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1、上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示第一节第一节 等精度观测下的随机误差等精度观测下的随机误差第二节第二节 不等精度观测误差的处理不等精度观测误差的处理 第三节第三节 间接测量中的误差传递间接测量中的误差传递第四节第四节 系统误差系统误差第五节第五节 误差的合成与分配误差的合成与分配2023/1/261上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示实验测量数据不可避免地存在一定的误差，数据使用价值取决于误实验测量数据不可避免地存在一定的误差，数据使用价值取决于误差且受其限制。因而必须对实验误差进行系统的分析（
2、差且受其限制。因而必须对实验误差进行系统的分析（必要性必要性）。）。误差：误差：测量值测量值 与待测量的真值与待测量的真值 之差，用之差，用 来表示，即来表示，即误差误差范围范围（不确定度）。（不确定度）。误差的误差的两类两类含义：含义：测量值与真实值的测量值与真实值的差异差异；注意：注意：由于真值未知，因而误差也未知。由于真值未知，因而误差也未知。误差误差分类分类（传统传统分类）：按其分类）：按其性质性质和和产生原因产生原因（明显的（明显的过失过失误差除误差除外）可分为：外）可分为：2023/1/262上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示随机误
3、差随机误差，由测量中一些不可避免的微小的，由测量中一些不可避免的微小的随机性随机性因素造成。因素造成。系统误差系统误差，由仪器设备、测量条件、技术方法或参考，由仪器设备、测量条件、技术方法或参考数据本身等方面存在某种数据本身等方面存在某种固有固有的的偏差偏差因素所造成。因素所造成。误误差差系统系统误差使测量结果与真值之间造成一个误差使测量结果与真值之间造成一个恒定恒定的或按某一的或按某一特定概率特定概率变化变化的误差。的误差。精密度和准确度概念精密度和准确度概念精密度：精密度：测量数据重复性的好坏，其测量数据重复性的好坏，其由随机误差决定由随机误差决定。2023/1/263上一内容上一内容回主
4、目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示 测量结果与真值的符合程度。其测量结果与真值的符合程度。其由随机误差和系统误差共由随机误差和系统误差共同决定同决定。准确度：准确度：若若随机随机误差误差大大，则数据间，则数据间离散大离散大，即，即重复重复性性不好不好，因而，因而精精确确度低度低。但但多多次测量的平均值可以相互次测量的平均值可以相互抵消抵消一一部分随机部分随机误差，因而平均值的误差，因而平均值的准确度并准确度并不不见得见得差差!若若系统系统误差误差大大，即使数据，即使数据重复重复性性好好，数据结果的，数据结果的准确度准确度仍然可能仍然可能不不高。高。传统传统误差误差
5、分类分类存在的存在的问题问题：例如，某物理量，在其测量中具有例如，某物理量，在其测量中具有随机误差随机误差，但其作为一个数据用，但其作为一个数据用在以后的实验和计算公式时，它的随机误差又要作为在以后的实验和计算公式时，它的随机误差又要作为系统误差系统误差来考来考虑。虑。2023/1/264上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示19801980年国际计量局的分类：年国际计量局的分类：B B类类（其它方法计算的那些分量）（其它方法计算的那些分量）A A类类（用（用统计统计方法计算的那些分量）方法计算的那些分量）2023/1/265上一内容上一内容回主目
6、录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示第一节第一节 等精度观测下的随机误差等精度观测下的随机误差一、分布和有关统计量一、分布和有关统计量二、误差的表示和求法二、误差的表示和求法三、随机误差的报道三、随机误差的报道四、可疑测量值的舍弃四、可疑测量值的舍弃2023/1/266上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示 用统计方法对重复多次的读数进行处理所得到的误差。总用统计方法对重复多次的读数进行处理所得到的误差。总随机误差还应包括某些随机误差还应包括某些修正因子修正因子和和物理常数的实验误差物理常数的实验误差。随机误差：随机误差：
