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1、第三章第三章 误差的合成与分配误差的合成与分配3-1 3-1 函数误差函数误差3-2 3-2 随机误差的合成随机误差的合成3-3 3-3 系统误差的合成系统误差的合成3-4 3-4 系统误差与随机误差的合成系统误差与随机误差的合成3-5 3-5 误差分配误差分配3-6 3-6 微小误差取舍准则微小误差取舍准则3-7 3-7 最佳测量方案的确定最佳测量方案的确定任何测量结果都包含有一定的测量误差，这是一系列误差因素共同作任何测量结果都包含有一定的测量误差，这是一系列误差因素共同作用的结果。用的结果。误差合成误差合成研究测量过程中各个环节的误差因素对最终测量研究测量过程中各个环节的误差因素对最终测
2、量结果的影响；结果的影响；误差分配误差分配是给定测量结果的允许误差，要求确定各个环是给定测量结果的允许误差，要求确定各个环节的误差。节的误差。13-1 3-1 函数误差函数误差间接测量是通过直接测量与被测的量之间有一定函数关系的其它量，间接测量是通过直接测量与被测的量之间有一定函数关系的其它量，按照已知的函数关系式计算出被测的量，因此间接测量的量是直接按照已知的函数关系式计算出被测的量，因此间接测量的量是直接测量所得到的各个测量值的函数，而间接测量误差则是各个直接测测量所得到的各个测量值的函数，而间接测量误差则是各个直接测量值的函数，即量值的函数，即函数误差函数误差。一、函数系统误差计算一、函
3、数系统误差计算23二、函数随机误差计算二、函数随机误差计算函数随机误差计算，就是研究函数y的标准差与各测量值 xi的标准差之间的关系。设对各个测量值皆进行了N次等精度测量，其相应的随机误差为：例例3.1 用弓高弦长法间接测量大直径。见书用弓高弦长法间接测量大直径。见书P56例例3.2 用双圆球法检定高精度内锥角。见书用双圆球法检定高精度内锥角。见书P5745此式即为函数随机误差公式。此式即为函数随机误差公式。为第为第i个测量值个测量值与第与第j个测量值个测量值之间的误差相关之间的误差相关系数系数6三角函数的随机误差计算和一般函数的随机误差计算基三角函数的随机误差计算和一般函数的随机误差计算基本
4、相同，其角度标准差为：本相同，其角度标准差为：7例例3.3 用弓高弦长法间接测量大直径。见书用弓高弦长法间接测量大直径。见书P61例例3.4 用双圆球法检定高精度内锥角。见书用双圆球法检定高精度内锥角。见书P618三、误差间的相关关系和相关系数三、误差间的相关关系和相关系数误差间的相关性与误差合成有密切关系。当各误差间相关或相关性误差间的相关性与误差合成有密切关系。当各误差间相关或相关性不能忽略时，必须先求出各个误差间的相关系数，然后才能进行误不能忽略时，必须先求出各个误差间的相关系数，然后才能进行误差合成计算。差合成计算。（一）误差间的线性相关关系（一）误差间的线性相关关系误差间的线性相关关
5、系是指它们具有线性依赖关系，当联系最强时，误差间的线性相关关系是指它们具有线性依赖关系，当联系最强时，其相关系数为其相关系数为1。9两误差两误差间的协间的协方差方差两误差两误差的标准的标准差差10确定两误差间的相关系数，可采用以下几种方法。确定两误差间的相关系数，可采用以下几种方法。1、直接判断法、直接判断法通过两误差之间关系的分析，直接确定相关系数。当一误差增大，通过两误差之间关系的分析，直接确定相关系数。当一误差增大，另一成比例地增加时，则认为另一成比例地增加时，则认为=1。2、试验观察和简略计算法、试验观察和简略计算法1)1)观察法：用多组测量的对应值（观察法：用多组测量的对应值（i i
