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1、量子力学第一章 周世勋本讲稿第一页，共四十八页学习目的：学习目的：认识物质世界本质，获得完整物质世界图像，认识物质世界本质，获得完整物质世界图像，树立科学世界观树立科学世界观掌握科学思想、科学方法、启发创新思维掌握科学思想、科学方法、启发创新思维学习内容：学习内容：量子力学的基本概念、原理和思想量子力学的基本概念、原理和思想 典型的量子力学问题、量子现象典型的量子力学问题、量子现象 本讲稿第二页，共四十八页必修的专业基础课、后续课程的基础科学技术发展的需要、信息科学前沿的发展需要知识准备：高等数学、线性代数大学物理本讲稿第三页，共四十八页本课程主要参考书:曾谨言量子力学导论孙婷雅编量子力学教程
2、习题剖析陆果 基础物理学教程本讲稿第四页，共四十八页目目 录录 (Content)(Content)目目 录录 (Content)(Content)p第一章第一章 绪论绪论(量子力学的诞生量子力学的诞生)Ch1.Introduction(TheThe birth of quantum mechanismbirth of quantum mechanism)p第二章第二章 波函数和薛定谔方程波函数和薛定谔方程Ch2.The wave function and Schrdingers equationp第三章 量子力学中的力学量量子力学中的力学量Ch3.The Dynamical variable
3、 in Quantum Mechanismp第四章第四章 态和力学量的表象态和力学量的表象Ch4.The representation of the states and operatorsp第五章第五章 微扰理论微扰理论Ch5.Perturbation theory p第六章第六章 散射散射Ch6.The general theory of scatteringp第七章第七章 自旋自旋与全同粒子与全同粒子Ch7.Spin and identity of particles本讲稿第五页，共四十八页第第 一一 章章 绪绪 论论The birth of quantum mechanism本讲稿第六
4、页，共四十八页n 1.1 1.1 经典物理学的困难经典物理学的困难 n 1.2 1.2 光的波粒二象性光的波粒二象性n 1.3 1.3 原子结构的玻尔理论原子结构的玻尔理论 n 1.4 1.4 微粒的波粒二象性微粒的波粒二象性 本讲稿第七页，共四十八页前言：前言：1.相对论和量子力学的提出是二十世纪物理学的两个划时代的里程碑。相对论：指出牛顿力学适用于速度远小于光速的物质的运动量子力学：指出经典物理学适用于描述一般宏观条件下物质的运动。本讲稿第八页，共四十八页经典物理学：经典物理学：量子物理：量子物理：反映微观粒子（分子，原子，原子核）反映微观粒子（分子，原子，原子核）的运动规律。的运动规律。
5、牛顿力学牛顿力学 牛顿运动定律牛顿运动定律热力学热力学 热现象热现象麦克思韦方程麦克思韦方程 电磁现象电磁现象光的波动理论光的波动理论所有涉及物质属性和微观结构的诸多近代科学，都以量子力学作为其理论基础。本讲稿第九页，共四十八页2，量子力学引发了极为广泛的新技术上的应用，正逐步渗透到信息论领域，生命科学等高科技领域。以量子力学为理论基础，发展的高科技产业，如：核能发电、电子显微镜、激光器、半导体芯片和计算机等等，其产值在发达国家已超过30。本讲稿第十页，共四十八页 下面介绍经典物理学遇到的困难，以及如何解下面介绍经典物理学遇到的困难，以及如何解决这些困难并导致量子力学的诞生。决这些困难并导致量