7、为采用某种统计方法必须了解测量值所服从的统计分布，一般观测为采用某种统计方法必须了解测量值所服从的统计分布，一般观测值和误差可视为服从值和误差可视为服从正态正态分布的随机变量。分布的随机变量。一、分布和有关的统计量一、分布和有关的统计量设一组测量数据设一组测量数据 ，视为总体中采样的一个样本。概率密，视为总体中采样的一个样本。概率密度函数为：度函数为：其中其中 为分布的期望，认为是待测量的真值，为分布的期望，认为是待测量的真值，是方差（反映观测量是方差（反映观测量精度的一个指标）。精度的一个指标）。2023/1/267上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示
8、动画演示等精度等精度测量测量:每个测量值服从同一分布。每个测量值服从同一分布。误差误差 的概率密度函数为：的概率密度函数为：一般一般 和和 是未知，一般可用一组样本来近似求解，即是未知，一般可用一组样本来近似求解，即2xsa 也服从正态分布，且有也服从正态分布，且有且有且有2023/1/268上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示 是是 的一个无偏估计，的一个无偏估计，可表为：可表为：下面考察下面考察 与与其中其中 是服从自由度为是服从自由度为 的的 分布。分布。的方差为的方差为由此可见，由此可见，是是 的一个的一个无无偏估计。它的方差比偏估计。它
9、的方差比观测值观测值的方差的方差小小，并随并随 的的增加增加不断不断减小减小。因而。因而增加增加测量测量次数次数，可以，可以提高提高结果的结果的精度精度。由于其是由于其是 ，因而提高精度不能单靠增加测量次数，应从改进测，因而提高精度不能单靠增加测量次数，应从改进测量仪器和方法方面，以从根本上减小观测值的方差。量仪器和方法方面，以从根本上减小观测值的方差。n2023/1/269上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示样本标准偏差（标准差）为样本标准偏差（标准差）为一般将其作为均方根差一般将其作为均方根差 的一个估计值，其期望和方差为：的一个估计值，其期
10、望和方差为：由此可见，由此可见，并不是并不是 的无偏估计，其偏离量为的无偏估计，其偏离量为 。但在极限。但在极限条件下满足：条件下满足：，即它为一致估计。即它为一致估计。2023/1/2610上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示 置信概率为置信概率为99.7%99.7%时所对应的时所对应的置信区间置信区间的的半半宽度。在宽度。在正态正态分布分布下下，半宽度为半宽度为 。置信概率为置信概率为50%50%时所对应的置信区间的半宽度。在时所对应的置信区间的半宽度。在正态分正态分布布下，半宽度为下，半宽度为 。二、误差的表示和求法二、误差的表示和求法（一
11、）误差的表示（一）误差的表示测量的真值仅给出它的点估计还不够，还要给出它的误差说明，即测量的真值仅给出它的点估计还不够，还要给出它的误差说明，即是给出置信区间。是给出置信区间。置信概率为置信概率为68.3%68.3%时所对应的时所对应的置信区间置信区间的的半半宽度。在宽度。在正态正态分布分布下下，标准误差，标准误差就是一个就是一个均方根差均方根差。标准标准误差：误差：或然或然误差误差:极限极限误差：误差：2023/1/2611上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示注意：注意：各种名称各种名称误差误差与一定的与一定的置信概率置信概率对应，对应，误差表
12、示误差表示的的数值改变数值改变，但，但精精度没有改变度没有改变。一般情况下，未注明置信概率，均按标准误差处理。一般情况下，未注明置信概率，均按标准误差处理。（二）误差的求法（置信区间的求法）（二）误差的求法（置信区间的求法）1.1.已知已知在测量次数较大时，方差在测量次数较大时，方差 可用样本方差可用样本方差 代替，因而置信区间为：代替，因而置信区间为：为正态分布下的置信系数，为对应不同置信概率的系数，一般可为正态分布下的置信系数，为对应不同置信概率的系数，一般可查表见下表。查表见下表。2023/1/2612上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示2
13、.2.未知未知测量次数较少特别在置信概率取得较大时，测量次数较少特别在置信概率取得较大时，与与 相差较大，此时相差较大，此时要用要用t t变量变量 来求置信区间。得到置信区间为来求置信区间。得到置信区间为其中其中 ，是，是t t分布下的置信系数，可查表见下表。分布下的置信系数，可查表见下表。2023/1/2613上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示例：测量某钢样品中的铬含量例：测量某钢样品中的铬含量4 4次，测得结果分别为次，测得结果分别为试求出相应的置信区间。试求出相应的置信区间。解：解：由数据有由数据有由由n=4n=4，按式（，按式（3.1.
