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1、2.3.1 直线与平面垂直的判定定理直线与平面垂直的判定定理复习复习引入引入1.直线和平面的位置关系直线和平面的位置关系是什么是什么?（1）直线在平面内（无数个公共点）；）直线在平面内（无数个公共点）；（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；（3）直线和平面平行（没有公共）直线和平面平行（没有公共点）点）.2.在在直线和平面相交的位置关直线和平面相交的位置关系中，有系中，有一种相交是很特一种相交是很特殊的，我殊的，我们把它叫做垂直们把它叫做垂直相交相交.这这节课我们重点来探究这种形式节课我们重点来探究这种形式的线面相交的线面相交.旗杆与地面的关系，旗
2、杆与地面的关系，给人以直线与平面给人以直线与平面垂直的形象。垂直的形象。大桥的桥柱与水面垂直大桥的桥柱与水面垂直 如果直线如果直线 l 与平面与平面 内的任意一条直线都垂直，我内的任意一条直线都垂直，我们说们说直线直线 l 与平面与平面 互相垂直，互相垂直，记作记作 平面平面 的垂线的垂线直线直线 l 的垂面的垂面垂足垂足直线与平面垂直直线与平面垂直画法：画法：直线与平面的直线与平面的 一一条边垂直条边垂直ll 1.1.如果一条直线如果一条直线 l 和一个平面内的无数条直线都垂和一个平面内的无数条直线都垂直，则直线直，则直线 l 和平面和平面 互相垂直（互相垂直（）思考：BCl 直线直线 l
3、垂直于平面垂直于平面，则直线，则直线 l 垂直于平垂直于平面面中的任意一条直线中的任意一条直线 线线垂直线线垂直性质性质线面垂直线面垂直直线与平面垂直直线与平面垂直如图，准备一块三角形的纸片，做一个试验：如图，准备一块三角形的纸片，做一个试验：2.2.怎样折叠能使折痕怎样折叠能使折痕ADAD垂直于桌面垂直于桌面?1.1.如图折叠能使折痕如图折叠能使折痕ADAD垂直于桌面吗？垂直于桌面吗？直线与平面垂直直线与平面垂直 AD 是是 BC 边上的高时，边上的高时，AD与桌面垂直与桌面垂直(1)定理：如果一定理：如果一条直线和一个平面内的条直线和一个平面内的两条相交两条相交直线直线都都垂直垂直，则这条
4、直线垂直于这个平面，则这条直线垂直于这个平面.2.直线与平面垂直的判定定理直线与平面垂直的判定定理该定理作用：该定理作用：“线线垂直线线垂直线面垂直线面垂直”注：注：该定理的条件中，该定理的条件中，“平面内的两条相交直线平面内的两条相交直线”是关键性词是关键性词语语.不能用不能用“两条直线两条直线”，“无数条直线无数条直线”替换替换.即即应用该定理，关键是证明在平面应用该定理，关键是证明在平面内有两条相交直线与已知直线内有两条相交直线与已知直线垂直，至于这两条直线是否与已知直线有公共点则是无关紧要的垂直，至于这两条直线是否与已知直线有公共点则是无关紧要的.线线垂直的常用证明方法：线线垂直的常用
5、证明方法：平面内的两直线平面内的两直线ABCDA1B1C1D1 例题例题1 1，如图，在正方体，如图，在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,(1)(1)请列举与平面请列举与平面ABCDABCD垂直垂直的直线的直线；(2)(2)请列举与直线请列举与直线A A1 1A A垂直的平垂直的平面面；(3)(3)你能找出一条与平面你能找出一条与平面D D1 1DBBDBB1 1垂直的直线吗垂直的直线吗?巩固练习巩固练习练习练习1 1 如图，空间中直线如图，空间中直线b b和三角形的两边和三角形的两边AC,BCAC,BC同时同时垂直，则这条直线垂直，则这条直线b b
6、和三角形的第三边和三角形的第三边ABAB的位置关系是的位置关系是（）A A平行平行 B B垂直垂直 C C 相交相交 D D不确定不确定BAVBCK 如图如图,在三棱锥在三棱锥V-ABC中中,VAVC,ABBC,K是是AC的中的中点。求证：点。求证：AC平面平面VKB 例例1 如图，已知如图，已知 ，求证，求证根据直线与平面垂直的定义知根据直线与平面垂直的定义知又因为又因为所以所以又又是两条相交直线，是两条相交直线，所以所以证明：在平面证明：在平面 内作内作两条相交直线两条相交直线m，n因为直线因为直线 ，典型例题典型例题即：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一即：如果两条平行直线
