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1、重庆交通学院 测绘与国土信息系工程测量10第05章测量误差的基本知识 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望测量误差的基本知识测量误差的基本知识本章目录本章目录1、测量误差的分类、测量误差的分类2、偶然误差的统计特性、偶然误差的统计特性3、观测值的算术平均值、观测值的算术平均值4、评定精度的标准、评定精度的标准5、误差传播定律及其应用、误差传播定律及其应用6、最小二乘法原理简介、最小二乘法原理简介最基本要求最基本要求一、掌握误差的基本概念一、掌握误差的基本
2、概念二、会算中误差二、会算中误差重庆交通学院 测绘与国土信息系一、测量中几个基本术语一、测量中几个基本术语1、观测值、观测值L：测得的具体数值（与体现度量单位的标准量进行比较）。测得的具体数值（与体现度量单位的标准量进行比较）。2、真值、真值X：被观测对象的客观真值（通常真值是不知道的，所以记为被观测对象的客观真值（通常真值是不知道的，所以记为X）。3、真误差、真误差i:i=LiX。（真误差观测值真值）。（真误差观测值真值）4、理论值：、理论值：某量及函数的真值和高精度值的统称。某量及函数的真值和高精度值的统称。5、改正数、改正数v:V=误差（误差（LiX）。）。重庆交通学院 测绘与国土信息系
3、二、多余观测二、多余观测1、定义：、定义：多余多余“必不可少必不可少”的观测叫多余观测。的观测叫多余观测。2、多余观测的意义：、多余观测的意义：有了多余观测，可以及时发现错误，但由于有误差，多有了多余观测，可以及时发现错误，但由于有误差，多余观测的数值又不相等，这又会出现矛盾。余观测的数值又不相等，这又会出现矛盾。问题：未知量取什么数值合理？其可靠程度如何呢？这问题：未知量取什么数值合理？其可靠程度如何呢？这正是正是测量平差测量平差要应付的两个基本问题。要应付的两个基本问题。3、多余观测的目的、多余观测的目的（1）发现错误）发现错误（2）提高精度）提高精度（3）求出最可靠值）求出最可靠值三、测
4、量平差简介三、测量平差简介1、定义：、定义：用用最小二乘法最小二乘法处理各种观测结果（数值）的理论和计算方法。处理各种观测结果（数值）的理论和计算方法。2、目的：、目的：（1）求出最可靠的结果（最或是值）求出最可靠的结果（最或是值）（2）评定精度）评定精度3、测量平差在测量学中的地位、测量平差在测量学中的地位（1）求）求X，评定精度，评定精度（2）分析测量工作的误差大小）分析测量工作的误差大小（3）掌握测量工作的应有限度）掌握测量工作的应有限度（4）根据工程的要求：制定合理的作业方案、选用合理的仪）根据工程的要求：制定合理的作业方案、选用合理的仪器、拟定正确的施测方法器、拟定正确的施测方法重庆
5、交通学院 测绘与国土信息系四、最小二乘法四、最小二乘法什么是最小二乘法？举例说明。什么是最小二乘法？举例说明。重庆交通学院 测绘与国土信息系51 测量误差的分类测量误差的分类误差是不可避免的，粗差是不允许的，注意检核误差是不可避免的，粗差是不允许的，注意检核观测条件观测条件不相同，称非等精度观测不相同，称非等精度观测相同，称等精度观测相同，称等精度观测误差产生的原因：误差产生的原因：l仪器仪器l人人l外界环境外界环境结论：结论：观测条件好，成果质量高；观测条件好，成果质量高；一定的观测条件和作业方法决定了成果的质量。一定的观测条件和作业方法决定了成果的质量。重庆交通学院 测绘与国土信息系一、系
6、统误差1、定义：、定义：在相同的观测条件下，对某量进行一系在相同的观测条件下，对某量进行一系列的观测，如误差出现的符号和大小相同或列的观测，如误差出现的符号和大小相同或按一定的规律变化按一定的规律变化2、特性：累积性、特性：累积性3、消除或削减措施、消除或削减措施（1）计算改正）计算改正（2）合理的观测方法）合理的观测方法（3）对仪器检校）对仪器检校重庆交通学院 测绘与国土信息系二、偶然误差 =所有所有Li-180 闭合差闭合差1、定义：、定义：在相同的观测条件下，对某量进行一系在相同的观测条件下，对某量进行一系列的观测，如误差出现的大小和符号均不一列的观测，如误差出现的大小和符号均不一致（随
7、机误差）。致（随机误差）。2、真误差、真误差=观测值真值观测值真值误误 差差区区 间间 d 为为 正正 值值 为为 负负 值值备备 注注误差误差个数个数ni频率频率ni/n ni d n误差个误差个数数ni频率频率ni/n ni d n0.00.5 0.51.01.01.51.52.02.02.52.53.03.0以上以上1913852100.1980.1350.0830.0520.0210.01000.3960.2710.1670.1040.0420.02102012942100.2080.1250.0940.0420.0210.01000.4170.2500.1880.0830.0420.
