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1、工程测量第五章第五章 测量误差的基本知识测量误差的基本知识5.1测量误差概述5.2衡量精度的指标5.3误差传播定律5.4等精度直接观测的最可靠值 测量实践中可以发现，测量结果不可避免的存在误差存在误差，比如：1、对同一量多次观测，其观测值不相同。2、观测值之和不等于理论值：三角形 +180 闭合水准 h0误差误差就是就是观测值与客观真实值之差观测值与客观真实值之差。用重复观测的方法可以发现误差的存用重复观测的方法可以发现误差的存在。在。研究测量误差的目的是找出误差产生研究测量误差的目的是找出误差产生的原因，找出减弱误差的对策，保证的原因，找出减弱误差的对策，保证测量成果达到必需的精度。测量成果
2、达到必需的精度。5.1 概述概述一、误差的来源一、误差的来源二、误差的分类二、误差的分类系统误差系统误差偶然误差偶然误差定义定义特点特点消除办法消除办法一、测量误差来源一、测量误差来源仪器条件仪器条件观测者的自身条件观测者的自身条件外界条件外界条件通常把测量仪器、观测者的技术水平通常把测量仪器、观测者的技术水平和外界环境统称为和外界环境统称为观测条件观测条件。等精度观测等精度观测:观测条件相同的各次观测。观测条件相同的各次观测。不等精度观测不等精度观测:观测条件不同的各次观测。观测条件不同的各次观测。定义：定义：在相同的观测条件下，对某量进行了在相同的观测条件下，对某量进行了n次观测，如果次观
3、测，如果误差出现的大小和符号误差出现的大小和符号均相同或按一定的规律变化。均相同或按一定的规律变化。产生的主要原因：产生的主要原因：是是仪器设备制造不完善。仪器设备制造不完善。二、系统误差二、系统误差 例：钢尺尺长、温度、倾斜改正 水准仪 i角 经纬仪 c角、i角 注意：系统误差具有累积性，对测量成果影响较大。消除和削弱的方法:（1）用计算的方法加以改正；（2）用一定的观测方法加以消除；（3）将系统误差限制在允许范围内。（校正仪器）三、偶然误差三、偶然误差定义：定义：在相同的观测条件下，对某量进行了在相同的观测条件下，对某量进行了n次次观测，如果误差出现的观测，如果误差出现的大小和符号均不定大
4、小和符号均不定，称为偶然误差（随机误差）。称为偶然误差（随机误差）。偶然误差不能消除，只能通过改善观测条偶然误差不能消除，只能通过改善观测条件加以控制。件加以控制。就单个值而言，偶然误差在观测前就单个值而言，偶然误差在观测前不能预知其大小和符号。但随着观不能预知其大小和符号。但随着观测次数的增多，偶然误差会呈现出测次数的增多，偶然误差会呈现出一定的一定的统计规律。三角形内角和观测三角形内角和观测误差区间误差区间 为正为正 为负为负总数总数0.0 0.22121420.2 0.41919380.4 0.61512270.6 0.8911200.8 1.098171.0 1.256111.2 1.
5、41341.4 1.61231.6以上以上000累计累计8082162偶然误差的特性：偶然误差的特性：有界性有界性密集性密集性对称性对称性抵偿性：即抵偿性：即 频率直方图频率直方图每一误差区间上的长方形面积表示误差在该区间出现的相对个数。所有长方形面积之和等于1。密度函数法密度函数法误差概率分布曲线，也称为正态分布密度曲线。密度函数法密度函数法密度函数为密度函数为式中式中0，表示与，表示与观测条件有关的参条件有关的参数。数。E（）=0D（）=25.2衡量精度的指标衡量精度的指标精密度（精度）：指对一个量的多次观测中，各观测值之间的离散程度。精度高低主要取决于偶然误差的大小。偶然误差小，观测结果
6、密集，精度高。偶然误差小，观测结果密集，精度高。评定精度的标准 中误差 容许误差 相对误差一、方差一、方差设对某一未知量设对某一未知量x进行了进行了n次等精度的观次等精度的观测，其观测值为测，其观测值为l1、l2、ln，相相应的真的真误差差为1、2、n，则定定义该组观测值的方差的方差D为：式中 12+22+.+n2 i=l iX（i1、2、3、.、n）X为未知量的真值。由于由于D 2 所以所以D。称为中误差，在数理统计中称为标准称为中误差，在数理统计中称为标准偏差。偏差。当当n为有限时，为有限时，的估值在测量中常用的估值在测量中常用m来代替。来代替。二、二、中误差中误差中误差的定义：在相同观测
