中任取一支用于射击，结果中靶。求：所用的枪是校准过的概率。求：所用的枪是校准过的概率。解：解：设设 A=射击时中靶射击时中靶，B1 1=枪校准过枪校准过,B2 2=枪未校准枪未校准，则则 B1 1,B2 2 是是一个划分，由贝叶斯公式，得一个划分，由贝叶斯公式，得1.4.4 P(A1A2A3)对于独立事件，许多概率计算可得到简化：对于独立事件，许多概率计算可得到简化：例例2 三人独立地去破译一份密码三人独立地去破译一份密码,已知各人能译出的概率分别已知各人能译
13、出的概率分别为为1/5,1/3,1/4,问三人中至少有一人能将密码译出的概率是多少？问三人中至少有一人能将密码译出的概率是多少？解解 将三人编号为将三人编号为1,2,3,所求为所求为 P(A1 A2 A3)记记 Ai=第第 i 个人破译出密码个人破译出密码 i=1,2,3注意独立性的概念在计算概率中的应用注意独立性的概念在计算概率中的应用已知已知 P(A1)=1/5,P(A2)=1/3,P(A3)=1/4，=1-1-P(A1)1-P(A2)1-P(A3)1.5 例例4 4 设设 A、B、C 是三个事件，是三个事件，且且 P(A)=0.3,P(C)=0.6,P(B|A)=0.4,P(BC)=0.
14、72,B与与 C 相互独立，相互独立，求求 P(AB).).解解由于由于 B与与 C 独立，独立，故故 P(BC)=P(B)+)+P(C)-P(B)P(C)=P(B)1-)1-P(C)+P(C)=0.4 P(B)+0.6=0.72,P(B)=0.3,P(AB)=P(A)+)+P(B)-P(AB)分析分析 =P(A)P(B|A)=P(A)+)+P(B)-P(A)P(B|A)?所以所以 P(AB)=P(A)+)+P(B)-P(A)P(B|A)=0.3+0.3 +0.3 0.4=0.481.51.P(B|A)0 2.P(A|B)=P(A)3.P(A|B)=0 4.P(AB)=P(A)P(B)1.P(
15、B|A)0 2.P(A|B)=P(A)3.P(A|B)=0 4.P(AB)=P(A)P(B)设设 A、B为为互斥事件互斥事件，且，且 P(A)0,P(B)0,下面四个结论中，下面四个结论中，正确的是：正确的是：设设 A、B为为独立事件独立事件，且，且 P(A)0,P(B)0,下面四个结论中，下面四个结论中，正确的是：正确的是：做个小练习：做个小练习：前面我们看到独立与互斥的区别和联系前面我们看到独立与互斥的区别和联系P(A|B)=P(AB)/)/P(B)=0独立性独立性 1.5 被两人击中而击落的被两人击中而击落的概率为概率为 0.6,求飞机被击落的概率求飞机被击落的概率.三人击中的概率分别为
16、三人击中的概率分别为 0.4、0.5、0.7.若三人都击中飞机必定被击落若三人都击中飞机必定被击落.设设 A=飞机被击落飞机被击落 ，由由全概率公式全概率公式 P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)则则 A=AB1+AB2+AB3，解解依题意，依题意，P(A|B1)=0.2,P(A|B2)=0.6,P(A|B3)=1，三人同时对飞机进行三人同时对飞机进行射击射击,为求为求P(Bi),设设 Hi =飞机被第飞机被第 i 人击中人击中 ,i=1,2,3 可求得可求得:将数据代入计算得将数据代入计算得:P(B1)=0.36，P(B2)=0.41，P(B
17、3)=0.14，=0.360.2+0.410.6+0.141=0.458即飞机被击落的概率为即飞机被击落的概率为0.458 .飞机被一人击中而击落的概率为飞机被一人击中而击落的概率为 0.2,P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)于是于是Bi=飞机被飞机被 i 个人击中个人击中 i=1,2,3，1.5例：设某射击手每次打中目标的概率是例：设某射击手每次打中目标的概率是0.05，现在连续，现在连续射击射击100次，求击中目标次数的概率。次，求击中目标次数的概率。又设至少命中又设至少命中5次次才能参加下一步的考核，求该射手不能参加考核的概率。才能参加
