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1、专题9.4双曲线（A）一、单选题1. 已知双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则其顶点到渐近线的距离为.()A. B. C. D. 2. 已知，分别是双曲线C：的左、右焦点，动点P在双曲线C的右支上，则的最小值为()A. B. C. D. 3. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，A，B是圆与C位于x轴上方的两个交点，且，则双曲线C的离心率为.()A. B. C. D. 4. 如图，已知，分别为双曲线的左、右焦点，P为第一象限内一点，且满足，线段与双曲线C交于点Q，若，则双曲线C的离心率为()A. B. C. D. 5. 已知双曲线，分别为双曲线的左右焦点，为双曲线C上一点，且位于第一象限，若为锐角三
2、角形，则的取值范围为()A. B. C. D. 6. 已知双曲线与抛物线有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若，则双曲线的离心率为()A. 2B. C. D. 二、多选题7. 设，分别是双曲线的左、右焦点，且，则下列结论正确的是()A. B. t的取值范围是C. 到渐近线的距离随着t的增大而减小 D. 当时，C的实轴长是虚轴长的3倍8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，P为双曲线的左支上一点，且直线与的斜率之积等于3，则下列说法正确的是()A. 双曲线C的离心率为2B. 若，且，则C. 以线段，为直径的两个圆外切D. 若点P在第二象限，则9. 公元前6世纪，古希腊的毕达
3、哥拉斯学派把称为黄金数离心率等于黄金数的倒数的双曲线称为黄金双曲线若黄金双曲线的左、右顶点分别为，虚轴的上端点为B，左焦点为F，离心率为e，则( )A. B. C. 顶点到渐近线的距离为eD. 的外接圆的面积为10. 已知双曲线C：，其左、右焦点分别为，过点作一直线与双曲线C的右支交于点P，Q，且，则下列结论正确的是()A. 的周长为4B. 的面积为3C. D. 的内切圆半径为三、填空题11. 已知双曲线的一个焦点为，焦点F到渐近线的距离为d，O为坐标原点，若，则双曲线C的离心率为_.12. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，点A在双曲线的渐近线上，线段的中点M在y轴上，且为等边三角形，则双曲
4、线的离心率等于_.13. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，M为C左支上一点，N为线段上一点，且，P为线段的中点.若为坐标原点，则C的渐近线方程为_.四、解答题14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，渐近线方程是，点，且的面积为求双曲线C的标准方程;直线与双曲线C交于不同的两点P，Q，若，求实数m的取值范围.15. 已知双曲线的左右顶点分别为，两条准线之间的距离为求双曲线C的标准方程;若点P为右准线上一点，直线PA与C交于A，M，直线PB与C交于B，N，求点B到直线MN的距离的最大值.16. 已知点，点A满足，点A的轨迹为曲线求曲线C的方程；若直线l：与双曲线：交于M，N两点，且为坐标原点，求点
5、A到直线l距离的取值范围答案和解析1.【答案】B解：由双曲线，可得，双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，即，取双曲线的一个顶点为，双曲线的渐近线方程为，不妨取渐近线，即，则点到直线的距离经检验，对双曲线的另一个顶点为，渐近线，也满足，故双曲线顶点到渐近线的距离为故本题选2.【答案】B解：因为双曲线方程为，所以，所以，由双曲线定义可得：，其中，当且仅当P点位于双曲线右顶点时取等号，将代入得：，当时取等号，所以的最小值为故选3.【答案】C解：连接，由双曲线的定义，可得，由，可得，在中，可得，在中，可得，由，可得，即有，可得，化为，得，解得负的舍去，故选4.【答案】A解：由，得，且，即，在中，由余弦定理，
6、得，整理得，则故选：5.【答案】C解：由双曲线，得，位于第一象限，恒为锐角，又为锐角三角形，均为锐角由为锐角，得，由为锐角，得，即，又，即，又，综上所述，故选：6.【答案】A解：抛物线的焦点坐标，抛物线的焦点和双曲线的焦点相同，不妨取P在第一象限，设，由抛物线定义知：，点的坐标为，解得，则，所以双曲线的离心率为故选7.【答案】ABC解：因为双曲线的焦点在x轴上，所以，故，所以，故A正确；因为双曲线焦点在x轴上，由且，得t的取值范围是，故B正确；双曲线，所以，因为双曲线的渐近线为，即，所以到渐近线的距离为，所以d在上单调递减，故C正确；当时，解得，故双曲线C的实轴长为，虚轴长为，所以双曲线C的实
7、轴长是虚轴长的倍，故D错误故选：8.【答案】ACD解：对于 A，设，则，因为，所以，由，得，故A正确.对于B，因为，所以，根据双曲线的定义可得，又因为，所以，整理得，由，可得，即，解得，故B错误.对于C，设的中点为，O为原点，因为为的中位线，所以，则可知以线段，为直径的两个圆外切，故C正确.对于D，设，则，因为，所以，则渐近线方程为，所以，又，所以，因为，所以，故D正确.故选：9.【答案】ABD解：对于A：由题意知，故A正确；对于B：，则，故B正确.对于C：顶点到渐近线距离，故C错.对于D：为直角三角形，且，故外接圆的半径为，外接圆面积，故D正确.10.【答案】BCD解：如图，由双曲线方程，得
8、，可得，则，由双曲线定义可得：，则，从而的内切圆半径：故的内切圆半径为，故D正确；联立，解得，故C正确；，故B正确；由，且，解得：，的周长为，故A错误故选：11.【答案】解：由题意知焦点F到渐近线的距离为d，O为坐标原点，得，故，所以，即，离心率答案为：12.【答案】解：因为线段的中点M在y轴上，所以轴，故或，根据对称性，不妨取，因为轴，为等边三角形，所以，则，所以，所以双曲线的离心率为，故答案为13.【答案】解：由双曲线的定义，可得，在中，O，P分别为以及的中点，可得，又，可得，即，所以双曲线的渐近线方程为故答案为：14.【答案】解：由题意得， 由联立求得，双曲线C的标准方程是设，线段PQ的
9、中点为将与联立消去y，整理得，则，由及，得，由知，于是，化简得，将代入，得或，又由，得，综上，实数m的取值范围是15.【答案】解：由题意得，设双曲线C的焦距为2c，则，所以，所以，所以双曲线C的标准方程；设，则直线PA的方程为：，由，得，因为直线PA与C交于A，M，所以，所以，因为，所以，所以，因为直线PB的方程为：，由，得，因为直线PB与C交于B，N，所以，所以，因为，所以，所以，所以当时，直线MN的方程为：，令，得，所以直线MN过定点，当时，所以直线MN过定点，所以当时，点B到直线MN的距离取得最大值为16.【答案】解：设，因为，所以，化简得，即曲线C的方程为联立直线l与双曲线的方程，得，所以，设，所以，得且，所以，因为，所以，所以，所以，化简，得，把，代入，得，化简得，因为且，所以有且，解得，圆的圆心为，半径为1，圆心到直线l：的距离为，所以点A到直线的距离的最大值为，最小值为，所以点A到直线l的距离的取值范围为第15页，共15页学科网（北京）股份有限公司