7、条件下，对中误差的定义：在相同观测条件下，对同一未知量进行同一未知量进行n次观测，所得各个真误次观测，所得各个真误差平方的平均值，再取平方根，称为中差平方的平均值，再取平方根，称为中误差。用误差。用m表示。表示。式中：例：试根据下表数据，分别计算各组观测值的中误差。例：试根据下表数据，分别计算各组观测值的中误差。解：第一组观测值的中误差：解：第一组观测值的中误差：第二组观测值的中误差：第二组观测值的中误差：说明第一组的精度高于第二组的精度。说明第一组的精度高于第二组的精度。说明：中误差越小，观测精度越高说明：中误差越小，观测精度越高相同观测条件下进行的一组观测，对应相同观测条件下进行的一组观测
8、，对应的是同一种误差分布，即一组中的每一的是同一种误差分布，即一组中的每一个观测值都具有相同的精度。个观测值都具有相同的精度。中误差不等于每个观测值的真误差，而中误差不等于每个观测值的真误差，而是一组真误差的代表值，代表了一组测是一组真误差的代表值，代表了一组测量结果中任一观测值的精度，通常把量结果中任一观测值的精度，通常把 m称为称为观测值中误差或一次观测中误差观测值中误差或一次观测中误差。设有不同精度的两组观测值，对应的参设有不同精度的两组观测值，对应的参数为数为1和和2。设。设1 2，根据误差概率分，根据误差概率分布曲线，布曲线，1对应的曲线峰值比较高，曲对应的曲线峰值比较高，曲线陡峭；
9、线陡峭；2对应的曲线峰值比较小，曲对应的曲线峰值比较小，曲线平缓，线平缓，说明说明值越小，观测精度越高。值越小，观测精度越高。中中误差和真误差都是绝对误差，误误差和真误差都是绝对误差，误差的大小与观测量的大小无关。差的大小与观测量的大小无关。在有些情况下，中误差并不能全面在有些情况下，中误差并不能全面反映观测精度。反映观测精度。分别丈量两段不同距离，一段为分别丈量两段不同距离，一段为100m，一段为一段为200m，中误差都是，中误差都是 0.02m。此时。此时是否能认为两段距离观测结果的精度相是否能认为两段距离观测结果的精度相同？同？必须引入相对误差的概念，目的是为了必须引入相对误差的概念，目
10、的是为了更客观地反映实际测量精度。更客观地反映实际测量精度。相对误差相对误差K K 是中误差的绝对值是中误差的绝对值 mm 与相与相应观测值应观测值 D D 之比，通常以分母为之比，通常以分母为1 1的分式的分式 来表示，称其为相对（中）误差。即来表示，称其为相对（中）误差。即:一般情况一般情况 :角度、高差的误差用角度、高差的误差用mm表示，表示，量距误差用量距误差用K K表示。表示。三、相对误差三、相对误差例 已 知：D1=100m,m1=0.01m，D2=200m,m2=0.01m，求：K1,K2解：四、极限误差四、极限误差根据偶然误差的第一个特性，在一定观根据偶然误差的第一个特性，在一
11、定观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值，该限值称为一定的限值，该限值称为极限误差极限误差，简，简称限差。称限差。限差是偶然误差限制值，用作观测成果限差是偶然误差限制值，用作观测成果取舍的标准。取舍的标准。理论和实验研究表明，大于两倍中误差的偶然误差个数约占总数的4.5%，大于三倍中误差的偶然误差个数约占总数的0.3%。测量中通常取2倍或3倍中误差作为偶然误差的容许误差；即容=2m 或容=3m极限误差的作用：极限误差的作用：区别误差和错误的界限。区别误差和错误的界限。53误差传播定律误差传播定律直接观测的量，经过多次观测后，直接观测的量，经过多次观测后