6、子力学的诞生。经典理论在解释一些新的试验结果上遇经典理论在解释一些新的试验结果上遇到了严重的困难。到了严重的困难。（1 1）黑体辐射问题）黑体辐射问题 （2 2）光电效应）光电效应 （3 3）原子光谱的线状结构）原子光谱的线状结构1.1 1.1 经典物理学的困难经典物理学的困难本讲稿第十一页，共四十八页1.2 1.2 光的波粒二象性光的波粒二象性光的波动性：光的干涉、衍射，光的电磁理论（经典）光的波动性：光的干涉、衍射，光的电磁理论（经典）光的粒子性：一个量子的概念光的粒子性：一个量子的概念本讲稿第十二页，共四十八页一、一、黑体辐射与黑体辐射与PlanckPlanck的量子论的量子论黑体：吸收
7、能量和辐射能量，不反射能量黑体：吸收能量和辐射能量，不反射能量黑体辐射实验：研究热平衡时，辐射能量与辐黑体辐射实验：研究热平衡时，辐射能量与辐 射电磁波频率的关系射电磁波频率的关系物体：吸收能量，反射能量物体：吸收能量，反射能量 辐射能量（以电磁波形式）辐射能量（以电磁波形式）一个开有小孔的封闭空腔可一个开有小孔的封闭空腔可看作是黑体。看作是黑体。本讲稿第十三页，共四十八页黑体辐射实验事实：黑体辐射实验事实：辐射热平衡状态辐射热平衡状态:处于某处于某一温度一温度 T T 下的腔壁，单位下的腔壁，单位面积所发射出的辐射能量和面积所发射出的辐射能量和它所吸收的辐射能量相等时，它所吸收的辐射能量相等
8、时，辐射达到辐射达到热平衡状态热平衡状态。实 验 曲 线 热平衡时，空腔辐射的能量密度，与辐射的波长热平衡时，空腔辐射的能量密度，与辐射的波长的分布曲线，其形状和位置只与黑体的绝对温度的分布曲线，其形状和位置只与黑体的绝对温度 T T 有关有关,而与黑体的而与黑体的形状形状和和材料材料无关无关。本讲稿第十四页，共四十八页 结论结论:在短波（高频）在短波（高频）部分与实验符合得很好，部分与实验符合得很好，但长波（低频）部分与实但长波（低频）部分与实验验则明显不一致则明显不一致。18961896年年,维恩根据经典热力学得出：维恩根据经典热力学得出：短波吻合好短波吻合好,长波段不一致长波段不一致实验
9、实验瑞利瑞利-琼斯琼斯维恩维恩T=1646kT=1646k（1 1）维恩（）维恩（WeinWein德国物理学家）的解释德国物理学家）的解释获得获得19111911年诺贝尔物理学奖年诺贝尔物理学奖本讲稿第十五页，共四十八页（2 2）瑞瑞 利利金金 斯斯（R R a ai il le ei ig gh h-J Je ea an ns s英英国国物物理理学学家家）的的解解释释 结论结论:在长波（低频）部在长波（低频）部分与实验符合，短波部分分与实验符合，短波部分不符合。不符合。1900 1900年年,瑞利和琼斯用能量均分定理和电磁理论瑞利和琼斯用能量均分定理和电磁理论(驻波法驻波法)得出：得出：T=
10、1646kT=1646k实验实验瑞利瑞利-琼斯琼斯维恩维恩此外存在此外存在“紫外光的灾难紫外光的灾难”本讲稿第十六页，共四十八页 黑黑体体可可看看作作一一组组连连续续振振动动的的带带电电谐谐振振子子，这这些些谐谐振振子子的的能能量量应应取取分分立立值值，这这些些分分立立值值都都是是最最小小能能量量 的的整整数数倍倍，这这些些分分立立的的能能量量称称为为谐谐振振子子的的能能级级。Planck-Planck-德国物理学家德国物理学家，（3 3）普朗克（）普朗克（19001900年）对黑体辐射的解释年）对黑体辐射的解释 可见：黑体与辐射场交换能量可见：黑体与辐射场交换能量只能以只能以 为单位进行，亦
11、即黑体为单位进行，亦即黑体吸收或发射电磁辐射能量的方式吸收或发射电磁辐射能量的方式是是不连续不连续的，只能的，只能量子量子地进行，地进行，每个每个“能量子能量子”的能量为的能量为本讲稿第十七页，共四十八页 基于能量子假设，基于能量子假设，PlanckPlanck利用统计物理推导出与实验利用统计物理推导出与实验符合得很好的符合得很好的黑体辐射公式黑体辐射公式PlanckPlanck公式：公式：其中其中 （称为（称为PlanckPlanck常数常数）本讲稿第十八页，共四十八页注注：PlanckPlanck的的“能量子能量子”突破了经典物理学在微观领突破了经典物理学在微观领域的束缚，打开了认识光的粒
