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1、1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率2了解几何概型的意义了解几何概型的意义1几何概型的定义几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的(或或)成比例，则称这样的概率模型为几何概率成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为模型，简称为长度长度面积面积体积体积几何概型几何概型2几何概型的概率公式几何概型的概率公式在几何概型中，事件在几何概型中，事件A的概率的计算公式如下：的概率的计算公式如下：P(A).思考探究思考探究古典概型与几何概型有什么区别？古典概型与几何概型有什么区别？提示：提示：古
2、典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要相等的，但古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限多个求基本事件有无限多个1在区间在区间1,3上任取一数，则这个数不大于上任取一数，则这个数不大于1.5的概率的概率为为()A0.25B0.5C0.6D0.75解析：解析：在在1,3内任取一数，这个数不大于内任取一数，这个数不大于1.5的概率的概率P0.25.答案：答案：A2如图，向圆内投镖，如果每如图，向圆内投镖，如果每次都投入圆内，那么投中正次都投入圆内，那么投中正方形区域的概率为方形区域的概
3、率为()A.B.C.D.解析：解析：投中正方形区域的概率为正方形的面积与圆的面积投中正方形区域的概率为正方形的面积与圆的面积之比，设正方形的边长为之比，设正方形的边长为1，则其面积为，则其面积为1，圆的半径为，圆的半径为，面积为，面积为()2，故投中正方形区域的概率为，故投中正方形区域的概率为答案：答案：A3如图，如图，A是圆上一定点，在圆是圆上一定点，在圆上其他位置任取一点上其他位置任取一点A，连，连结结AA，得到一条弦，则此弦，得到一条弦，则此弦的长度小于或等于半径长度的的长度小于或等于半径长度的概率为概率为()A.B.C.D.解析：解析：当当AA的长度等于半径长度时，的长度等于半径长度时
4、，AOA，A点点左右各一，构造出与角度有关的几何概型，故由几何概型左右各一，构造出与角度有关的几何概型，故由几何概型的概率公式得的概率公式得P.答案：答案：C4一个路口的红绿灯，红灯亮的时间为一个路口的红绿灯，红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的秒，黄灯亮的时间为时间为5秒，绿灯亮的时间为秒，绿灯亮的时间为40秒，当你到达路口时，秒，当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是看见下列三种情况的概率各是(1)红灯红灯_；(2)黄灯黄灯_；(3)不是红灯不是红灯_解析：解析：在在75秒内，每一时刻到达路口的时候是等可能的，秒内，每一时刻到达路口的时候是等可能的，属于与长度有关的几何概型属于与长度有关的几
5、何概型(1)P(2)P(3)P答案：答案：5如图所示，在一个边长为如图所示，在一个边长为a、b(ab0)的矩形内画一个梯的矩形内画一个梯形，梯形上、下底分别为形，梯形上、下底分别为a 与与a，高为，高为b.向该矩形内随向该矩形内随机投一点，则所投的点落机投一点，则所投的点落在梯形内部的概率是在梯形内部的概率是_解析：解析：.答案：答案：1.将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域事件的发
6、生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解2如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为则其概率的计算公式为 P(A).在集合在集合Am|关于关于x的方程的方程x2mxm10无实根无实根中随机的取一元素中随机的取一元素x，恰使式子，恰使式子lgx有意义的概率为有意义的概率为_思路点拨思路点拨课堂笔记课堂笔记由于由于m24(m1)0，得，得1m0.在数轴上表示为在数轴上表示为，故所求概率为，故所求概率为.【答案答案】1.如果试验的结果所构成的