14、103.1.10）来求置信区间，取）来求置信区间，取 ，按，按 查查表得表得 ，故置信区间为，故置信区间为2023/1/2614上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示三、随机误差的报道三、随机误差的报道3.3.极差法（用于求标准误差）极差法（用于求标准误差）在求标准误差时，有一个经验公式在求标准误差时，有一个经验公式其中其中 是是极差极差，为一组测量值中的，为一组测量值中的最大最大与与最小最小之之差差，n n为测量值的个为测量值的个数，此方法简便，求解迅速，但不够准确，一般适合数，此方法简便，求解迅速，但不够准确，一般适合n10n10的情况。的情况
15、。报道中应包括如下三项：报道中应包括如下三项：1.1.给出相应于一定给出相应于一定置信概率置信概率 的的置信区间置信区间，即，即2023/1/2615上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示 为待测真值为待测真值 的估计值，一般用样品平均值的估计值，一般用样品平均值 替代。替代。为所求置为所求置信区间的半宽度。当用标准误差表示时，置信概率信区间的半宽度。当用标准误差表示时，置信概率0.6830.683可以省略。可以省略。2.2.自由度：残差平方和中独立项的数目。当自由度：残差平方和中独立项的数目。当n n次独立观测值直接平次独立观测值直接平均时，自由
16、度为均时，自由度为n-1n-1。3.3.误差的报道形式：误差可用误差的报道形式：误差可用绝度绝度误差和误差和相对相对误差表示，用误差表示，用绝对绝对误误差时差时，误差的误差的单位单位和和待测量待测量的单位的单位一致一致，相对相对误差对于表示测量误差对于表示测量精精度度更方便，比如更方便，比如2023/1/2616上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示对一组数据的舍弃标准有：肖文特标准、戈罗贝斯标准、狄克松标对一组数据的舍弃标准有：肖文特标准、戈罗贝斯标准、狄克松标准等。准等。四、可疑测量值的舍弃（自学）四、可疑测量值的舍弃（自学）2023/1/26
17、17上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示第二节第二节 不等精度观测误差的处理不等精度观测误差的处理一、权的概念和加权均值一、权的概念和加权均值二、单位权方差的估算二、单位权方差的估算三、数据协调性的检验三、数据协调性的检验2023/1/2618上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示在不同条件下或用不等精度的仪器观测的实验结果为不等精度，现在不同条件下或用不等精度的仪器观测的实验结果为不等精度，现实中怎样去估计待测值的真值及误差呢？实中怎样去估计待测值的真值及误差呢？一、权的概念和加权均值一、权的概念和
18、加权均值对于不等精度的数据处理时对精度对于不等精度的数据处理时对精度高高的给予较的给予较大大的信赖和重视，的信赖和重视，以使其在确定最后的结果时的贡献较大。这就要引入以使其在确定最后的结果时的贡献较大。这就要引入“权权”的概的概念，通常为我们所说的权重因子。念，通常为我们所说的权重因子。设有设有n n个不等精度的相互独立的观测值个不等精度的相互独立的观测值 。相应的方差。相应的方差为为 ，现在来估计待测值的真值，利用最大似然估计。，现在来估计待测值的真值，利用最大似然估计。似然函数似然函数2023/1/2619上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示
19、极值条件极值条件得得 的估计值为的估计值为式中式中 ，可作为该测量值，可作为该测量值 的权。的权。可令权可令权 为为因而权只有因而权只有相对相对意义。权意义。权 与方差与方差 成反比，即达到了观测成反比，即达到了观测精度精度越越高高，对结果的，对结果的贡献贡献越越大大。（。（3.2.13.2.1）即为加权平均。）即为加权平均。2023/1/2620上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示加权平均的方差与期望加权平均的方差与期望 的均方根差的均方根差 为为加权均值加权均值 的权为：的权为：2023/1/2621上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下