8、0210 d 为为组距组距 n为误为误差的个数差的个数和和480.50480.50（1）小误差个数比大误差多）小误差个数比大误差多（2）绝对值相同的正、负误差的个数大致相等）绝对值相同的正、负误差的个数大致相等（3）最大误差不超过）最大误差不超过3.0 重庆交通学院 测绘与国土信息系偶然误差的数学期望等于零偶然误差的数学期望等于零偶然误差的统计特性：偶然误差的统计特性：（1）在一定的观测条件下，偶然误差的绝对）在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值有一定的限值（范围）值有一定的限值（范围）（2）绝对值较小的误差比绝对值较大的误差）绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大（大小）出现的概率大
9、（大小）（3）绝对值相等的正、负误差出现的概率相）绝对值相等的正、负误差出现的概率相同（符号）同（符号）（4）同一量的等精度观测，其偶然误差的算）同一量的等精度观测，其偶然误差的算术平均值，随观测次数术平均值，随观测次数n的无限增加而趋于零的无限增加而趋于零（抵偿性）（抵偿性）直方图直方图横坐标：真误差纵坐标：重庆交通学院 测绘与国土信息系 (0)与观测条件有关的参数与观测条件有关的参数1、每个矩形的面积等于该区间误差出现的频率，总面积、每个矩形的面积等于该区间误差出现的频率，总面积=1。2、当、当n时，各区间的频率就趋向一个稳定值时，各区间的频率就趋向一个稳定值概率概率3、即在一定的观测条件
10、下，对应着一个确定的误差分布。、即在一定的观测条件下，对应着一个确定的误差分布。4、当、当n，d0时，曲线称时，曲线称误差分布曲线，或正态分布误差分布曲线，或正态分布密度曲线。密度曲线。5、高斯根据偶然误差的、高斯根据偶然误差的4个特性，推导出该曲线的方程式：个特性，推导出该曲线的方程式：重庆交通学院 测绘与国土信息系讨论：当当=0时，时，y取得极大值：取得极大值：(1)(2)1y2极大极大(3)测量中可用测量中可用 作为衡作为衡量精度指标的一个标量精度指标的一个标准准重庆交通学院 测绘与国土信息系目的：求观测值的最可靠值，并衡量其精度，指导实际。目的：求观测值的最可靠值，并衡量其精度，指导实
11、际。在在 K处，在区间处，在区间d 内误差出现的频率内误差出现的频率nK/n与误差分布曲线的关系与误差分布曲线的关系即：(4)当n，d0时，K处 yK d=f(K)d=nK/n重庆交通学院 测绘与国土信息系52 等精度观测的最可靠值等精度观测的最可靠值有观测值有观测值L1、L2、Ln对应有误差对应有误差1、2、nl则最可靠值为：则最可靠值为：即是即是一、用偶然误差的特性证明一、用偶然误差的特性证明因为因为所以所以真误差的算术平均值真误差的算术平均值0算术平均值的真误差算术平均值的真误差结论：所以观测值的算术平均值最靠近其真值。结论：所以观测值的算术平均值最靠近其真值。二、取算术平均值符合小二原
12、理二、取算术平均值符合小二原理 设有一组等精度观测值设有一组等精度观测值L1、L2、Ln，y是是其最可靠值。让其最可靠值。让 Li+Vi=y，计算，计算当当y？时，？时，vv取得最小值。取得最小值。重庆交通学院 测绘与国土信息系三、最或似值改正数三、最或似值改正数V的特性的特性特性：改正数的和特性：改正数的和0，作为检验的标准。，作为检验的标准。53 衡量精度的指标衡量精度的指标l精度：指误差分布的密集或离散精度：指误差分布的密集或离散的程度，即离散度的大小。的程度，即离散度的大小。l衡量精度的指标：能够反映误差衡量精度的指标：能够反映误差离散度大小的数字离散度大小的数字重庆交通学院 测绘与国