6、，i i）作图，与标准图形相）作图，与标准图形相比。比。注：画图注：画图比较比较113、理论计算法、理论计算法可根据概率论和最小二乘法直接求出。可根据概率论和最小二乘法直接求出。如果两误差如果两误差与与间为线性关系，即间为线性关系，即=a+ba+b，则相关系数，则相关系数=1=1（a0);a0);=-1（a0);123-2 3-2 随机误差的合成随机误差的合成随机误差用测量的标准差或极限误差来表征其取值的分散程度。其随机误差用测量的标准差或极限误差来表征其取值的分散程度。其合成采用合成采用方和根方和根的方法，同时考虑各个误差传递系数和误差间的相的方法，同时考虑各个误差传递系数和误差间的相关性影
7、响。关性影响。一、标准差的合成一、标准差的合成用标准差合成，不管各单项随机误差的概率分布如何，只要给出各用标准差合成，不管各单项随机误差的概率分布如何，只要给出各个标准差，即可按上式计算总的标准差。个标准差，即可按上式计算总的标准差。13二、极限误差的合成二、极限误差的合成14153-3 3-3 系统误差的合成系统误差的合成系统误差又可分为已定系统误差和未定系统误差，由于这两种误差系统误差又可分为已定系统误差和未定系统误差，由于这两种误差的特点不同，所以合成方法也不同。的特点不同，所以合成方法也不同。一、已定系统误差的合成一、已定系统误差的合成已定系统误差是指误差大小和方向均已确切掌握了的系统
8、误差。已定系统误差是指误差大小和方向均已确切掌握了的系统误差。16二、未定系统误差的合成二、未定系统误差的合成（一）未定系统误差的特征及其评定（一）未定系统误差的特征及其评定未定系统误差是指误差大小和方向未能确切掌握，或不必花费过多未定系统误差是指误差大小和方向未能确切掌握，或不必花费过多精力去掌握，而只能或只需估计出其不致超过某一极限范围精力去掌握，而只能或只需估计出其不致超过某一极限范围e ei i的的系统误差。系统误差。未定系统误差在测量条件不变时有一恒定值，多次重复测量其值固未定系统误差在测量条件不变时有一恒定值，多次重复测量其值固定不变，不具有抵偿性；但当测量条件改变时，其取值在某一
9、范围定不变，不具有抵偿性；但当测量条件改变时，其取值在某一范围内具有随机性，且服从一定的概率分布。这与随机误差相似，因此内具有随机性，且服从一定的概率分布。这与随机误差相似，因此可以采用标准差或极限误差来表征未定系统误差取值的分散程度。可以采用标准差或极限误差来表征未定系统误差取值的分散程度。（二）未定系统误差的合成（二）未定系统误差的合成由于未定系统误差的取值具有随机性，因此若干项未定系统误差综由于未定系统误差的取值具有随机性，因此若干项未定系统误差综合作用时，它们之间具有一定的抵偿作用，这与随机误差相似。合作用时，它们之间具有一定的抵偿作用，这与随机误差相似。1）用标准差来合成）用标准差来
10、合成172）用极限误差来合成）用极限误差来合成183-4 3-4 系统误差与随机误差的合成系统误差与随机误差的合成当测量过程中存在各种不同性质的多项系统误差与随机误差，应将当测量过程中存在各种不同性质的多项系统误差与随机误差，应将其进行综合，用用极限误差或标准差来表示。其进行综合，用用极限误差或标准差来表示。一、按极限误差合成一、按极限误差合成19二、按标准差合成二、按标准差合成（只需考虑未定系统误差与随机误差的合成）（只需考虑未定系统误差与随机误差的合成）20例例2 对某一质量进行对某一质量进行4次重复测量，测得数据（单位为次重复测量，测得数据（单位为g）分别为：）分别为：428.6;429
11、.2;426.5;430.8。已知测。已知测量的已定系统误差量的已定系统误差=-2.6g，测量的各极限误差分量，测量的各极限误差分量及其相应的传递系数如下表所示。若各误差均服从正态及其相应的传递系数如下表所示。若各误差均服从正态分布，试求该质量的最可信赖值及其极限误差分布，试求该质量的最可信赖值及其极限误差。见笔记P37例例3、在万工显上用影象法测某一平面工件的长度共两、在万工显上用影象法测某一平面工件的长度共两次，测得结果分别为：次，测得结果分别为：50.026mm,50.025mm。已。已知工件的高度知工件的高度H=80mm，求测量结果及其极限误差。，求测量结果及其极限误差。见书P6921