12、子性的大门。域的束缚，打开了认识光的粒子性的大门。PlanckPlanck公式公式讨讨论论维恩维恩公式公式瑞利瑞利-琼斯琼斯公式公式1 19 91 18 8年年 P P l la an nc ck k由由 此此 获获 得得 诺诺 贝贝 尔尔 物物 理理 学学 奖奖本讲稿第十九页，共四十八页二、光电效应与Einstein的光量子 光电效应光电效应 光照射到金属上，有电子逸出光照射到金属上，有电子逸出UGA AK K实验装置实验装置本讲稿第二十页，共四十八页实验结果：实验结果：光频率光频率 ，才有电子逸出；，才有电子逸出；光电子能量决定于光频率；光电子能量决定于光频率；光电子数目决定于光强。光电子
13、数目决定于光强。光电效应的这些规律是经典理论无法解释的。光电效应的这些规律是经典理论无法解释的。按按照照光光的的电电磁磁理理论论，光光的的能能量量只只决决定定于于光光的的强强度度而与频率无关。而与频率无关。此外，光电效应具有瞬时性，其响应速度很快此外，光电效应具有瞬时性，其响应速度很快1010-9-9 秒。秒。经典认为光能量分布在波面上，吸收能量需要时间。经典认为光能量分布在波面上，吸收能量需要时间。本讲稿第二十一页，共四十八页光子的光子的能量能量 光子的光子的动量动量 在在PlanckPlanck能量子假设的启发下，爱因斯坦提出了能量子假设的启发下，爱因斯坦提出了“光光量子量子”的概念，他认
14、为，不仅黑体与辐射场的能量交换的概念，他认为，不仅黑体与辐射场的能量交换是量子化的，而且辐射（光）是由一颗颗具有一定能量是量子化的，而且辐射（光）是由一颗颗具有一定能量的粒子组成的粒子流，这些粒子称为的粒子组成的粒子流，这些粒子称为光子光子（光量子光量子）（波矢量）爱爱 因因 斯斯 坦坦（1 19 90 05 5年年）对对 光光 电电 效效 应应 的的 解解 释释本讲稿第二十二页，共四十八页光光 电电 效效 应应 的的 解解 释释（光电效应方程光电效应方程）当当 or or 无电子逸出无电子逸出当当 or or 有电子逸出有电子逸出电子的逸出功电子的逸出功（临界频率临界频率）在在 的条件下的条
15、件下,当当 越大，即光强越强，光子越大，即光强越强，光子密度大，产生电子数越多密度大，产生电子数越多 本讲稿第二十三页，共四十八页 光的波动性光的波动性 和粒子性和粒子性 是通过普朗克是通过普朗克常数联系在一起的。常数联系在一起的。Einstein Einstein因发现光电效应定律获得了因发现光电效应定律获得了19231923年的诺贝尔物理学奖。年的诺贝尔物理学奖。注：注：利用光子的概念可解释光电效应，可见光电效应利用光子的概念可解释光电效应，可见光电效应体现了光的粒子性。体现了光的粒子性。19161916年，密立根实验证实了光子论的正确性，并测得年，密立根实验证实了光子论的正确性，并测得本
16、讲稿第二十四页，共四十八页 19231923年，美国物理学家年，美国物理学家ComptenCompten用用X X射线入射到碳、石墨射线入射到碳、石墨等原子质量很轻的靶上，进行光散射实验。等原子质量很轻的靶上，进行光散射实验。准直系统准直系统入射光入射光 0 0 散射光散射光 探测器探测器石墨石墨散射体散射体 3 3 康康 普普 顿顿 散散 射射(1 19 92 22 21 19 92 23 3)Compton Compton 散射是对光的粒子性的进一步证实。散射是对光的粒子性的进一步证实。本讲稿第二十五页，共四十八页康普顿散射实验康普顿散射实验1.2 1.2 光的波粒二象性光的波粒二象性(续
