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1、1.61.61.61.6微积分基本定理微积分基本定理微积分基本定理微积分基本定理2021/8/9 星期一1微积分基本定理：微积分基本定理：设函数设函数f(x)在区间在区间a,b上连续，并且上连续，并且F(x)f（x)，则，则，这个结论叫这个结论叫微积分基本定理微积分基本定理（fundamental theorem of calculus)，又叫，又叫牛顿莱布尼茨公式牛顿莱布尼茨公式（Newton-Leibniz Formula).2021/8/9 星期一2说明：说明：牛顿莱布尼茨公式牛顿莱布尼茨公式提供了计算定积分的简便提供了计算定积分的简便的基本方法，即求定积分的值，的基本方法，即求定积分的
2、值，只要求出被积只要求出被积函数函数 f f(x x)的一个原函数的一个原函数F F(x x)，然后，然后计算原函数计算原函数在区间在区间 a,ba,b 上的增量上的增量F F(b b)F F(a a)即可即可.该公式该公式把计算定积分归结为求原函数的问题。把计算定积分归结为求原函数的问题。2021/8/9 星期一3定积分公式定积分公式2021/8/9 星期一4问题：问题：通过计算下列定积分，进一步说明其定通过计算下列定积分，进一步说明其定积分的几何意义。积分的几何意义。通过计算结果能发现什么结通过计算结果能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示发现的结论论？试利用曲边梯形的面积表示发现的结论
3、2021/8/9 星期一5我们发现：我们发现：（）定积分的值可取正值也可取负值，还可以是（）定积分的值可取正值也可取负值，还可以是0 0；（2 2）当曲边梯形位于）当曲边梯形位于x x轴上方时，定积分的值取正值；轴上方时，定积分的值取正值；（3 3）当曲边梯形位于）当曲边梯形位于x x轴下方时，定积分的值取负值；轴下方时，定积分的值取负值；（4 4）当曲边梯形位于）当曲边梯形位于x x轴上方的面积等于位于轴上方的面积等于位于x x轴下方轴下方的面积时，定积分的值为的面积时，定积分的值为0 0得到定积分的几何意义：得到定积分的几何意义：曲边梯形面积的曲边梯形面积的代数和代数和。2021/8/9
4、星期一6例例:计算计算其中其中解解12F(x)=2xY=52021/8/9 星期一7微积分与其他函数知识综合举例：微积分与其他函数知识综合举例：2021/8/9 星期一82021/8/9 星期一9练一练：练一练：已知已知f(x)=ax+bx+c,且且f(-1)=2,f(0)=0,2021/8/9 星期一10另一方面，这段位移还可以通过位移函数s=s(t)在a,b上的增量s(b)s(a)来表达，即则有则有：一汽车沿直线作变速运动的规律是s=s(t)在t时刻时物体的速度为v(t)v(t)0,则汽车在时间间隔a,b内经过的位移可用速度表示为【微积分基本定理微积分基本定理】2021/8/9 星期一11
5、一般地，如果函数f(x)在区间上连续，并且F(x)=f(x)，那么这个结论叫这个结论叫微积分基本定理微积分基本定理又叫做又叫做牛顿牛顿莱布尼兹公式莱布尼兹公式。为了方便起见，还常用 表示2021/8/9 星期一12例例1 1 计算下列定积分计算下列定积分 1、2、3、公式一：公式一：解：解：1、解：解：2、解：解：3、【例题讲解例题讲解】2021/8/9 星期一13例例2 2 计算下列定积分计算下列定积分 公式二：公式二：解解1、解解2、解解3、1、2、3、2021/8/9 星期一14例例3 3 计算下列定积分计算下列定积分 2、1、3、解解1、解解2、公式三：公式三：2021/8/9 星期一15解：解：3、2021/8/9 星期一16例例4 4 计算下列定积分计算下列定积分 2021/8/9 星期一17123/69e2-e+1【练习练习】2021/8/9 星期一18微积分基本定理微积分基本定理牛顿莱布尼茨公式沟通了导数与定积分之间的关系牛顿莱布尼茨公式沟通了导数与定积分之间的关系公式一：公式一：公式二：公式二：公式三：公式三：【小结小结】2021/8/9 星期一19