20、一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示由上面的讨论知：由上面的讨论知：若观测值相互独立且服从正态分布若观测值相互独立且服从正态分布 ，则加权均值，则加权均值 也是服从也是服从正态分布，为正态分布，为 （正态（正态分布合成分布合成定理）。定理）。结果表为：结果表为：例例1 1：计算：计算n n个等精度观测值的算术均值的权个等精度观测值的算术均值的权解：解：已知已知取取则则2023/1/2622上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示由此有，一个权为由此有，一个权为 的观测值，可看成事进行了的观测值，可看成事进行了 次等精度的测量。次等精度的测量。二
21、、单位权方差的估计（自学）二、单位权方差的估计（自学）三、数据协调性的检验三、数据协调性的检验不等精度的观测量可能来自不同方法、不同时间的不同作者。整合不等精度的观测量可能来自不同方法、不同时间的不同作者。整合在一起，就要进行数据协调性的检验。在一起，就要进行数据协调性的检验。协调性检验的两种方法协调性检验的两种方法检验数据的检验数据的 变量变量总在总在n-1n-1的附近摆动，因而可以通过数据计算的附近摆动，因而可以通过数据计算 ，与，与n-1n-1比较。比较。2023/1/2623上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示.比较均方差比较均方差 及其
22、估计值及其估计值 准则：准则：把把 写成写成 ，若，若则认为不存在系统误差；反之，则要怀疑。则认为不存在系统误差；反之，则要怀疑。2023/1/2624上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示第三节第三节 间接测量中的误差传递间接测量中的误差传递一、线性函数的误差传递公式一、线性函数的误差传递公式二、一般函数的误差传递公式二、一般函数的误差传递公式2023/1/2625上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示我们在测量一个物理量，并不总是直接测量，一般要通过几个直接我们在测量一个物理量，并不总是直接测量，一
23、般要通过几个直接测量的物理量按照一定的函数关系式计算得出。（测量的物理量按照一定的函数关系式计算得出。（间接测量间接测量）直接测量的误差必然会传递给间接测量量（直接测量的误差必然会传递给间接测量量（误差传递误差传递）一、线性函数的误差传递公式一、线性函数的误差传递公式二维情况：二维情况：设设 与与 满足如下关系满足如下关系为常数。则有为常数。则有2023/1/2626上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示若变量若变量 不相关或相互不相关或相互独立独立有有推广推广到到多多维情况有维情况有则则2023/1/2627上一内容上一内容回主目录回主目录返回返
24、回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示用向量和矩阵形式表示用向量和矩阵形式表示 是是 的协方差矩阵。的协方差矩阵。2023/1/2628上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示将将 简记为：简记为：则则考虑联合函数的情形考虑联合函数的情形设设 是是n n个直接观测量个直接观测量 的线性函数，共的线性函数，共m m个，即个，即2023/1/2629上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示用矩阵表示为：用矩阵表示为：其中其中则期望值表示为则期望值表示为2023/1/2630上一内容上一内容回主目录回主目
25、录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示Y Y的协方差矩阵的协方差矩阵 表示为表示为上式上式表明表明：在：在Y Y的协方差矩阵中，第的协方差矩阵中，第 个对角元素为函数个对角元素为函数 的方差，的方差，第第 行第行第 列的非对角元素为列的非对角元素为 间的协方差。间的协方差。2023/1/2631上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示二、一般函数的误差传递公式二、一般函数的误差传递公式考虑考虑 与与 个直接观测量个直接观测量 ，具有的函数关系为：，具有的函数关系为：的误差传递问题。的误差传递问题。一般一般 是非线性的，将其线性化。是非
