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1、高中数学微积分基本定理本讲稿第一页，共三十五页【课标要求】1了解微积分基本定理的内容与含义2会利用微积分基本定理求函数的定积分【核心扫描】1用微积分基本定理求函数的定积分是本课的重点2对微积分基本定理的考查常以选择、填空题的形式出现本讲稿第二页，共三十五页自学导引1微积分基本定理连续 f(x)F(b)F(a)F(b)F(a)本讲稿第三页，共三十五页想一想：导数与定积分有怎样的联系？提示导数与定积分都是定积分学中两个最基本、最重要的概念，运用它们之间的联系，我们可以找出求定积分的方法，求导数与定积分是互为逆运算本讲稿第四页，共三十五页2定积分和曲边梯形面积的关系设曲边梯形在x轴上方的面积为S上，
2、x轴下方的面积为S下，则(1)当曲边梯形的面积在x轴上方时，如图(1)，则图(1)图(2)本讲稿第五页，共三十五页图(3)S下 S上S下 0 本讲稿第六页，共三十五页想一想：在上面图(1)、图(2)、图(3)中的三个图形阴影部分的面积分别怎样表示？提示根据定积分与曲边梯形的面积的关系知：本讲稿第七页，共三十五页名师点睛1微积分基本定理的理解(1)微积分基本定理揭示了导数与定积分之间的联系，同时它也提供了计算定积分的一种有效方法(2)根据定积分的定义求定积分往往比较困难，而利用微积分基本定理求定积分比较方便本讲稿第八页，共三十五页(3)设f(x)是定义在区间I上的一个函数，如果存在函数F(x)，
3、在区间I上的任意一点x处都有F(x)f(x)，那么F(x)叫做函数f(x)在区间I上的一个原函数根据定义，求函数f(x)的原函数，就是要求一个函数F(x)，使它的导数F(x)等于f(x)由于F(x)cF(x)f(x)，所以F(x)c也是f(x)的原函数，其中c为常数(4)利用微积分基本定理求定积分 的关键是找出满足F(x)f(x)的函数F(x)，通常，我们可以运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出F(x)本讲稿第九页，共三十五页2被积函数为分段函数或绝对值函数时的正确处理方式分段函数和绝对值函数积分时要分段去积和去掉绝对值符号去积处理这类积分一定要弄清分段临界点，同时对于
4、定积分的性质，必须熟记在心本讲稿第十页，共三十五页本讲稿第十一页，共三十五页题型一求简单函数的定积分【例1】计算下列定积分思路探索 解答本题可先求被积函数的原函数；然后利用微积分基本定理求解本讲稿第十二页，共三十五页本讲稿第十三页，共三十五页本讲稿第十四页，共三十五页 (1)用微积分基本定理求定积分的步骤：求f(x)的一个原函数F(x)；计算F(b)F(a)(2)注意事项：有时需先化简，再求积分；f(x)的原函数有无穷多个，如F(x)c，计算时，一般只写一个最简单的，不再加任意常数c.本讲稿第十五页，共三十五页【变式1】求下列定积分：本讲稿第十六页，共三十五页本讲稿第十七页，共三十五页本讲稿第
5、十八页，共三十五页本讲稿第十九页，共三十五页 求较复杂函数的定积分的方法：(1)掌握基本初等函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后求解，具体方法是能化简的化简，不能化简的变为幂函数、正、余函数、指数、对数函数与常数的和与差(2)精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限本讲稿第二十页，共三十五页本讲稿第二十一页，共三十五页本讲稿第二十二页，共三十五页本讲稿第二十三页，共三十五页本讲稿第二十四页，共三十五页 定积分的应用体现了积分与函数的内在联系，可以通过积分构造新的函数，进而对这一函数进行性质、最值等方面的考查，解题过程中注意体会转化思想
6、的应用本讲稿第二十五页，共三十五页本讲稿第二十六页，共三十五页本讲稿第二十七页，共三十五页本讲稿第二十八页，共三十五页本讲稿第二十九页，共三十五页【题后反思】(1)求分段函数的定积分时，可利用积分性质将其表示为几段积分和的形式；(2)带绝对值的解析式，先根据绝对值的意义找到分界点，去掉绝对值号，化为分段函数；(3)含有字母参数的绝对值问题要注意分类讨论本讲稿第三十页，共三十五页本讲稿第三十一页，共三十五页本讲稿第三十二页，共三十五页本讲稿第三十三页，共三十五页本讲稿第三十四页，共三十五页 求f(x)在某个区间上的定积分，关键是求出被积函数f(x)的一个原函数，即要正确运用求导运算与求定积分运算互为逆运算的关系本讲稿第三十五页，共三十五页