7、中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面条也垂直于同一个平面A练练 如如图为图为直四棱柱直四棱柱 (侧侧棱与底面垂直棱与底面垂直的棱柱称的棱柱称为为直棱柱），其底面直棱柱），其底面ABCD是一个是一个菱形菱形.求求证证：P66 探究：直四棱柱探究：直四棱柱 中，底面四中，底面四边边形形满满足什么条件足什么条件时时，能使得，能使得 .ADBBCCDA探究探究(课本课本P66P66）底面四边形的对角线互相垂直！底面四边形的对角线互相垂直！一、直线与平面垂直一、直线与平面垂直(1)定义：定义：(2)判定定理：判定定理：(3)线线垂直的常用证明方法：线线垂直的常用证明方法：a.平面内的两直
8、线平面内的两直线b.空间内的两直线空间内的两直线PAO直线和平面所成的角：直线和平面所成的角：如图所示，一条直线如图所示，一条直线PAPA和平面和平面 相交，但不垂直，相交，但不垂直，这这条直线叫这个平面的条直线叫这个平面的斜线斜线，斜线和平面的交点，斜线和平面的交点 A A叫做叫做斜足斜足。过斜线上斜足以外的一点过斜线上斜足以外的一点P P向平面引垂线向平面引垂线PO PO，过过垂垂足足O O和斜足和斜足A A的直线的直线AOAO叫做斜线在这个平面上的叫做斜线在这个平面上的射影射影。斜线斜线斜足斜足射影射影分别指出对角线分别指出对角线A1C与下面三个面的射影与下面三个面的射影.找垂线找垂线得
9、射影得射影A1C在平面在平面A1B1C1D1的射影：的射影：A1C在平面在平面BCC1B1的射影：的射影：A1C在平面在平面ABB1A1的射影：的射影：ACBADCBDA1C1B1CA1B斜线斜线垂线垂线一条直线垂直于平面，它们一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角所成的角是直角所成的角是直角所成的角是直角一条直线和平面平行，或在平面内，它们一条直线和平面平行，或在平面内，它们所所所所成的角是成的角是成的角是成的角是0 0 的角的角的角的角直线和平面所成角的范围是直线和平面所成角的范围是0，90 第个第个空间角空间角斜线在平面上的射影斜线在平面上的射影 平面的一条斜线和它在平平面的一条斜线和它
10、在平面内的射影所成的锐角，叫做面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角这条直线和这个平面所成的角这条直线和这个平面所成的角这条直线和这个平面所成的角ACBADCBD分别指出对角线分别指出对角线A1C与下面三个面所成的角与下面三个面所成的角.找垂线找垂线得射影得射影A1C与平面与平面A1B1C1D1所成的角：所成的角：A1C与平面与平面BCC1B1所成的角：所成的角：A1C与平面与平面ABB1A1所成的角：所成的角：CA1C1 B1CA1 BA1C例例2 2在正方体在正方体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1 中，中，求直线求直线A A1 1B B与平面与
11、平面A A1 1B B1 1CDCD所成的角所成的角AC1DCBO变式变式：（）：（）求直线求直线ACAC与平面与平面A A1 1B B1 1CDCD所成的角所成的角B1A1D11、直线和平面垂直的定义：如果直线和平面内的所有直线都垂、直线和平面垂直的定义：如果直线和平面内的所有直线都垂直，则就说这条直线和这个平面垂直直，则就说这条直线和这个平面垂直.2、直线和平面垂直的判定：如果直线和平面内的两条相交直线、直线和平面垂直的判定：如果直线和平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线和这个平面垂直都垂直，则这条直线和这个平面垂直.3、直线和平面垂直的性质：、直线和平面垂直的性质：（1）如果直线和平面
12、垂直，则这条直线和这个平面内的所有直）如果直线和平面垂直，则这条直线和这个平面内的所有直线都垂直线都垂直.（2）垂直于同一平面的两条直线互相平行）垂直于同一平面的两条直线互相平行.4、唯一性定理：、唯一性定理：（1）过一点有且只有一条直线与已知平面垂直。）过一点有且只有一条直线与已知平面垂直。（2）过一点有且只有一个平面与已知直线垂直。）过一点有且只有一个平面与已知直线垂直。小小结结5、线、线面角的概念及范围面角的概念及范围线线垂直线线垂直线面垂直线面垂直“平面化平面化”是解决立体几何问题的一般思路是解决立体几何问题的一般思路.直线与平面垂直的判定方法直线与平面垂直的判定方法3.3.如如果果两
13、两条条平平行行直直线线中中的的一一条条垂垂直直于于一一个个平平面面，那那么另一条也垂直于同一个平面。么另一条也垂直于同一个平面。1.1.定定义义：如如果果一一条条直直线线垂垂于于一一个个平平面面内内的的任任何何一一条条直线，则此直线垂直于这个平面直线，则此直线垂直于这个平面.2.2.判判定定定定理理:如如果果一一条条直直线线垂垂直直于于一一个个平平面面内内的的两两条条相交直线，那么此直线垂直于这个平面。相交直线，那么此直线垂直于这个平面。4.4.如果直线和平面所成的角等于如果直线和平面所成的角等于9090,则这条直线和则这条直线和平面垂直平面垂直一、直线与平面垂直一、直线与平面垂直(1)定义：