13、土信息系一、方差和中误差一、方差和中误差式中式中 =12+22+.+n2 i=li x (i=1,2,.,n)D为真误差平方（为真误差平方（2）的数学期望。的数学期望。对某量进行对某量进行n次等精度观测，其观测值为次等精度观测，其观测值为l1 l2.ln，其误差为，其误差为 1 2.n，定义该组观测值的方差为：，定义该组观测值的方差为：重庆交通学院 测绘与国土信息系 与D的关系：此时此时N 而而为误差出现在相应区间的频率为误差出现在相应区间的频率式中式中n1+n2+.+nN=n当当n，d0时，时，K可用区间中的任一值代替可用区间中的任一值代替l将横轴分成将横轴分成N个相等的区间，每个区间包含的
14、误差个相等的区间，每个区间包含的误差个数为个数为nK（K=1,2,.,N)则有：则有：重庆交通学院 测绘与国土信息系测量中用测量中用m代替代替 ，习惯上，习惯上 中误差，数理统计中称为标准偏差中误差，数理统计中称为标准偏差当当n为有限值时，其估值为有限值时，其估值可得 D=2其中重庆交通学院 测绘与国土信息系中误差作为观测精度指标的概率含义l将误差概率分布曲线方程对取二阶导数，并令其为零，可得：=l所以正是误差概率曲线中的两个拐点的横坐标值=0.683 0.68重庆交通学院 测绘与国土信息系二、相对中误差l中误差的绝对值与相应测量结果之比重庆交通学院 测绘与国土信息系三、极限误差lP-+=0.
15、683lP-2+2=0.955lP-3+3=0.997l极=3 3 ml 容=2 2 ml或：容=3 3 m重庆交通学院 测绘与国土信息系53 误差传播定律l一、误差传播定律：l阐述观测值中误差与其函数中误差之间关系的定律l设有一般函数：Z=F(x1,x2,.,xn)l式中xi(i=1,2,.,n)为可直接观测的未知量，观测值为li，真误差为xilZ为不便于直接观测的未知量，真误差为Zl取全微分：F F FdZ=d x1+d x2+.+d xn x1 x2 xn因为Z、xi很小，故可用Z、xi取代dZ和dxi重庆交通学院 测绘与国土信息系l则：Z=f1x1+f2x2+.+fnxnl设对各xi进
16、行了k次观测，则有lZ(1)=f1x1(1)+f2x2(1)+.+fnxn(1)lZ(2)=f1x1(2)+f2x2(2)+.+fnxn(2)l lZ(k)=f1x1(k)+f2x2(k)+.+fnxn(k)l上式方程两边取平方，然后相加得：F F F 则：Z=x1+x2+.+xn x1 x2 xn设 nZ2=f12x12+f22x22+.+fn2xn2+fi fj xixj i=1,j=1 ij 重庆交通学院 测绘与国土信息系 Z2 x12 x22 xn2 lim =lim f12 +f22 +.+fn2 k k k k k klZ2=f12 12+f22 22+.+fn2 n2l当n为有限
17、次时l mZ2=f12 m12+f22 m22+.+fn2 mn2 Z2 x12 x22 xn2 n xixj =f12 +f22 +.+fn2 +fi fj k k k k i=1,j=1 k ij列函数式对函数式进行全微分，求各系数代入公式，求观测值函数的中误差即：方程两边同除以k:xixj 因：lim =0 k k步骤：重庆交通学院 测绘与国土信息系二、应用举例l1、水准测量的精度：l设A、B两点间设n站观测，每站高差为 hil则：hAB=h1+h2+.+hnl设各站为等精度观测，其中误差为m站l则 mh2=m站2+m站2+.+m站2 =n m站2 l即 mh=n m站 若地面平坦，各站