18、下一步的考核，求该射手不能参加考核的概率。解：解：设设X为为100次射击中击中目标次数，则次射击中击中目标次数，则设设A=该射手不能参加考核该射手不能参加考核，则，则2.2例例1 设随机变量设随机变量 X 的概率密度为的概率密度为(1)确定常数确定常数 A；(2)求求 X 的分布函数的分布函数 F(x);解解(1)(3)求求 P(0 X1).).由概率密度定义知由概率密度定义知 当当 x 0 时，时，当当 0 x 1)=1-P(X 1)F(1)(1)P(0 X1)=F(1)-(1)-F(0)(0)用概率密度求用概率密度求 2.4.1例例2 设随机变量设随机变量 X 的分布函数为的分布函数为(1
19、)确定系数确定系数 A;(2)求求 P(|(|X|/6);解解(1)(3)求求 X 的概率密度函数的概率密度函数;由分布函数的连续性知由分布函数的连续性知 (2)=1，(3)由可微性知由可微性知 (4)作图作图0,cos x,(4)做出做出 F(x)与与 f(x)的图形的图形.f(x)O xF(x)O x ./21 ./21 。2.4.1 则在任则在任一时刻到站乘客的候车时间一时刻到站乘客的候车时间 X(单位单位:分钟分钟)在区间在区间 0,10 上服从上服从均匀均匀分布，分布，解解 X U a,b，所求概率为所求概率为 例例2 设设某公共汽车站每某公共汽车站每 10 分钟有一班车通过，分钟有
20、一班车通过，试求乘客候车时间超过试求乘客候车时间超过 6 分钟的概率分钟的概率.例例3 设随机变量设随机变量 XU 2,5，现对现对 X 进行三次独立观测进行三次独立观测,求至少有两次观测值大于求至少有两次观测值大于 3 的概率的概率.解解 XU22,5，则则 设设 Y 表示表示对对 X 的观测值大于的观测值大于 3 的次数，的次数，Y=0,1,2,3，则则 Y B(3,2/3),),所求概率为所求概率为 P(Y 2)2.4.2 寿命寿命 X 服从参数为服从参数为0.05 的的指数指数分布，分布，解解 X E(0.05),(1)P(0 X 20)例例4 从从某项寿命试验的数据中知，某项寿命试验
21、的数据中知，(1)求求 P(0 80|X 50);事件事件 X 80 X 50，P(X 80|X 50)-0.05 x x)x)0.1，无记忆性无记忆性2.4.2求求 P(X 2.5)及及P(-(-1.64 X 2.5)=1-(2.5)P(X 0.5)=F(0.5)查表得查表得=0.6915;=1-0.9938=0.0062;P(-(-1.64 X 250)=1-P(X 250)=1-(2.32)=1-0.9898 =0.0102.例例6 某地区某地区8月份降雨量月份降雨量 X 服从服从 =185mm,=28mm 的正态分布，的正态分布，并求该地区明年并求该地区明年 8 月份降雨量超月份降雨量
22、超过过250mm的概率的概率.2.4.2 例例8 8 公共汽车车门高度是按男子与车门顶头碰头机会在公共汽车车门高度是按男子与车门顶头碰头机会在 0.01以以下来设计的下来设计的.问门高度应如何确定问门高度应如何确定?解解 设车门高度为设车门高度为 h cm,按设计要求应有按设计要求应有 P(Xh)0.01或或 P(X 0.99，h=170+13.98 184.设计车门高度为设计车门高度为184mm时，可使男子与车门顶碰头机会不超过时，可使男子与车门顶碰头机会不超过0.01.若若 XN(,2)时，时，要求满足要求满足 P(X x0)=p 的的 x0 ：P(X x0)=p 2.4.2 已知已知19