26、线性的，将其线性化。将将 在在 的期望的期望 附近展开略去高于一阶的误差项有附近展开略去高于一阶的误差项有其中其中 为函数为函数 的偏导数在的偏导数在 处的值，为已知常数，即将其线性处的值，为已知常数，即将其线性化了。化了。2023/1/2632上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示因而按照因而按照线性线性函数函数误差传递误差传递的结论有：的结论有：若直接观测量之间相互独立或者不相关时，有若直接观测量之间相互独立或者不相关时，有若只有一个观测量，则有若只有一个观测量，则有2023/1/2633上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容
27、总目录总目录动画演示动画演示直接观测量的直接观测量的m m个函数的误差的处理个函数的误差的处理设关系式为设关系式为在在 的期望值的期望值 处展开，略去高于一阶项，可将其线性化，有处展开，略去高于一阶项，可将其线性化，有其中其中A A为：为：2023/1/2634上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示的协方差矩阵为的协方差矩阵为注意注意：误差传播公式对直接测量的：误差传播公式对直接测量的线性线性函数严格成立，对一般函函数严格成立，对一般函数只是利用了数只是利用了线性化线性化近似的条件才成立，线性化要求各直接观测近似的条件才成立，线性化要求各直接观测量
28、的误差量的误差很小很小，可以忽略线性近似的，可以忽略线性近似的高阶高阶无限小量；在使用函数无限小量；在使用函数误差传递公式时，要注意函数中诸变量是否误差传递公式时，要注意函数中诸变量是否相关相关或者或者独立独立！解：解：由题知由题知利用利用例例1 1：。已知。已知 ，求，求 。得得此结果是此结果是错误错误的，因为的，因为 是是相关相关的。的。2023/1/2635上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示解：解：由于由于 之间线性相关，且相关系数为之间线性相关，且相关系数为1 1，因而有，因而有所以有所以有2023/1/2636上一内容上一内容回主目录
29、回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示第四节第四节 系统误差系统误差一、系统误差的分类一、系统误差的分类二、系统误差的确定和表示二、系统误差的确定和表示三、系统误差的发现和检验三、系统误差的发现和检验2023/1/2637上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示测量中测量中系统误差系统误差的存在是影响测量的存在是影响测量结果准确度结果准确度的最终的最终重要重要因素。随因素。随机误差可以相互补偿抵消和随着测量次数增多逐渐趋于零。而且系机误差可以相互补偿抵消和随着测量次数增多逐渐趋于零。而且系统误差的发现、确定或定量估计比较难，因而
30、，要提高测量准确度，统误差的发现、确定或定量估计比较难，因而，要提高测量准确度，应该充分重视系统误差及其规律性质。应该充分重视系统误差及其规律性质。一、系统误差的分类和对测量结果的影响一、系统误差的分类和对测量结果的影响标准量具本身刻度不准，测量仪器的不稳定等；标准量具本身刻度不准，测量仪器的不稳定等；设备误差设备误差：操作误差操作误差：操作不规范或测量条件控制不严格；操作不规范或测量条件控制不严格；方法误差方法误差：测试或计算方法上的不完善所带来的误差；测试或计算方法上的不完善所带来的误差；观测仪表观测斜视引起的读数误差。观测仪表观测斜视引起的读数误差。人员误差人员误差：来来源源2023/1
31、/2638上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示系统恒差系统恒差：多次测量，误差大小和方向不变；多次测量，误差大小和方向不变；系统变差系统变差：影响误差条件变化，系统误差随之做相应变化；影响误差条件变化，系统误差随之做相应变化；系偶误差系偶误差：由计算中使用某测量误差的随机性引起的误差。由计算中使用某测量误差的随机性引起的误差。性性质质一般系统误差一般系统误差不容易发现不容易发现，在多次不独立的测量中，在多次不独立的测量中不能相消不能相消。一组观测量一组观测量 ，将观测值表示为：，将观测值表示为：2023/1/2639上一内容上一内容回主目录回主目