17、续7 7)本讲稿第二十六页，共四十八页（2 2）康普顿的解释：）康普顿的解释：X X 射线光子与射线光子与“静止静止”的的“自由电子自由电子”弹性碰撞弹性碰撞:碰撞过程中能量与动量守恒碰撞过程中能量与动量守恒（1 1）经典电磁理论的困难：）经典电磁理论的困难：碰撞前碰撞前X X射线光子的能量射线光子的能量 （10104 410105 5 eVeV）电子的能量电子的能量反冲电子反冲电子本讲稿第二十七页，共四十八页能量守恒：能量守恒：动量守恒：动量守恒：消除消除 与与 散射波的波长随散射角散射波的波长随散射角 的增加而增大，与实验结果的增加而增大，与实验结果完全符合。完全符合。本讲稿第二十八页，共
18、四十八页 19231923年威尔逊云室实验观测到了反冲电子轨迹；验证了康普年威尔逊云室实验观测到了反冲电子轨迹；验证了康普顿解释顿解释康康 普普 顿顿 和和 威威 尔尔 逊逊 合合 得得 1 19 92 27 7年年 诺诺 贝贝 尔尔 物物 理理 学学 奖奖康普顿散射实验的意义康普顿散射实验的意义:康普顿散射进一步证实了光子论康普顿散射进一步证实了光子论(光的量子性），证光的量子性），证明了光子能量、动量表示式的正确性，光确实具有波粒明了光子能量、动量表示式的正确性，光确实具有波粒二象性。另外证明在光电相互作用的过程中严格遵守能二象性。另外证明在光电相互作用的过程中严格遵守能量、动量守恒定律。
19、量、动量守恒定律。本讲稿第二十九页，共四十八页普朗克和爱因斯坦的理论揭示了光的微粒性，然而抛弃光的波动理论也是不可取的。因为光的波动理论早已被干涉、衍射等现象所完全证实光以两种方式表现：波和微粒。光的波粒二象性本讲稿第三十页，共四十八页PlanckPlanck常数：常数：在新的理论中，在新的理论中，PlanckPlanck常数常数 起着关键作用，当起着关键作用，当 h h 的作用可以略去时，经典理论是适用的，当的作用可以略去时，经典理论是适用的，当 h h 的作用不可忽略时，经典理论不再适用。因此，凡的作用不可忽略时，经典理论不再适用。因此，凡是是 h h 起重要作用的现象都称为起重要作用的现
20、象都称为量子现象量子现象。本讲稿第三十一页，共四十八页1.3 1.3 原子结构的玻尔理论原子结构的玻尔理论 经典物理的另一类困难来自原子结构和原子谱线。经典物理的另一类困难来自原子结构和原子谱线。经典物理学不能建立一个稳定的原子模型。根据经典电经典物理学不能建立一个稳定的原子模型。根据经典电动力学，电子环绕原子核运动是加速运动，因而不断以辐射动力学，电子环绕原子核运动是加速运动，因而不断以辐射方式发射出能量，电子的能量变得越来越小，因此绕原子核方式发射出能量，电子的能量变得越来越小，因此绕原子核运动的电子，终究会因大量损失能量而运动的电子，终究会因大量损失能量而“掉到掉到”原子核中去，原子核中
21、去，原子就原子就“崩溃崩溃”了，但是，现实世界表明，原子稳定的存在了，但是，现实世界表明，原子稳定的存在着。着。本讲稿第三十二页，共四十八页 氢原子光谱有许多分立谱线组成。氢原子光谱有许多分立谱线组成。18851885年瑞士年瑞士巴尔末巴尔末(Balmer)(Balmer)发现紫外光附近的一个线系，并得出氢原子谱线的发现紫外光附近的一个线系，并得出氢原子谱线的经验公式经验公式,即著名的即著名的巴尔末公式巴尔末公式：后来又发现了一系列线系，它们可用下面公式表示：后来又发现了一系列线系，它们可用下面公式表示：由经典的力学和电磁理论得不到稳定结构的原子和由经典的力学和电磁理论得不到稳定结构的原子和离
22、散的原子谱线离散的原子谱线本讲稿第三十三页，共四十八页原子结构的玻尔理论原子结构的玻尔理论经典物理的另一类困难来自原子结构和原子谱线。经典物理的另一类困难来自原子结构和原子谱线。由经由经典的力学和电磁理论得不到稳定结构的原子和离散的原典的力学和电磁理论得不到稳定结构的原子和离散的原子谱线子谱线 19121912年，时年年，时年2727岁的丹麦物理学岁的丹麦物理学家玻尔（家玻尔（BohrBohr）来到卢瑟福）来到卢瑟福（RutherfordRutherford）实验室对原子结构）实验室对原子结构的谱线进行研究，为解释氢原子的的谱线进行研究，为解释氢原子的辐射光谱，辐射光谱，19131913年提出