23、87 年全国普通年全国普通高校统考物理成绩高校统考物理成绩XN(42,36)(42,36),这表明有这表明有16%的考生成绩超过的考生成绩超过48分，分，如果某考生得如果某考生得4848分分,求有多求有多少考生名列该考生之前少考生名列该考生之前?例例9 (确定确定超前百分位数超前百分位数、排定名次、排定名次)解解 由条件知即求由条件知即求 P(X48)，查表可知查表可知即即84%的考生名列该考生之后的考生名列该考生之后.=1-1-(1),(1),2.4.2 即成绩高于甲的人数应占考生即成绩高于甲的人数应占考生的的16.9%,对于录取考试人们最关心的是对于录取考试人们最关心的是 自己能否达到录取
24、分数线？自己能否达到录取分数线？自己的名次？自己的名次？某公司招工某公司招工300300名名(正式工正式工280280,临时临时工工2020名名),),例例10(预测录取分数和考生名次预测录取分数和考生名次)解解 设考生成绩为设考生成绩为X,最低分数线为最低分数线为 x0,166,X N(166,932 2)，(1)(1)(预测分数线预测分数线)考后由媒体得知：考后由媒体得知：考试总平均成绩为考试总平均成绩为166166分分,360360分以上的高分考生有分以上的高分考生有3131人人.考生甲得考生甲得256256分分,问他能否被录用？如录用能否被录为正式工？问他能否被录用？如录用能否被录为正
25、式工？有有16571657人参加考试人参加考试,考试满分为考试满分为400400分分.高于此线的高于此线的考生频率为考生频率为 300/1657 高于高于360分的考生频率为分的考生频率为(2)(2)(预测甲的名次预测甲的名次)当当 X=256 时时,P(X256)这表明高于这表明高于256分的频率应为分的频率应为0.169,排在甲前应有排在甲前应有甲大约排在甲大约排在281名名.故甲能被录取故甲能被录取,但成为正式工的可能性不大但成为正式工的可能性不大.P(X360)2.4.2设设 X 具有概率密度具有概率密度 求导可得求导可得当当 y 0 时时,注意到注意到 Y=X 2 0，故当故当 y
26、0时，时，FY(y)=0;解解 设设Y 和和X 的分布函数分别为的分布函数分别为FY(y)和和 FX(x)，例例3则则 Y=X 2 的概率密度为的概率密度为Y 服从自由度为服从自由度为1 的的 分布分布求求Y=X 2 的概率密度的概率密度.2.5 试证试证 X 的线性函数的线性函数 Y=aX+b(a 0)也服从正态分布也服从正态分布.证证 X 的的概率密度为概率密度为例例4 设随机变量设随机变量 X(,2),),显然显然 y=g(x)=a x+b可导且可导且g =a 保号保号Y=aX+b 的概率密度为的概率密度为由定理知由定理知 Y=aX+b N(a +b,(|a|)2)即即注注 取取 ,验证
27、函数可导且单调验证函数可导且单调 求反函数及其导数求反函数及其导数 代入定理公式即得函数的密度代入定理公式即得函数的密度 注意取绝对值注意取绝对值有有 确定确定y的取值范围的取值范围 2.5求求 Y=1-e X 的概率密度的概率密度.解解 例例5 设设 X 的概率密度为的概率密度为 显然显然 y=g(x)=1-e x 可导可导,且且g =-e x 保号保号,Y=1-e X 的概率密度为的概率密度为由定理知由定理知 即即注意取绝对值注意取绝对值2.5先转化为分布先转化为分布函数函数,再求导再求导已知已知 X 的概率密度为的概率密度为 求求Y=sinX 的概率密度的概率密度.例例6 利用利用分布函
28、数分布函数求概率密度：求概率密度：函数函数 y=g(x)=sinx 在在 0,上为上为非单调函数非单调函数，解解故不能用定理求故不能用定理求.x 0,时时,y 0 时时,0y1时时,=P(0 X arcsin y)()(-arcsin y X )y 1时时,=P(0 X arcsin y)+P(-arcsin y X )=1.分布函数法分布函数法不必计算积分不必计算积分2.5例例2 设设(X,Y)的概率密度是的概率密度是解解 求求边缘密度边缘密度.分段函数积分应注意其表达式分段函数积分应注意其表达式 yx 0 1 y=x y=x2 在在求求连连续续型型随随机机变变量量的的边边缘缘密密度度时时，