32、录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示系统恒差系统恒差系统恒差系统恒差扣除系统误差后等精度的只含随机误差的观测值扣除系统误差后等精度的只含随机误差的观测值平均值为平均值为其中其中2023/1/2640上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示的的期望期望为：为：观测值的观测值的真值真值系统变差的期望值系统变差的期望值由此可见，在有系统误差存在时，即使测量次数无限增多，平均值由此可见，在有系统误差存在时，即使测量次数无限增多，平均值也不再趋近于观测的真值，而是与真值有一个偏离量也不再趋近于观测的真值，而是与真值有一个偏离量 。因而。因而系
33、统误差将最终影响测量的系统误差将最终影响测量的准确度准确度。样本方差的讨论：样本方差的讨论：2023/1/2641上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示定义残差定义残差由前面的关系有由前面的关系有特殊情况：系统只有系统恒差而无系统变差特殊情况：系统只有系统恒差而无系统变差说明说明残差仍由随机误差造成，固定的系统误差不影响残差的计算，残差仍由随机误差造成，固定的系统误差不影响残差的计算，这就为人们通过残差的计算来发现系统误差造成了困难。这就为人们通过残差的计算来发现系统误差造成了困难。系统误差在处理上不象随机误差那样有一般的通用规律可循，应该系统误差
34、在处理上不象随机误差那样有一般的通用规律可循，应该具体问题具体分析。具体问题具体分析。2023/1/2642上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示处理的一般原则为处理的一般原则为：最后：最后：对可能存在的系统误差作出估计，给出结果的不确定度。对可能存在的系统误差作出估计，给出结果的不确定度。首先：首先：针对具体的实验测量，尽可能分析一切可能产生的系统误差针对具体的实验测量，尽可能分析一切可能产生的系统误差 的来源，设法清除或减弱他们；的来源，设法清除或减弱他们；其次：其次：在测量中采用一些有效的测量方法，对可能产生的系统误差、在测量中采用一些有效的
35、测量方法，对可能产生的系统误差、加以排除；加以排除；再次：再次：对测量数据加以检验或采用其它对立的测量方法发现系统误对测量数据加以检验或采用其它对立的测量方法发现系统误差的存在；差的存在；2023/1/2643上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示二、系统误差的确定和表示二、系统误差的确定和表示一种一种是对是对不服从正态分布不服从正态分布（或分布还未确切知道）的系统误差，按（或分布还未确切知道）的系统误差，按非统计的估算方法来处理（归于非统计的估算方法来处理（归于B B类不确定度）。类不确定度）。系统误差很难确定，应根据测量的具体对象和具体的条件而
36、定，应系统误差很难确定，应根据测量的具体对象和具体的条件而定，应充分考虑使测量结果发生偏离真值的所有因素。充分考虑使测量结果发生偏离真值的所有因素。处理系统误差按性质分处理系统误差按性质分两种两种情况：情况：一种一种是对可认为是对可认为服从正态分布服从正态分布的那类系统误差，完全按随机误差的的那类系统误差，完全按随机误差的方法处理（归于方法处理（归于A A类不确定度类不确定度););2023/1/2644上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示1.1.通过误差传播系数对误差来源估计不确定度通过误差传播系数对误差来源估计不确定度若误差来源的不确定度为若
37、误差来源的不确定度为 ，它对测量结果，它对测量结果 的误差传播系数为的误差传播系数为 ，则该误差来源对，则该误差来源对 的误差贡献为：的误差贡献为：处理非统计误差的处理非统计误差的两种两种方法：方法：按按国际计量局国际计量局的建议，可将其折合。例如，若误差估计值的建议，可将其折合。例如，若误差估计值 可使可使99.7%99.7%的误差都落入在该范围的误差都落入在该范围 内，则可内，则可折合折合的标准差为的标准差为 。2.2.直接估计某误差来源对测量结果造成的不确定度直接估计某误差来源对测量结果造成的不确定度2023/1/2645上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目
38、录动画演示动画演示系统误差合成的系统误差合成的两种两种方法方法1.1.按绝对相加法按绝对相加法 2.2.按平方相加法按平方相加法为第为第 种因素估计的系统误差。种因素估计的系统误差。其中其中前一种方法有可能过高地估计了总的系统误差，可认为是极限估计前一种方法有可能过高地估计了总的系统误差，可认为是极限估计值，在变量数目较少时用（值，在变量数目较少时用（3-5)3-5)；后一种方法又嫌估计偏低，特别；后一种方法又嫌估计偏低，特别当其中一个分量显著大于其他分量时候。当其中一个分量显著大于其他分量时候。2023/1/2646上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示
