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1、一、六个基本积分一、六个基本积分二、待定系数法举例二、待定系数法举例三、小结三、小结 第四节第四节 有理函数的积分有理函数的积分有理函数的定义：有理函数的定义：两个多项式的商表示的函数称之为两个多项式的商表示的函数称之为有理函数有理函数.一、六个基本积分一、六个基本积分假定分子与分母之间没有公因式假定分子与分母之间没有公因式这有理函数是这有理函数是真分式真分式；这有理函数是这有理函数是假分式假分式；利用多项式除法利用多项式除法,假分式可以化成一个假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和多项式和一个真分式之和.例例难点难点 将有理函数化为部分分式之和将有理函数化为部分分式之和.理论上，理论上，任
2、何一个有理函数任何一个有理函数(真分式真分式)都可分为都可分为以下六个类型的基本积分的代数和以下六个类型的基本积分的代数和:1.2.3.4.5.6.可用递推法求出可用递推法求出（1）分母中若有因式）分母中若有因式 ，则分解后为，则分解后为有理函数化为部分分式之和的一般规律：有理函数化为部分分式之和的一般规律：特殊地：特殊地：分解后为分解后为二、待定系数法举例（2）分母中若有因式）分母中若有因式 ，其中，其中则分解后为则分解后为特殊地：特殊地：分解后为分解后为真分式化为部分分式之和的真分式化为部分分式之和的待定系数法待定系数法例例1 1代入特殊值来确定系数代入特殊值来确定系数取取取取取取并将并将
3、 值代入值代入例例2 2例例3 3整理得整理得例例4 4 求积分求积分 解解例例5 5 求积分求积分 解解例例6 6 求积分求积分解解令令说明说明 将有理函数化为部分分式之和后，只出将有理函数化为部分分式之和后，只出现三类情况：现三类情况：多项式；多项式；讨论积分讨论积分令令则则记记这三类积分均可积出这三类积分均可积出,且原函数都是初等函数且原函数都是初等函数.结论：有理函数都可积，且积分结果可能的形式为有理函数、反正切函数、对数函数及它们之间的组合。有理式分解成部分分式之和的积分有理式分解成部分分式之和的积分.（注意：必须化成真分式）注意：必须化成真分式）三、小结思考题思考题任何有理函数都有原函数吗？任何有理函数都有原函数吗？任何初等函数都有原函数吗？任何初等函数都有原函数吗？都能求出其原函数吗？都能求出其原函数吗？思考题解答思考题解答任何有理函数都有初等原函数，任何初等函数任何有理函数都有初等原函数，任何初等函数在其连续区间内也有原函数，但并不是所有连在其连续区间内也有原函数，但并不是所有连续的初等函数都有初等原函数，如：续的初等函数都有初等原函数，如：即即有些初等函数是不可积的。有些初等函数是不可积的。练习题练习题4.4.有理函数的原函数都是有理函数的原函数都是_._.练习题答案练习题答案