29、往往往往要对联合密度在一个变量取值范围上进行积分要对联合密度在一个变量取值范围上进行积分.当联合密度是当联合密度是分段分段函数函数时，在计算积分时应特别注意积分限时，在计算积分时应特别注意积分限.3.2 有放回地连续摸有放回地连续摸两次两次,解解 依题意有依题意有例例1 一袋中装有两只白球一袋中装有两只白球,三只红球三只红球,所以所以X 和和Y 的联合分布律的联合分布律 试求条件试求条件X=1下随机变量下随机变量Y 的及的及Y=0下下 X 的的条件分布条件分布.设随机变量设随机变量 X Y 0 1 0 1 9/25 6/25 6/25 4/25p jpi 3/5 2/53/52/5及边缘分布律
30、为及边缘分布律为 Y|X=1 0 1 pk 3/5 2/5条件条件X=1下的下的条件分布律为条件分布律为 先求先求联合联合分布列分布列和边缘分布列和边缘分布列3.3 解解例例2 设设(X,Y)的概率密度为的概率密度为同理同理,求条件概率密度求条件概率密度由类条概公式，由类条概公式，当当 y 0 和和 y 1 时，时，0 xyy=x y=x2 应先求两个边缘密度应先求两个边缘密度 fX(x),fY(y)：不存在不存在,当当 0 y 1 时，时，同理同理,当当 x 0 和和 x 1 时，时，当当 0 x 1 时，时，不存在不存在,3.3 在在 X=x(0 x1).解解 (1)0，其他其他.(2)求
31、：求：0 1 xyy=x (3)P(X+Y1)已知边缘密度和条件密度已知边缘密度和条件密度0 xyy=x y=1-x 3.3解解暂时固定暂时固定当当 时时,当当 时时,故故暂时固定暂时固定3.3暂时固定暂时固定暂时固定暂时固定当当 时时,当当 时时,故故3.3当当 时时,综上综上当当 时时,当当 时时,暂时固定暂时固定3.34.设设(X,Y)的概率密度是的概率密度是A=24.解解 (1)故故求求(1)A的值的值 (2)两个边缘密度两个边缘密度(3)3.3解解(2)当当 时时当当 时时,暂时固定暂时固定3.3注意取值范围注意取值范围综上综上,当当 时时,3.33.3综上综上,注意取值范围注意取值
32、范围3.3(2)当当 时时,故故暂时固定暂时固定3.3当当 时时,故故暂时固定暂时固定3.3X 1 2 3 1/31/6 a 1/9 b1/18 Y12试确定常数试确定常数 a 与与 b,使使X与与Y相互独立相互独立.先求先求(X,Y)关于关于X,Y 的边缘分布列的边缘分布列:解解 例例1 已知随机变量已知随机变量(X,Y)的联合分布列为的联合分布列为X1 2 3 1/31/6 a 1/9 b1/18 Y12 1/3+a+b1/31/2 1/9+a 1/18+b要使要使X与与Y 相互独立相互独立,只需只需2/9 1/93.4 则则X,Y 的密度函数的密度函数分别为分别为:设他俩到达的设他俩到达
33、的 时间是独立的，时间是独立的，解解 设设X,Y 分别为经理和秘书到达办公室的时刻分别为经理和秘书到达办公室的时刻,某经理到达办公室的时间均匀分布在某经理到达办公室的时间均匀分布在812时之间时之间,例例6他的秘书到达办公室的时间均匀分布在他的秘书到达办公室的时间均匀分布在79时之间时之间.求他俩到达办公室的时间相差不超过求他俩到达办公室的时间相差不超过5分钟的概率分钟的概率.由于由于X,Y 相互独立相互独立,依题意所求概率为依题意所求概率为 0 xy978 12Gy-x=-1/12y-x=1/12Gy-x=-1/12y-x=1/12BAC CB被积函数为常数被积函数为常数直接求面积直接求面积
34、先到的人等待另一人到达的先到的人等待另一人到达的时间不超过时间不超过5分钟的概率分钟的概率3.4=0.1+0.2 +0.4 +0.3例例8 设随机变量设随机变量X 的分布列为的分布列为pkX -1 0 1 2 0.1 0.2 0.4 0.3求求 E(2X-1),),E(X 2).解解 E(2X-1)-1)例例9 设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为的联合密度函数为 求求 EX,E(XY).).解解 EXE(XY)=1.4;4.1 而商场每而商场每销售一单位商品可获利销售一单位商品可获利500元元,若供大于求若供大于求,则削价处理则削价处理,每单位每单位商品亏损商品亏损100元