39、动画演示国际计量局建议国际计量局建议，B B类不确定度的合成也用对方差合成的通用方法类不确定度的合成也用对方差合成的通用方法进行，即进行，即B B类合成不确定度表示为类合成不确定度表示为其中其中 为第为第 个个B B类不确定度类不确定度三、系统误差的发现和检验三、系统误差的发现和检验系统恒差系统恒差：变更实验测量条件或实验方法，对相应的结果进行比较。：变更实验测量条件或实验方法，对相应的结果进行比较。系统变差系统变差：检查实验数据是否服从同一正态分布。：检查实验数据是否服从同一正态分布。1.1.判断在不同测量条件下的残差符号判断在不同测量条件下的残差符号2023/1/2647上一内容上一内容回
40、主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示准则准则：某一测量条件下，测量残差基本上保持为一种符号，改变测：某一测量条件下，测量残差基本上保持为一种符号，改变测量条件，残差量条件，残差改为改为另一符号，则可断定测量中含有随测量条件变化另一符号，则可断定测量中含有随测量条件变化而变化的系统误差。而变化的系统误差。2.2.比较不同的测量结果比较不同的测量结果两个结果之差两个结果之差 的均方根差为的均方根差为 ，而结果之差的数学期望为，而结果之差的数学期望为 。由正态分布相应于概率为。由正态分布相应于概率为0.9550.955的区间半径为均根方差的两倍。的区间半径为均根方差的两
41、倍。因而，认为测量数据中不存在系统误差的因而，认为测量数据中不存在系统误差的标准标准为：为：不同方法的测量结果为：不同方法的测量结果为：2023/1/2648上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示 对某电感进行对某电感进行1010次测量，前次测量，前4 4次和后次和后6 6次用不同的标准电感，测次用不同的标准电感，测量数据如下。判断测量中有无系统误差。量数据如下。判断测量中有无系统误差。例例1 1：解：解：由数据得由数据得计算残差计算残差 ，如表所示，前四次为，如表所示，前四次为+号，后号，后6 6次基本为次基本为-号，号，因而根据残差符号判定有无
42、固定系统误因而根据残差符号判定有无固定系统误差准差准则有，这一测量中存在则有，这一测量中存在固定固定的系统误差。的系统误差。2023/1/2649上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示例例2 2：曾有人用不同方法制氮，测得的氮气密度及其均方根差为：曾有人用不同方法制氮，测得的氮气密度及其均方根差为：由化学法制氮得由化学法制氮得 由大气中制氮得由大气中制氮得试问这两个数据是否协调。试问这两个数据是否协调。解：解：由数据可得由数据可得根据数据中有无存在系统误差根据数据中有无存在系统误差准则准则知道，测量中知道，测量中存在存在系统误差。系统误差。且且20
43、23/1/2650上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示四、系统误差的限制和消除四、系统误差的限制和消除通过理论分析或实验，充分了解和设法消除测量中可能引通过理论分析或实验，充分了解和设法消除测量中可能引起系统误差的各种因素（或根源）；起系统误差的各种因素（或根源）；对各种误差因素进行研究，相应地引入修正项；对各种误差因素进行研究，相应地引入修正项；采用能消除系统误差的方法进行测量。采用能消除系统误差的方法进行测量。常常用用方方法法2023/1/2651上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示第五节第五节
44、 误差的合成与分配误差的合成与分配一、随机误差的合成一、随机误差的合成二、总误差的合成二、总误差的合成三、误差分配和误差分析三、误差分配和误差分析2023/1/2652上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示实验误差来自测量过程中的许多方面，既有随机误差，又有系统误实验误差来自测量过程中的许多方面，既有随机误差，又有系统误差。它们积累起来对结果造成一总误差，那怎么差。它们积累起来对结果造成一总误差，那怎么合成合成总误差？总误差？一、随机误差的合成一、随机误差的合成当单项误差均为随机误差且知道他们的准确数值时，据（当单项误差均为随机误差且知道他们的准确