18、距离大致相等，设A、B间距离为L 则测站数为 n=L/l 则重庆交通学院 测绘与国土信息系 所以 mh=L m公里 1 m公里=m站 ll如：L=1km,代入即得1km路线长的中误差当观测精度相同时，高差中误差与测站数的平方根成正比。当各站距离大致相等时，与距离的平方根成正比l以km为单位重庆交通学院 测绘与国土信息系 容=3 m=3 2 8.5=3640 所以：容=2 m=2 2 8.5=24 一测回测角中误差 m=2 6=8.52、水平角测量的精度lJ6经纬仪一测回方向中误差为6l而=a-b,l ma=mb=6当精度要求较低时：m=2 m 测回间较差 =-重庆交通学院 测绘与国土信息系3、
19、实际应用；l用经纬仪独立观测n个三角形的内角，可用来检测经纬仪是否达到预定的精度要求 菲列罗公式 mw2 则：m角2=3 而 wi=i+i+i -180 所以：mw2=m2+m2+m2=3m角2即：和为Li(i=1,2,.,n)得闭合差 wi=Li-180重庆交通学院 测绘与国土信息系54 等精度直接观测值的最可靠值l一、算术平均值l设对某量进行了一组等精度观测，其值为l1,l2,.,lnl真值为x，真误差为1,2,.,n,则：l 1=l1-xl 2=l2-xl .l n=ln-x+=l-nx重庆交通学院 测绘与国土信息系 lim L=lim +x =x n n n ll=-x=L x n n
20、 v=nL-l=0 所以L是最接近于真值的一个值，称最可靠值 改正数 vi=L-li l L=+x n n重庆交通学院 测绘与国土信息系二、用改正数计算中误差：lv1=L-l1lv2=L-l2l.lvn=L-ln 则：1=-v1+2=-v2+.n=-vn+令 L-x=v1+1=L-x v2+2=L-x.vn+n=L-x1=l1-x2=l2-x.n=ln-x+重庆交通学院 测绘与国土信息系l =vv-2v +n 2=vv+n 2 vv 1 m2=m2 n n vv =+n n n2 2=n20（当 n 时）2 =+（12+2+1 3+.）n2 n2 1 2=(12+22+.+n2+2 12+2+
21、1 3+.)n2 l l-nx l-x =L-x=-x=n n n n vv =+2 n n重庆交通学院 测绘与国土信息系 vv lm2=n-1 1 1 1 n M2=m12+m22+.+mn2=m2 n2 n2 n2 n2白塞尔公式 算术平均值的中误差：l1+l2+.+ln L=n重庆交通学院 测绘与国土信息系 1l设 m=1,则 M=nn 1 2 5 10 15 20M 1 0.71 0.45 0.32 0.26 0.23重庆交通学院 测绘与国土信息系55 权l表示各观测值方差之间比例关系的数字特征l一、权及其与中误差的关系：l1、权的定义：l设有观测值li(i=1,2.,n),它们的中误