7、区域的几何度量可用面积表示，如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用面积表示，则其概率的计算公式为则其概率的计算公式为 P(A).特别警示特别警示“面积比面积比”是求几何概率的一种重要类型，也是在是求几何概率的一种重要类型，也是在高考中常考的题型高考中常考的题型2如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用体积表示，如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用体积表示，则其概率的计算公式为则其概率的计算公式为 P(A).已知已知|x|2，|y|2，点，点P的坐标为的坐标为(x，y)(1)求当求当x，y R时，时，P满足满足(x2)2(y2)24的概率；的概率；(2)求当求当x，y Z时，时，P满足满足
8、(x2)2(y2)24的概率的概率思路点拨思路点拨课堂笔记课堂笔记(1)如图，点如图，点P所在的区域为正方形所在的区域为正方形ABCD的内的内部部(含边界含边界)，满足，满足(x2)2(y2)24的点的区域为以的点的区域为以(2,2)为圆心，为圆心，2为半径的圆面为半径的圆面(含边界含边界)所求的概率所求的概率P1.(2)满足满足x，y Z，且，且|x|2，|y|2的点的点(x，y)有有25个，个，满足满足x，y Z，且，且(x2)2(y2)24的点的点(x，y)有有6个，个，所求的概率所求的概率P2.对于生活中的几何概型问题：对于生活中的几何概型问题：1要注意实际问题中的等可能性的判断；要注
9、意实际问题中的等可能性的判断；2将实际问题转化为几何概型中的长度、角度、面积、体将实际问题转化为几何概型中的长度、角度、面积、体积等常见几何概型的求解问题，构造出随机事件对应的积等常见几何概型的求解问题，构造出随机事件对应的几何图形，利用几何图形的度量来求随机事件的概率，几何图形，利用几何图形的度量来求随机事件的概率，根据实际问题的具体情况，合理设置参数，建立适当的根据实际问题的具体情况，合理设置参数，建立适当的坐标系，在此基础上将试验的每一个结果一一对应于该坐标系，在此基础上将试验的每一个结果一一对应于该标系的点，便可构造出度量区域标系的点，便可构造出度量区域两人约定在两人约定在20 00到
10、到21 00之间相见，并且先到者必之间相见，并且先到者必须等迟到者须等迟到者40分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，在在20 00至至21 00各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间内相见的概率定时间内相见的概率思路点拨思路点拨课堂笔记课堂笔记设两人分别于设两人分别于x时和时和y时到达约见地点，要使两时到达约见地点，要使两人能在约定的时间范围内相见，当且仅当人能在约定的时间范围内相见，当且仅当xy.两人到达约见地点所有时刻两人到达约见地点所有时刻(x，y)的各的各种可能结果可用右图中的单位正方形种可能结果可
11、用右图中的单位正方形内内(包括边界包括边界)来表示，两人能在约定的来表示，两人能在约定的时间范围内相见的所有时刻时间范围内相见的所有时刻(x，y)的各的各种可能结果可用图中的阴影部分种可能结果可用图中的阴影部分(包括包括边界边界)来表示来表示因此阴影部分与单位正方形的面积比就反映了两人在约定因此阴影部分与单位正方形的面积比就反映了两人在约定时间范围内相遇的可能性的大小，也就是所求的概率为时间范围内相遇的可能性的大小，也就是所求的概率为P.甲、乙两人约定上午甲、乙两人约定上午7 00至至8 00之间到某站乘之间到某站乘公共汽车，在这段时间内有公共汽车，在这段时间内有3班公共汽车，它们开车班公共汽
12、车，它们开车时刻分别为时刻分别为7 20,7 40,8 00，如果他们约定，见车就，如果他们约定，见车就乘，求甲、乙同乘一车的概率乘，求甲、乙同乘一车的概率.解：解：设甲到达汽车站的时刻为设甲到达汽车站的时刻为x，乙到达汽车站的时，乙到达汽车站的时刻为刻为y，则则7x8,7y8，即甲、乙两人，即甲、乙两人到达汽车站的时刻到达汽车站的时刻(x，y)所对应的区所对应的区域在平面直角坐标系中画出域在平面直角坐标系中画出(如图所如图所示示)是大是大(单位单位)正方形将三班车到正方形将三班车到站的时刻在图形中画出，则甲、乙两人要想乘同一班车，站的时刻在图形中画出，则甲、乙两人要想乘同一班车，必须满足必须