45、数值时，据（3.3.113.3.11）有：有：为结果的标准误差，为结果的标准误差，为第为第 个误差对总误差的贡献，个误差对总误差的贡献，为该因素的误差传递系数，为该因素的误差传递系数，为该因素的标准误差。（成立条件为为该因素的标准误差。（成立条件为各因素各因素相互相互独立独立!）2023/1/2653上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示实际测量的只是各变量的平均值实际测量的只是各变量的平均值 和标准偏差和标准偏差 ，而不是真值，按，而不是真值，按式（式（3.1.103.1.10）可以计算各因素在一定置信度下的置信区间宽度。）可以计算各因素在一定置
46、信度下的置信区间宽度。然后由下式近似求出结果的总误差然后由下式近似求出结果的总误差其中其中2023/1/2654上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示另一类方法：另一类方法：设设 是是 的线性组合的线性组合 的平均值和方差估计值为：的平均值和方差估计值为：设设 相互独立，对应的相互独立，对应的 有有 个测量数据个测量数据2023/1/2655上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示利用利用 作为作为 的估计量，其表示为的估计量，其表示为具有如下的统计性具有如下的统计性2023/1/2656上一内容上一内容
47、回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示其中其中利用（利用（3.5.73.5.7）对）对 作出上限估计。根据（作出上限估计。根据（3.5.53.5.5）计算）计算 并把并把 折折合称测量次数为合称测量次数为 次得到的样本方差，次得到的样本方差，由（由（3.5.93.5.9）给出。然后）给出。然后利用利用 分布对分布对 上限作出估计。还可利用（上限作出估计。还可利用（3.5.83.5.8）式对）式对 的置信的置信区间作出估计。由于（区间作出估计。由于（3.5.83.5.8）成立，可知随机变量）成立，可知随机变量 2023/1/2657上一内容上一内容回主目录回主目录返
48、回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示服从自由度为服从自由度为 的的 分布。当给定置信概率，查分布。当给定置信概率，查 分布表和相应的分布表和相应的自由度自由度 ，求出，求出 。从而得到置信区间为。从而得到置信区间为例：设某量例：设某量 与与 有以下关系有以下关系已知已知。对。对 测量的有关数据是测量的有关数据是2023/1/2658上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示求求 的平均值及置信区间（置信概率为的平均值及置信区间（置信概率为0.900.90），），的方差估计值的方差估计值的上限（置信概率为的上限（置信概率为0.900.90）
49、解：解：1.1.求求 的上限估计值的上限估计值由（由（3.5.53.5.5）、（）、（3.5.93.5.9）和已知数据有）和已知数据有 相应于测量次数相应于测量次数 的方差估计值。对于给定的置信概的方差估计值。对于给定的置信概率率 ，由（，由（3.5.73.5.7）式查）式查 表知表知2023/1/2659上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示因而有因而有 的上限为的上限为2.2.求求 的置信区间的置信区间2023/1/2660上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示的置信区间为的置信区间为 由由t t分
50、布表，查分布表，查 的的t t分布表得分布表得 ，因而，因而 的置信的置信区间为区间为二、总误差的合成二、总误差的合成当一个测量既有系统误差又有随机误差时，它们是否可以当一个测量既有系统误差又有随机误差时，它们是否可以合成合成？2023/1/2661上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示系统误差与随机误差合成的两种观点：系统误差与随机误差合成的两种观点：一种观点一种观点为系统误差和随机误差为系统误差和随机误差合成一个总误差合成一个总误差。合成的方法，统。合成的方法，统一用极限误差来表示为：一用极限误差来表示为：一种观点一种观点为为不需要给出不需要给