22、差分别为 mi(i=1,2,.,n)，如选定任一常数，则定义：并称pi为观测值li的权。pi=mi2重庆交通学院 测绘与国土信息系l由权的定义可写出各观测值的权之间的比例关系为：权与中误差的平方成反比，即中误差愈小，权愈大，精度愈高。1 1 1 p1:p2:.:pn=:.:=:.:m12 m22 mn2 m12 m22 mn2重庆交通学院 测绘与国土信息系 m0 m2=4 m0 m1=3 l例：设甲、乙两人用同样的方法，同样的仪器，观测某一角度，甲测三测回，观测值为l1 l2 l3，中误差为m0，平均值为x1，其中误差为m1；乙测四测回，观测值为l4 l5 l6 l7，中误差为m0，平均值为x
23、2，其中误差为m2。1 1 3 4 p1:p2=:=:=3：4 m12 m22 m02 m02 1 x1=(l1+l2+l3)3 1x2=(l4+l5+l6+l7)4 根据误差传播定律：可看出，权与观测次数成正比。重庆交通学院 测绘与国土信息系 m0m1=p1 m0m2=p2l写成 p1=3 此时，=m02，p1=3 ，p2=4 如 =m12，则 p1=1 ，p2=4/3 如 =m22，则 p1=3/4 ，p2=1 根据定义 pi=mi2 m02p1=m12p2=4 m02p2=m22重庆交通学院 测绘与国土信息系讨论：l(1)选定一个值，即有一组对应的权。或者说，有一组权，必有一个对应的值。
24、l(2)一组观测值的权，其大小随值的不同而异，但不论选用何值，权之间的比例关系始终不变。l(3)为了使权能起到比较精度高低的作用，在同一问题中只能选定一个值，不能同时选用几个不同的值，否则就破坏了权之间的比例关系。l(4)只要事先给定了一定的条件，就可以确定出权的数值。l权的意义，不在于它们本身数值的大小，而重要的是它们之间的比例关系。重庆交通学院 测绘与国土信息系 因此，通常称 为单位权中误差，而 为单位权方差或方差因子。把权等于1的观测值，称为单位权观测值。2、单位权中误差l凡是中误差等于 的观测值，其权必等于1，或者说，其权等于1的观测值，其中误差必等于。在确定一组同类元素观测值的权时，
25、p 为无量纲的数值，如果需要确定权的观测值（或其函数），包含两种以上不同类型元素时，p 即有单位，如角度为秒，长度为mm。因为可以是任意选定的某一常数，故所选定的也可能不等于某一个具体观测值的方差。重庆交通学院 测绘与国土信息系二、加权算术平均值及其中误差l1、加权算术平均值：l如上例：甲观测三测回 l1 l2 l3，平均值为x1l 乙测四测回l4 l5 l6 l7，平均值为x2l实际上甲乙两人是以等精度观测了7测回，其算术平均值为：3 x1+4 x2 p1 x1+p2 x2 L0=3+4 p1+p2 代入得：而 l1+l2+l3=3 x1l4+l5+l6+l7=4 x2 l1+l2+l3+l
26、4+l5+l6+l7 L0=7重庆交通学院 测绘与国土信息系l一般：设对某量进行了n次非等精度观测，观测值为l1 l2.ln，其相应的权为p1 p2.pn，则其加权算术平均值为非等精度观测值的最可靠值，其计算公式：p1 p2 pn =l1+l2+.+ln p p p p1 l1+p2 l2+.+pn ln pl L0=p1+p2+.+pn p重庆交通学院 测绘与国土信息系2、中误差l根据误差传播定律，可得L0的中误差M0 nm0=p m2=p 1 m02 =p m02 =p2 p 1 M02=（p1 m02+p2 m02+.+pn m02）p2所以 因为：p1 m12=p2 m22=.=pn mn2=m02 1 M02=（p12 m12+p22 m22+.+pn2 mn2）p2重庆交通学院 测绘与国土信息系l可得单位权中误差m0为 vi=L0 li所以重庆交通学院 测绘与国土信息系lZ=F(x1,x2,.,xn)