35、元;例例1212 某种商品每周的需求量某种商品每周的需求量 XU 10,30,若供不应求若供不应求,则可从外部调剂供应则可从外部调剂供应,此时每单位商品此时每单位商品可获利可获利300元元.要使商场获得最大的收益要使商场获得最大的收益,问应进货多少问应进货多少?解解 设应进货量为设应进货量为 a(1至至 30 间的某一整数间的某一整数),),利润为利润为Y,则则 连续连续 故当故当 a=23.33 时时,EY 最大最大,故应进货故应进货 23 吨吨.4.1 我们介绍了随机变量的我们介绍了随机变量的数学期望数学期望，它反映了随机变量取，它反映了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特
36、征值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征.小结小结 保线性运算保线性运算 七条性质七条性质:独立性与积独立性与积 保序性保序性 绝对值性质绝对值性质 柯西柯西许瓦兹不等式许瓦兹不等式 E(XY)2 EX 2 EY 24.1课堂练习课堂练习1 某某人人的的一一串串钥钥匙匙上上有有n把把钥钥匙匙,其其中中只只有有一一把把能能打打开开自自己己的的家家门门,他他随随意意地地试试用用这这串串钥钥匙匙中中的的某某一一把把去去开开门门,若若每每把把钥钥匙匙试试开开一一次次后后除除去去,求求打打开开门门时时试试开次数的数学期望开次数的数学期望.2 2 设随机变量设随机变量设随机变量设随机变量X X的概率
37、密度为的概率密度为的概率密度为的概率密度为4.11 解解 设试开次数为设试开次数为X,于是于是 E(X)2 2 解解解解Y Y是随机变量是随机变量是随机变量是随机变量X X的函数的函数的函数的函数,P(X=k)=1/n,k=1,2,n4.1 例例1 甲、乙两人加工同一种零件甲、乙两人加工同一种零件,两人每天加工的零件数相等两人每天加工的零件数相等.设两人的次品率分别为设两人的次品率分别为 X 和和Y,若若 X 与与 Y 的分布律分别为的分布律分别为 Xpk 012 6/10 1/10 3/10Ypk 012 5/10 3/10 2/10试对甲乙两人的技术水平进行比较试对甲乙两人的技术水平进行比
38、较.解解 EX=EY,DXDY,两人技术水平相当两人技术水平相当,但乙的技术比甲稳定但乙的技术比甲稳定.4.2例例9设活塞的直径设活塞的直径XN(22.4,0.032),汽缸的直径汽缸的直径YN(22.5,0.042),假设假设X与与Y相互独立，相互独立，任取一只活塞和一只汽缸，求活塞能任取一只活塞和一只汽缸，求活塞能放进汽缸的概率。放进汽缸的概率。解解按题意需求按题意需求即即4.2 且且 X1 U 0,6,X2 (3),X3 N(0,22),),例例11 设设 X1,X2,X3 相互独立，相互独立，记记 Y=X1-2X2+3X3,求求 DY.解解 由条件知由条件知 DX1=62/12=3,D
39、X3 =22=4,DX2=3,DY=D(X1-2X2+3X3)=DX1 +4 DX2 +9 DX3 =46.例例12 设设 X E(),),求求 解解 由条件知由条件知 X 的分布函数为的分布函数为 且且 X 的方差为的方差为 4.2 例例13 已知已知X N(-2,0.42),),求求E E(X+3)2 解解4.2课堂练习课堂练习1、设随机变量设随机变量X服从几何分布，概率分布为服从几何分布，概率分布为PX=k=p(1-p)k-1,k=1,2,其中其中0p1,求求E(X),D(X)2、4.21、解：解：记记 q=1-p求和与求导求和与求导交换次序交换次序无穷递缩等比无穷递缩等比级数求和公式级数求和公式4.2 D(X)=E(X2)-E(X)2 +E(X)4.22、解解4.2