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1、 第二节第二节 Poisson Poisson分布及其应用分布及其应用一、一、Poisson分布及其特征分布及其特征Poisson分布分布(Poisson distribution)是一种离散分布。常用于研究单位是一种离散分布。常用于研究单位时间或单位空间内某罕见事件发生时间或单位空间内某罕见事件发生次数的分布。次数的分布。一、一、PoissonPoisson分布及其特征分布及其特征 Poisson分分布布(Poisson distribution)是是一一种种离离散散分分布布。常常用用于于研研究究单单位位时时间间或或单单位位空空间间内内某某罕罕见见事事件件发发生生次次数数的分布。的分布。常常
2、见见的的Poisson分分布布现现象象有有：每每滴滴海海水水中中浮浮游游生生物物数数量量的的分分布布；用用显显微微镜镜观观察察片片子子上上每每一一格格子子上上细细菌菌繁繁殖殖数数的的分分布布；某某些些野野生生生生物物或或昆昆虫虫数数在在单单位位空空间间中中的的分分布布；某某种种患患病病率率或或死死亡亡率率很很低低的的非非传传染染性性疾疾病病的的患患病病人人数数或死亡人数的分布等。或死亡人数的分布等。(一一)Poisson分布的定义分布的定义 如如果果在在足足够够多多的的n次次独独立立Bernouli试试验验中中，随随机机变变量量X所所有有可可能能的的取取值值为为0，l，2，取取 各各 个个 取
3、取 值值 的的 概概率为率为(5.14)则称则称X服从参数为服从参数为的的Poisson分布，分布，记为记为XP()。其中。其中X为单位时间为单位时间(或或面积、容积等面积、容积等)某稀有事件发生数，某稀有事件发生数，e=2.7183，是是Poisson分布的总分布的总体均数。体均数。例例5.11 若某非传染性疾病的患病率若某非传染性疾病的患病率为为18万，试根据万，试根据Poisson分布原分布原理求理求1 000人中发生人中发生 k=0，1，2阳性阳性数概率。数概率。=n=1000 0.0018=1.8(二二)Poisson分布的图形分布的图形 由图可见，由图可见，Poisson分布图形形
4、分布图形形状完全取决于状完全取决于的大小。当的大小。当=10时，图形基本对称，随着时，图形基本对称，随着增大，增大，图形渐近于正态分布图形渐近于正态分布(三)Poisson分布的性质1.Poisson分布的方差等于均数，即 2=。2.Poisson分布的可加性。对于服从Poisson分布的 m个相互独立的随机变量Xl，X2，,Xm它们之和X1+X2+Xm也服从Poisson分布，且均数为m个随机变量的均数之和。例例5.12 某某放放射射性性物物质质每每0.1 s放放射射粒粒子子数数服服从从均均数数为为2.2的的Poisson分分布布，现现随随机机取取3次次观观测测结结果果为为2，3及及4个个粒
5、粒子子数数，请请问问每每0.3 s放射粒子数为多少放射粒子数为多少?利用利用Poisson分布的可加性原理得到，分布的可加性原理得到，Xl+X2+X3=2+3+4=9个个 均值为均值为2.2+2.2+2.2=6.6 每每0.3s放射粒子数为放射粒子数为9个。个。(四四)Poisson分分布布与与二二项项分分布布及及正正 态态分布的关系分布的关系1.Poisson分分布布可可视视为为二二项项分分布布的的特特例例 若若某某现现象象发发生生率率小小，而而样样本本例例数数多多时，则二项分布逼近时，则二项分布逼近Poisson分布。分布。2.Poisson分布的正态近似分布的正态近似 一一般在实际应用中
6、，当般在实际应用中，当20时，时，Poisson分布近似正态分布。分布近似正态分布。二、二、PoissonPoisson分布的应用分布的应用 (一一)总体均数的估计总体均数的估计 1.点点估计估计 直接用单位时间直接用单位时间(空间或人空间或人群群)内随机事件发生数内随机事件发生数X(即样本均数即样本均数)作为总体均数作为总体均数的估计值。的估计值。2.2.区间估计区间估计 （1）正态近似法（）正态近似法（X50）当当Poisson分布的观察单位为分布的观察单位为n=1时，时，当当Poisson分布的观察单位为分布的观察单位为nl时时 例例5.14 用计数器测得某放射物质用计数器测得某放射物质
7、半小时内发出的脉冲数为半小时内发出的脉冲数为360个，试个，试估计该放射物质每估计该放射物质每30min平均脉冲平均脉冲数的数的95可信区间。可信区间。即该放射物质每即该放射物质每30min平均脉冲数平均脉冲数(个个)的的95可信区间为可信区间为(322.8，397.2)。(2)查表法查表法 如果如果X50时，样本资料时，样本资料呈呈Poisson分布，可查阅附表分布，可查阅附表4。例例5.15 对某地区居民饮用水进行卫对某地区居民饮用水进行卫生学检测中，随机抽查生学检测中，随机抽查1 mL水样，水样，培养大肠杆菌培养大肠杆菌2个，试估计该地区水个，试估计该地区水中平均每毫升所含大肠杆菌的中平
8、均每毫升所含大肠杆菌的95和和99可信区间。可信区间。本例，本例，X=250，查附表，查附表4，95可信可信区间为区间为(0.2，7.2)；99可信区间为可信区间为(0.1，9.3)。(二二)单个总体均数的假设检验单个总体均数的假设检验1.直接计算概率法直接计算概率法 根据根据Poisson分布的概率分布列计分布的概率分布列计算概率或累积概率，并依据小概率算概率或累积概率，并依据小概率事件原理，作出统计推断。事件原理，作出统计推断。例例5.16 某某罕罕见见非非传传染染性性疾疾病病的的患患病病率率一一般般为为1510万万，现现在在某某地地区区调调查查1000人人，发发现现阳阳性性者者2人人，问
9、问此此地区患病率是否高于一般。地区患病率是否高于一般。H0：此此地地区区患患病病率率与与一一般般患患病病率率相相等等；H1：此此地地区区患患病病率率高高于于一一般般患患病率；病率；单侧单侧=0.05本本 例例，n=1000，0=15 10万万，0=n0=0.15，则则在在Ho成成立立前前提提下下，所所调调查查的的1000人人中中发发现现的的阳阳性性数数XP(0.15)，则有，则有 P(x2)=1-P(X=0)+P(X=1)=1-(0.860 7+0.129 1)=0.010 2故故：1000人人中中阳阳性性数数不不低低于于2人人属属于于小概率事件。小概率事件。2.正正态态近近似似法法 当当20
10、，Poisson分分布布近近似似正正态态分分布布，可可利利用用正正态态近近似似原原理分析资料。理分析资料。例例5.17 某种儿童化妆晶含细菌数不某种儿童化妆晶含细菌数不超过超过500个个ml为合格品，现检测此为合格品，现检测此种儿童化妆晶种儿童化妆晶1 ml菌数菌数450个，问此个，问此种化妆品是否合格。种化妆品是否合格。Ho：此种化妆品不合格，即：此种化妆品不合格，即=0 H1：此种化妆品合格，即：此种化妆品合格，即0 单侧单侧 =0.05本本 例例 以以 1 mL儿儿 童童 化化 妆妆 晶晶 为为 一一 个个Poisson分分 布布 观观 察察 单单 位位。按按 式式(5.21)得：得：按单侧按单侧=0.05水平拒绝水平拒绝Ho，接受，接受H1，认为此种化妆品合格。认为此种化妆品合格。