12、，可通过可通过真误差真误差或或改正数改正数计算出观测计算出观测值中误差，作为衡量观测值精度的值中误差，作为衡量观测值精度的标准。标准。概念 误差传播定律：阐述观测值的中误差与观测值 函数中误差的关系的定律。函数形式倍数函数和差函数线性函数一般函数设非线性函数的一般式为：式中：为独立观测值独立观测值；为独立观测值的中误差。求函数的全微分，并用“”替代“d”，得一、一、一般函数一般函数式中：是函数F对 的偏导数，当函数式与观测值确定后，它们均为常数，因此上式是线性函数，其中误差为：例已知：测量斜边D=50.000.05m，测得倾角=15000030求：水平距离D解：1.函数式 2.全微分 3.求中
13、误差 1.1.列出观测值函数的表达式：列出观测值函数的表达式：2.2.对对函函数数式式全全微微分分，得得出出函函数数的的真真误误差差与观测值真误差之间的关系式：与观测值真误差之间的关系式：式中，式中，是用观测值代入求得的值。是用观测值代入求得的值。求观测值函数中误差的步骤：求观测值函数中误差的步骤：三、三、运用误差传播定律的步骤运用误差传播定律的步骤 3 3、根据误差传播率计算观测值函数中误差：、根据误差传播率计算观测值函数中误差：注注意意：在在误误差差传传播播定定律律的的推推导导过过程程中中，要要求观求观 测值必须是测值必须是独立独立观测值。观测值。例如，设有函数z=xy，而y=3x，此时，
14、。因为x与y不是独立观测值，因为不论n值多少，恒有因此，应把Z化成独立观测值的函数，即z=x+3x=4x上式中X与3X两项是由同一个观测值X组成的，必须先并项为z=4x 而后求其中误差，即mz=4mx例题例题1.已知已知 设设L1和和L2为独立观测值，且中误差均为为独立观测值，且中误差均为m，试求，试求X、Y、Z的中误差。的中误差。解：解：1）函数式：）函数式：2）取全微分：）取全微分：3）根据误差传）根据误差传播定律：播定律：X=L1+L2解：解：1）函数式：）函数式：2）取全微分：）取全微分：3）根据误差传）根据误差传播定律：播定律：Y=（L1-L2）/2解：解：1）函数式：）函数式：2）
15、取全微分：）取全微分：3）根据误差传）根据误差传播定律：播定律：Z=X-Y 误差传播定的几个主要公式：函数名称函数式函数的中误差倍数函数和差函数线性函数一般函数5.4等精度直接观测的最可靠值等精度直接观测的最可靠值 一、求最可靠值一、求最可靠值二、二、算术平均值中误差算术平均值中误差mL三、用改正数计算中误差三、用改正数计算中误差四、精度评定四、精度评定一、求最可靠值一、求最可靠值 设在相同的观测条件下对未知量观测了设在相同的观测条件下对未知量观测了n次，观测值为次，观测值为l1、l2ln，中误差为，中误差为m1、m2 mn，则其，则其算术平均值算术平均值L 为未知为未知量的最可靠值（最或然值
16、、似真值）量的最可靠值（最或然值、似真值）设未知量的真值为设未知量的真值为x x，可写出观测值的，可写出观测值的真误差公式为真误差公式为将上式相加得将上式相加得 故故 推导过程：推导过程：由偶然误差第四特性知道，当观测次数由偶然误差第四特性知道，当观测次数无限增多时，无限增多时，即即 （算术平均值）（算术平均值）说明，说明，n n趋近无穷大时，趋近无穷大时，算术平均值算术平均值即为真值。即为真值。因为因为 式式中中，1n为为常常数数。由由于于各各独独立立观观测测值的精度相同，设其中误差均为值的精度相同，设其中误差均为m。设平均值的中误差为设平均值的中误差为mL，则有，则有 二、二、算术平均值中
17、误差算术平均值中误差mL 由此可知，算术平均值的中误差为观由此可知，算术平均值的中误差为观测值的中误差的测值的中误差的 倍倍。故故三、用改正数计算中误差三、用改正数计算中误差 第一公式第一公式 第二公式第二公式 （白塞尔公）（白塞尔公）条件：观测值真值条件：观测值真值 X X已知已知条件：观测值真值条件：观测值真值 X X 未知，未知，算术平均值算术平均值L L已知已知其中其中 观测值改正数，观测值改正数，四、精度评定四、精度评定例题：设用经纬仪测量某个角例题：设用经纬仪测量某个角6 6测回，观测之列于测回，观测之列于 表中。试求观测值的中误差及算术平均值中误差。表中。试求观测值的中误差及算术平均值中误差。算术平均值算术平均值L中误差是：中误差是：返回返回本章作业本章作业P90：1、3、4、6、7、8