23、原子结构的年提出原子结构的半经典理论，其假设有两点：半经典理论，其假设有两点：获得获得19221922年诺贝尔物理学奖年诺贝尔物理学奖本讲稿第三十四页，共四十八页（1 1）特定的定态轨道）特定的定态轨道 轨道量子化条件轨道量子化条件:（2 2）定态跃迁频率）定态跃迁频率 原子处于定态时不辐射，但是因某种原因，电子可以原子处于定态时不辐射，但是因某种原因，电子可以从一个能级从一个能级 E En n 跃迁到另一个较低（高）的能级跃迁到另一个较低（高）的能级 E Em m，同时将发射（吸收）一个光子。光子的频率为：，同时将发射（吸收）一个光子。光子的频率为：+vre1 1.玻玻 尔尔 假假 设设本讲
24、稿第三十五页，共四十八页2.2.量子化条件的推广量子化条件的推广 由理论力学知，若将角动量由理论力学知，若将角动量 L L 选为广义动量，则选为广义动量，则为广义坐标。考虑积分并利用为广义坐标。考虑积分并利用 Bohr Bohr 提出的量子化条提出的量子化条件，有件，有 索末菲索末菲将将 BohrBohr 量子化条件推广为推广后的量子化条量子化条件推广为推广后的量子化条件可用于多自由度情况，件可用于多自由度情况，本讲稿第三十六页，共四十八页 这样这样索末菲量子化条件索末菲量子化条件不仅能解释氢原子光谱，而且不仅能解释氢原子光谱，而且对于只有一个电子（对于只有一个电子（LiLi，NaNa，K K
25、 等）的一些原子光谱也等）的一些原子光谱也能很好的解释。能很好的解释。对对玻玻尔尔理理论论的的评评价价 成功地解释了原子的稳定性、大小及氢原子光谱的成功地解释了原子的稳定性、大小及氢原子光谱的规律性。规律性。定态假设定态假设（定态具有稳定性和确定的能量值）（定态具有稳定性和确定的能量值）依然保留在近代量子论中。依然保留在近代量子论中。为人们认识微观世界和建立为人们认识微观世界和建立为人们认识微观世界和建立为人们认识微观世界和建立量子理论打下了基础。量子理论打下了基础。量子理论打下了基础。量子理论打下了基础。本讲稿第三十七页，共四十八页玻玻 尔尔 理理 论论 无无 法法 克克 服服 的的 困困
26、难难(1)(1)只能解释氢原子及碱金属原子的光谱，而不能解释含只能解释氢原子及碱金属原子的光谱，而不能解释含有两个电子或两个电子以上价电子的原子的光谱。有两个电子或两个电子以上价电子的原子的光谱。(2)(2)只能给出氢原子光谱线的频率，而不能计算谱线的强度只能给出氢原子光谱线的频率，而不能计算谱线的强度及这种跃迁的几率，更不能指出哪些跃迁能观察到以及哪些及这种跃迁的几率，更不能指出哪些跃迁能观察到以及哪些跃迁观察不到。跃迁观察不到。玻尔理论是经典与量子的混合物，它保留了经典的确定玻尔理论是经典与量子的混合物，它保留了经典的确定性轨道，另一方面又假定量子化条件来限制电子的运动。它性轨道，另一方面
27、又假定量子化条件来限制电子的运动。它不能解释稍微复杂的原子问题，不能解释稍微复杂的原子问题，并没有成为一个完整的量并没有成为一个完整的量子理论体系子理论体系,是半经典量子理论是半经典量子理论。正是这些困难，迎来。正是这些困难，迎来了物理学的了物理学的大革命。大革命。本讲稿第三十八页，共四十八页 1924 1924年，时为研究生的青年，时为研究生的青年物理学家德布罗意在年物理学家德布罗意在EinsteinEinstein光量子理论的启发下，光量子理论的启发下，注意到经典理论在处理电子，注意到经典理论在处理电子，原子等实物粒子方面所遇到的原子等实物粒子方面所遇到的困难，是否会是经典理论走了困难，是
