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1、1第三章第三章 不等式不等式单元精选检测单元精选检测( (三三) )(时间 120 分钟，满分 150 分)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.对于任意实数a，b，c，d，下列四个命题中：若ab，c0，则acbc；若ab，则ac2bc2；若ac2bc2，则ab；若ab0，cd，则acbd.其中真命题的个数是( )A.1 B.2C.3D.4【解析】 若ab，cd0 时，acbd，错，故选 A.【答案】 A2.直线 3x2y50 把平面分成两个区域.下列各点与原点位于同一区域的是( )A.(3,4)B.(3，4)C
2、.(0，3)D.(3,2)【解析】 当xy0 时，3x2y550，则原点一侧对应的不等式是3x2y50，可以验证仅有点(3，4)满足 3x2y50.【答案】 A3.设A ，其中a，b是正实数，且ab，Bx24x2，则A与B的大小关系b aa b是( )A.ABB.ABC.A22，即A2，b aa bb aa bBx24x2(x24x4)2(x2)222，2即B2，AB.【答案】 B4.已知 0ab1，则下列不等式成立的是( )A.a3b3B. 1 a1 bC.ab1D.lg(ba)0【解析】 由 0ab1，可得a3b3，A 错误； ，B 错误；ab1，C 错误；1 a1 b0ba1，lg(ba
3、)0，D 正确.【答案】 D5.在 R R 上定义运算：abab2ab，则满足x(x2)0 时，要使zyax取得最大值的最优解不唯一，则a2；当a3 C.12【解析】 设g(a)(x2)a(x24x4)，g(a)0 恒成立且a1,1Error!Error!x3.【答案】 B12.设D是不等式组Error!表示的平面区域，则D中的点P(x，y)到直线xy10 的距离的最大值是( )A. B.2 C.3 D.42222【解析】 画出可行域，由图知最优解为A(1,1)，故A到xy10 的距离为d4.2【答案】 D二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将答案填在题中的横线上)1
4、3.已知 0x6，则y(6x)x的最大值是_.【解析】 法一：0x6，6x0，(6x)x29，当且仅当(6xx 2)6xx，即x3 时取等号.法二：y(6x)xx26x(x3)29.0x6，ymaxf(3)9.【答案】 914.规定记号“”表示一种运算，定义abab(a，b为正实数)，若ab1k0，因此k的取值范kkk5围是(0,1).【答案】 (0,1)15.已知实数x，y满足不等式组Error!目标函数zyax(aR R).若取最大值时的唯一最优解是(1,3)，则实数a的取值范围是_.【解析】 不等式组的可行域如图阴影部分所示.由zyax得yaxz，当直线yaxz的斜率大于 1 时，目标函
5、数在点(1,3)处取得最大值.【答案】 (1，)16.实数x，y满足不等式组Error!则z|x2y4|的最大值为_.【解析】 法一：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示.z|x2y4|，其几何含义为阴影区域内的点到直线x2y40 的距|x2y4|55离的倍.由Error!得点B的坐标为(7,9)，显然点B到直线x2y40 的距离最大，此5时zmax21.法二：由图可知，阴影区域内的点都在直线x2y40 的上方，显然此时有x2y40，于是目标函数等价于zx2y4，即转化为一般的线性规划问题.显然当直线经过点B时，目标函数取得最大值，zmax21.【答案】 21三、解答题(本大题共 6
6、 小题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.(本小题满分 10 分)已知函数f(x)x2 ，解不等式f(x)f(x1)2x1.2 x【解】 由题意可得x2 (x1)22x1，2 x2 x1化简得0 且x0，即10 时，0，1x.x2 1x1 1x19.(本小题满分 12 分)设x，y满足约束条件Error!若目标函数zaxby(a0，b0)的最大值为 12，求 的最小值.3 a2 b【解】 不等式组在直角坐标系中所表示的平面区域如图中的阴影部分所示.由zaxby得yx ，当z变化时，它表示经过可行域的一组平行直线，其斜a bz b率为 ，在y轴上的截距为 ，由图可知当直
7、线经过点A(4,6)时，在y轴上的截距最大，a bz b从而z也最大，所以 4a6b12，即 2a3b6，所以 3 a2 b2a3b 6(3 a2 b)1 64，当且仅当a ，b1 时等号成立，(664a b9ba)3 2所以 的最小值为 4.3 a2 b20.(本小题满分 12 分)一个农民有田 2 亩，根据他的经验，若种水稻，则每亩每期产量为 400 千克；若种花生，则每亩每期产量为 100 千克，但水稻成本较高，每亩每期需240 元，而花生只要 80 元，且花生每千克可卖 5 元，稻米每千克只卖 3 元，现在他只能凑足 400 元，问这位农民对两种作物各种多少亩，才能得到最大利润？7【解
8、】 设水稻种x亩，花生种y亩，则由题意得Error!即Error!画出可行域如图阴影部分所示而利润P(3400240)x(510080)y960x420y(目标函数)，可联立Error!得交点B(1.5,0.5).故当x1.5，y0.5 时，P最大值9601.54200.51 650，即水稻种 1.5 亩，花生种 0.5 亩时所得到的利润最大.21.(本小题满分 12 分)若不等式(1a)x24x60 的解集是x|3x1.(1)解不等式 2x2(2a)xa0；(2)b为何值时，ax2bx30 的解集为 R R.【解】 (1)由题意知，1a0，且3 和 1 是方程(1a)x24x60 的两根.E
9、rror!解得a3.不等式 2x2(2a)xa0 即为2x2x30，解得x1 或x ，3 2所求不等式的解集为Error!.(2)ax2bx30 即为 3x2bx30，若此不等式的解集为 R R，则b24330，6b6.22.(本小题满分 12 分)已知函数f(x)x22x8，g(x)2x24x16，(1)求不等式g(x)2，均有f(x)(m2)xm15 成立，求实数m的取值范围.【解】 (1)g(x)2x24x162 时，f(x)(m2)xm15 恒成立，8x22x8(m2)xm15，即x24x7m(x1).对一切x2，均有不等式m成立.x24x7 x1而(x1)2222(当且仅当x3 时等号x24x7 x14 x1x1 4 x1成立)，实数 m 的取值范围是(，2.