14、定义：(2)判定定理：判定定理：(3)线线垂直的常用证明方法：线线垂直的常用证明方法：a.平面内的两直线平面内的两直线b.空间内的两直线空间内的两直线(4)两条平行线垂直于同一个平面，垂直于同一一个面的两直线平行两条平行线垂直于同一个平面，垂直于同一一个面的两直线平行.ba判断正误：判断正误：如果一条直线垂直于一个平面内的如果一条直线垂直于一个平面内的无数无数条直线，那么条直线，那么,这条直线就与这个平面垂直这条直线就与这个平面垂直.若若a，b ，则，则ab.练习练习back和两个平面同时垂直的直线，叫做两个平面的公垂线，和两个平面同时垂直的直线，叫做两个平面的公垂线，夹在两个平行平面中间的部
15、分，叫做两个平行平面的公夹在两个平行平面中间的部分，叫做两个平行平面的公垂线段垂线段.这个公垂线段的长度叫做两个平行平面的距离这个公垂线段的长度叫做两个平行平面的距离.如图，正方体棱长为如图，正方体棱长为1，说明：，说明：(1)直线直线AC和和B1D1的距离；的距离；(2)直线直线B1D1和平面和平面AC的距离；的距离；(3)平面平面B1D1和平面和平面AC的距离的距离.ABCDA1D1B1C1back练习练习正方体正方体AC1的棱长为的棱长为a，(1)求证：求证：BD平面平面ACC1A1(2)设设P为为D1D中点，求中点，求P到平面到平面ACC1A1的距离的距离.ABCDC1B1A1D1P练
16、习练习证明证明：(1)AA1AB AA1AD ABAD=A AA1平面平面ABCD 又又BD平面平面ABCD AA1BD 又又ACBD，AA1AC=A BD平面平面ACC1A1(2)DD1AA1 DD1 平面平面AA1CC1，AA1 平面平面AA1CC1 DD1平面平面AA1CC1 P到平面到平面ACC1A1的距离即为直线的距离即为直线DD1到面到面ACC1A1的距离的距离,也就是也就是D到平面到平面ACC1A1的距离的距离.结合结合(1)，设，设ACBD=O，则，则即为即为DO的长度，的长度，P到平面到平面ACC1A1的距离为的距离为 back练练 如图：如图：ABCD是矩形，是矩形，AB=
17、a，BC=b（ab），沿对角线），沿对角线AC把把ADC折起，使折起，使ADBC（1）求证：）求证：BD是异面直线是异面直线AD与与BC的公垂线的公垂线（2）求）求BD的长的长ABCDABCD证明证明:(1)ADCD，ADBC CDBC=C，AD平面平面BCD ADBD 且且ADBD=D 同理可证：同理可证：BCBD 又又BCBD=B，BD是是AD与与BC的公垂线的公垂线.(2)AD=b,AB=a,在在 RtABD中，中，BD=back1.判断下列说法是否正确判断下列说法是否正确(1)两两条平行直线在同一平面内的射条平行直线在同一平面内的射影一影一定是平行直线定是平行直线 （）(2)两两条相交
18、直线在同一平面内的射条相交直线在同一平面内的射影一影一定是相交直线定是相交直线 （）(3)两两条异面直线在同一平面内的射条异面直线在同一平面内的射影要影要么是平行直线，么是平行直线，要么是相交直线要么是相交直线 （）(4)若若斜线段长相等，则它们在平面斜线段长相等，则它们在平面内的内的射影长也相等射影长也相等 （）例例 正方体正方体 中，求证：中，求证：小结论：小结论：正方体中，面的对角线垂直于过另一条面的对角线的对角面；正方体中，面的对角线垂直于过另一条面的对角线的对角面；正方体中，异面的体对角线和面对角线互相垂直正方体中，异面的体对角线和面对角线互相垂直.观察下面四个图，有什么结论？（1）
19、P（2）P（4）P（3）P（1）、（）、（2）：）：（3）、（）、（4）：）：过一点有且只有一条直线和一个平面垂直过一点有且只有一条直线和一个平面垂直过一点有且只有一个平面和一条直线垂直过一点有且只有一个平面和一条直线垂直过一点有且只有一个平面和一条直线垂直过一点有且只有一个平面和一条直线垂直ACBADCBD分别指出对角线分别指出对角线A1C与六个面的射影与六个面的射影.找垂线找垂线得射影得射影A1C在平面在平面A1B1C1D1的射影：的射影：A1C1.A1C在平面在平面ABCD的射影：的射影：AC.A1C在平面在平面ADA1D1的射影：的射影：A1D.A1C在平面在平面BCC1B1的射影：的射影：B1C.A1C在平面在平面ABB1A1的射影：的射影：A1B.A1C在平面在平面CDD1 C1的射影：的射影：CD1.