28、否会是经典理论走了另一个极端，即仅注意到粒子另一个极端，即仅注意到粒子性一方面，而忽视了其波动性性一方面，而忽视了其波动性一方面。一方面。1.4 1.4 微粒的波粒二象性微粒的波粒二象性一一.德德 布布 罗罗 意意 假假 设设 微微 粒粒 的的 波波 粒粒 二二 象象 性性本讲稿第三十九页，共四十八页于当年向巴黎大学理学院提交的博士论文中于当年向巴黎大学理学院提交的博士论文中提出：提出：在光学上，比起波动的研究来，过于在光学上，比起波动的研究来，过于忽略了粒子的一面；在物质理论上，是否发忽略了粒子的一面；在物质理论上，是否发生了相反的错误，是不是我们把粒子的图象生了相反的错误，是不是我们把粒子
29、的图象想得太多，而过于忽略了波的图象。想得太多，而过于忽略了波的图象。指出一切物质粒子（原子、电子、质子指出一切物质粒子（原子、电子、质子等）都具有粒子性和波动性，在一定条件下，等）都具有粒子性和波动性，在一定条件下，表现出粒子性，在另一些条件下体现出波动性。表现出粒子性，在另一些条件下体现出波动性。本讲稿第四十页，共四十八页德布罗意假设（德布罗意假设（de-Broglie assumptionde-Broglie assumption）自由粒子自由粒子具有具有 质量质量 m m 速度速度 V V能量能量 E E 动量动量波长波长 频率频率 德布罗意关系德布罗意关系本讲稿第四十一页，共四十八页
30、称称 为为德布罗意波德布罗意波讨论：讨论：能量为能量为E E 的自由粒子的德布罗意波的波长的自由粒子的德布罗意波的波长 例如例如:自由粒子的能量自由粒子的能量 和动量和动量 为常量，与它为常量，与它相联系的波是相联系的波是 和和 都不变的平面单色波：都不变的平面单色波：微微 观观 粒粒 子子 的的 状状 态态 用用 波波 函函 数数 描描 述述本讲稿第四十二页，共四十八页 Ex.1 求经电势差为求经电势差为V V伏特的电场加速后的电子的波长。伏特的电场加速后的电子的波长。库仑库仑 千克千克 若若V=150V=150伏，伏，纳米纳米 若若V=100000V=100000伏，伏，纳米纳米 （1 1
31、纳米纳米=10=10-9-9m m）能量能量 电子波长比可见光的波长（电子波长比可见光的波长（0 0-7-7m m）小）小5 5个数量级，个数量级，比原子的半径（比原子的半径（0.1-0.20.1-0.2纳米）还小得多。纳米）还小得多。本讲稿第四十三页，共四十八页波波 长长 太太 小小,在在 宏宏 观观 上上测测 不不 到到！Ex.2 求飞行的子弹求飞行的子弹 ，速度，速度V=5.0V=5.0 10102 2m/sm/s 对应的德布罗意波长对应的德布罗意波长本讲稿第四十四页，共四十八页二二.德德 布布 罗罗 意意 假假 设设 的的 实实 验验 验验 证证 de Broglie de Brogl
32、ie 波波19241924年提出后，年提出后，1927-19281927-1928年由年由戴维逊戴维逊(DavissonDavisson)和革末和革末(GermerGermer)的电子衍射实验所的电子衍射实验所证实。证实。法拉第园法拉第园 筒筒入射电子注入射电子注镍单晶镍单晶戴戴维维逊逊-革革末末实实验验 d本讲稿第四十五页，共四十八页 电子不仅在反射时有衍射现象，电子不仅在反射时有衍射现象，汤姆逊实验汤姆逊实验证明了证明了电子在穿过金属片后也象电子在穿过金属片后也象X X 射线一样产生衍射现象。射线一样产生衍射现象。戴维逊等因验证电子的波动性分享戴维逊等因验证电子的波动性分享19371937年的物年的物理学诺贝尔奖金理学诺贝尔奖金.本讲稿第四十六页，共四十八页电子狭缝衍射图电子狭缝衍射图不仅是电子，原子、质子、分子都具有波动性。实验结果表明：德布罗意假设的正确性。本讲稿第四十七页，共四十八页学学 习习 要要 求求 1.1.了解光的波粒二象性的主要实验事实；掌握德布罗意了解光的波粒二象性的主要实验事实；掌握德布罗意关于微观粒子的波粒二象性的假设。关于微观粒子的波粒二象性的假设。2.2.掌握德布罗意公式和德布罗意波掌握德布罗意公式和德布罗意波德布罗意关系：德布罗意关系：德布罗意波：德布罗意波：本讲稿第四十八页，共四十八页