12、3-5 3-5 误差分配误差分配当给定测量结果总误差的允差，来确定各个单项误差，即当给定测量结果总误差的允差，来确定各个单项误差，即误差分配误差分配。以间接测量的函数误差分配为例；其原理也适用于一般测量的误差以间接测量的函数误差分配为例；其原理也适用于一般测量的误差分配。由于已定系统误差可修正消除，所以只需分配。由于已定系统误差可修正消除，所以只需研究随机误差和未研究随机误差和未定系统误差的分配问题定系统误差的分配问题。对间接测量的函数误差分配：对间接测量的函数误差分配：22一、按等作用原则分配误差一、按等作用原则分配误差认为各个部分误差对函数误差的影响相等。认为各个部分误差对函数误差的影响相
13、等。即二、按可能性调整误差二、按可能性调整误差按等作用原则分配误差可能会出现不合理情况，需根据具体情况进行按等作用原则分配误差可能会出现不合理情况，需根据具体情况进行调整。对难以实现测量的误差项适当扩大，对容易实现测量的误差项调整。对难以实现测量的误差项适当扩大，对容易实现测量的误差项尽可能缩小，而对其余误差项不予调整尽可能缩小，而对其余误差项不予调整。三、验证调整后的总误差三、验证调整后的总误差误差调整后，再按误差合成公式计算实际总误差。反复调整使实际总误差调整后，再按误差合成公式计算实际总误差。反复调整使实际总误差不超过允差，但又接近允差。误差不超过允差，但又接近允差。23按等作用原则分配
14、误差时，若有的误差已经确定不能改变时，应先从按等作用原则分配误差时，若有的误差已经确定不能改变时，应先从总误差中除掉，然后再对其余误差进行分配。总误差中除掉，然后再对其余误差进行分配。三、验证调整后的总误差三、验证调整后的总误差误差调整后，再按误差合成公式计算实际总误差。反复调整使实际总误差调整后，再按误差合成公式计算实际总误差。反复调整使实际总误差不超过允差，但又接近允差。误差不超过允差，但又接近允差。例例4、测量一圆柱体的体积时，可间接测圆柱直径、测量一圆柱体的体积时，可间接测圆柱直径D及高及高度度h，根据函数求体积。若要求体积的相对误差为，根据函数求体积。若要求体积的相对误差为1%，试确
15、定直径，试确定直径D及高度及高度h的测量精度。已知直径和高度的的测量精度。已知直径和高度的公称值分别为公称值分别为20mm,50mm。见书P72243-6 3-6 微小误差取舍准则微小误差取舍准则微小误差微小误差：当误差数值小到一定程度后，计算测量结果总误差时可不当误差数值小到一定程度后，计算测量结果总误差时可不予考虑，这时误差为微小误差。予考虑，这时误差为微小误差。用式子表示为：用式子表示为：25所以对随机误差和未定系统误差，微小误差舍去准则是被舍去的误差必须小于或等于测量结果总标准差的1/3到1/10。这在总误差计算和选择高一级标准量等方面有实际意义。263-7 3-7 最佳测量方案的确定
16、最佳测量方案的确定即采用一定方法，使测量结果的误差为最小。即采用一定方法，使测量结果的误差为最小。用函数误差为最小的最佳测量方案为例，函数的标准差为：用函数误差为最小的最佳测量方案为例，函数的标准差为：一、选择最佳函数误差公式一、选择最佳函数误差公式一般，间接测量中的部分误差项愈少，则函数误差也愈小。即直接一般，间接测量中的部分误差项愈少，则函数误差也愈小。即直接测量的数目愈少，函数误差也会愈小。测量的数目愈少，函数误差也会愈小。当间接测量可用不同的函数公式来表示时，则应选择直接测量值当间接测量可用不同的函数公式来表示时，则应选择直接测量值少的函数。少的函数。当间接测量所含的直接测量数目相同时，应选误差较小的直接测当间接测量所含的直接测量数目相同时，应选误差较小的直接测量的函数。量的函数。相同条件下，应尽量选择含测量外尺寸的函数公式。相同条件下，应尽量选择含测量外尺寸的函数公式。27二、使误差传递系数等于二、使误差传递系数等于0或为最小或为最小举例见笔记举例见笔记P4128