13、满足7x7，7y7；7x7，7y7；7x8,7y8.即即(x，y)必须落在图形中的三个带阴影的小正方形内，必须落在图形中的三个带阴影的小正方形内，所以由几何概型的计算公式得，所以由几何概型的计算公式得，P.即甲、乙同乘一车的概率为即甲、乙同乘一车的概率为.以选择题或填空题的形式考查与长度或面积以选择题或填空题的形式考查与长度或面积有关的几何概型的求法是高考对本讲内容的常规有关的几何概型的求法是高考对本讲内容的常规考法考法.09年山东高考将三角函数求值与几何概型相年山东高考将三角函数求值与几何概型相结合考查，是一个新的考查方向结合考查，是一个新的考查方向.考题印证考题印证(2009山东高考山东高
14、考)在区间在区间上随机取一个数上随机取一个数x，cosx的值介于的值介于0到到之间的概率为之间的概率为()A.B.C.D.【解析解析】当当x 时，时，cosx 0，P.【答案答案】A自主体验自主体验在区间在区间0,1上任意取两个实数上任意取两个实数a，b，则函数，则函数f(x)x3axb在区间在区间1,1上有且仅有一个零点的概率为上有且仅有一个零点的概率为()A.B.C.D.解析：解析：f(x)x2a0，故函数，故函数f(x)x3axb在区间在区间1,1上有且仅有一个零点等价于上有且仅有一个零点等价于f(1)f(1)0，即即(ab)(ab)0，得得(ab)(ab)0，又又0a1,0b1，所以得
15、，所以得画出不等式组表示的区域，如图阴影部分，画出不等式组表示的区域，如图阴影部分，由由得得令令a0，代入，代入ab0，得，得所以阴影部分的面积为所以阴影部分的面积为1.所以所以P答案：答案：D1在区间在区间(10,20内的所有实数中，随机取一个实数内的所有实数中，随机取一个实数a，则这，则这个实数个实数a13的概率是的概率是()A.B.C.D.解析：解析：a(10,13)，P(a13).答案：答案：C2如图所示，四边形如图所示，四边形ABCD是一是一个边长为个边长为1的正方形，的正方形，MPN 是正方形的一个内接正三角是正方形的一个内接正三角形，且形，且MN AB，若向正方形，若向正方形内部
16、随机投入一个质点，则质内部随机投入一个质点，则质点恰好落在点恰好落在 MPN的概率为的概率为()A.B.C.D.解析：解析：易知质点落在三角形易知质点落在三角形MNP内的概率内的概率P.答案：答案：D3已知正三棱锥已知正三棱锥SABC的底面边长为的底面边长为4，高为，高为3，在正，在正三棱锥内任取一点三棱锥内任取一点P，使得，使得VPABC0成立的概率是成立的概率是_解析：解析：f(1)1ab0，即即ab1，如图，如图，A(1,0)，B(4,0)，C(4,3)，S ABC，P答案：答案：6投掷一个质地均匀、每个面上标有一个数字的正方体投掷一个质地均匀、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个
17、面中，有两个面标的数字是玩具，它的六个面中，有两个面标的数字是0，两个，两个面标的数字是面标的数字是2，两个面标的数字是，两个面标的数字是4.将此玩具连续抛将此玩具连续抛掷两次，以两次朝上一面出现的数字分别作为点掷两次，以两次朝上一面出现的数字分别作为点P的的横坐标和纵坐标横坐标和纵坐标(1)求点求点P落在区域落在区域C：x2y210上的概率；上的概率；(2)若以落在区域若以落在区域C上的所有点为顶点作面积最大的多上的所有点为顶点作面积最大的多边形区域边形区域M.在区域在区域C上随机撒一粒豆子，求豆子落在上随机撒一粒豆子，求豆子落在区域区域M上的概率上的概率 解：解：(1)点点P的坐标有：的坐标有：(0,0)，(0,2)，(0,4)，(2,0)，(2,2)，(2,4)，(4,0)，(4,2)，(4,4)，共，共9种，其中落在区域种，其中落在区域C：x2y210上的点上的点P的坐标有：的坐标有：(0,0)，(0,2)，(2,0)，(2,2)，共，共4种种故点故点P落在区域落在区域C：x2y210上的概率为上的概率为.(2)区域区域M为一个边长为为一个边长为2的正方形，其面积为的正方形，其面积为4，区域，区域C的面积为的面积为10，则豆子落在区域，则豆子落在区域M上的概率为上的概率为.