中考数学高频考点突破——反比例函数与一次函数综合.docx

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1、中考数学高频考点突破反比例函数与一次函数综合1. 已知一次函数 y=3x2 的图象经过 a,b，a+1,b+k 两点，并且与反比例函数 y=kx 的图象交于第一象限内一点 A(1) 求反比例函数的解析式；(2) 请问：在 x 轴上是否存在点 P，使 AOP 为等腰三角形？若存在，直接写出符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由2. 如图，一次函数 y=kx+bk0 与反比例函数 y=mxm0 的图象交于 A2,1，B1,n 两点(1) 求 k+2b 的值；(2) 结合图象直接写出不等式 kx+bmx0 的解集3. 如图，RtABO 的顶点 A 是双曲线 y=kx 与直线 y=xk+1 在

2、第二象限的交点，ABx 轴于 B 且 SABO=32(1) 求这两个函数的解析式(2) 求直线与双曲线的两个交点 A，C 的坐标和 AOC 的面积4. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，RtABC 的直角边 AB 在 x 轴上，ABC=90点 A 的坐标为 1,0，点 C 的坐标为 3,4，M 是 BC 边的中点，函数 y=kxx0 的图象经过点 M(1) 求 k 的值(2) 将 ABC 绕某个点旋转 180 后得到 DEF（点 A，B，C 的对应点分别为点 D，E，F），且 EF 在 y 轴上，点 D 在函数 y=kxx0 的图象上，求直线 DF 的表达式5. 如图，一条直线与反比例函数

3、y=kx 的图象交于 A1,4，B4,n 两点，与 x 轴交于 D 点，ACx 轴，垂足为 C(1) 如图甲求反比例函数的解析式求 n 的值及 D 点坐标(2) 如图乙，若点 E 在线段 AD 上运动，连接 CE，作 CEF=45，EF 交 AC 于 F 点试说明 CDEEAF当 ECF 为等腰三角形时，直接写出 F 点坐标 6. 如图，在矩形 OABC 中，OA=3，AB=4，反比例函数 y=kxk0 的图象与矩形的边 AB，BC 分别交于点 D，点 E，且 BD=2AD(1) 求点 D 的坐标和 k 的值；(2) 求证：BE=2CE；(3) 若点 P 是线段 OC 上的一个动点，是否存在点

4、 P，使 APE=90? 若存在，求出此时点 P 的坐标；若不存在，请说明理由7. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y1=kx+bk0 的图象与反比例函数 y2=mxm0 的图象交于 A3,5，Ba,3 两点，与 x 轴交于点 C(1) 求反比例函数和一次函数的解析式；(2) 在 y 轴上找一点 P 使 PBPC 最大，求 PBPC 的最大值及点 P 的坐标；(3) 直接写出当 y1y2 时，x 的取值范围8. 如图，已知 A4,2，Bn,4 是一次函数 y=kx+b 的图象与反比例函数 y=mx 的图象的两个交点(1) 求此反比例函数和一次函数的解析式；(2) 连接 OA，OB，求 AO

5、B 的面积；(3) 根据图象直接写出使不等式 kx+bmx 成立的 x 的取值范围 9. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 y1=kx 与直线 y2=mx+n 交于点 A，E 两点，AE 交 x 轴于点 C，交 y 轴于点 D，ABx 轴于点 B，C 为 OB 中点，若 D 点坐标为 0,2 且 SAOD=4(1) 求双面线与直线 AE 的解析式(2) 求 E 点的坐标(3) 观察图象，直接写出 y1y2 时 x 的取值范围10. 如图，反比例函数 y=2x 的图象与一次函数 y=kx+b 的图象交于点 A1,m，B2,n 两点，一次函数图象与 y 轴的交于点 C，与 x 轴交于点

6、D(1) 求一次函数的解析式(2) 观察图象，写出 2xkx+b 时自变量 x 的取值范围(3) 在第三象限的反比例图象上是否存在一个点 P，使得 SODP=2SOCA？若存在，请求出来 P 的坐标；若不存在，请说明理由11. 如图，一次函数 y=2x+8 与函数 y=kxx0 的图象交于 Am,6，Bn,2 两点，ACy 轴于 C，BDx 轴于 D(1) 求 k 的值；(2) 根据图象直接写出 2x+8kxmx 的解集；(3) 把点 C 绕着点 O 逆时针旋转 90，得到点 C，连接 AC，BC，求 ABC 的面积15. 如图，函数 y=1kx 与 y=kx 的图象交于点 A，B若点 A 的

7、坐标为 k,1(1) 点 B 的坐标为 ；(2) 若点 P 为第一象限内双曲线上不同于点 B 的任意一点设直线 PA 交 x 轴于点 M，直线 PB 交 x 轴于点 N，求证 PM=PN；当 P 的坐标为 1,kk1 时，连接 PO 延长交 y=kx 于 C，求证四边形 PACB 为矩形16. 如图，点 P 是反比例函数 y=16xx0 交于点 Cm,6，过 B 作 BDy 轴，交反比例函数 y=kxx0 于点 D，连接 AD，CD(1) 求 b，k 的值；(2) 求 ACD 的面积；(3) 设 E 为直线 AB 上一点，过点 E 作 EFx 轴，交反比例函数 y=kxx0 于点 F，若以点

8、A，O，E，F 为顶点的四边形为平行四边形，求点 E 的坐标18. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=2x+b 经过点 A1,0，与 y 轴正半轴交于 B 点，与反比例函数 y=kxx0 交于点 C，且 BC=2AB，BDx 轴交反比例函数 y=kxx0 于点 D，连接 AD(1) 求 b，k 的值；(2) 求 ABD 的面积；(3) 若 E 为线段 BC 上一点，过点 E 作 EFBD，交反比例函数 y=kxx0 于点 F，且 EF=12BD，求点 F 的坐标19. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l:y=34x+b 与 x 轴、 y 轴分别交于点 A，B，与双曲线 H

9、:y=kx 交于点 P2,92，直线 x=m 分别与直线 l 和双曲线 H 交于点 E，D(1) 求 k 和 b 的值；(2) 当点 E 在线段 AB 上时，如果 ED=BO，求 m 的值；(3) 点 C 是 y 轴上一点，如果四边形 BCDE 是菱形，求点 C 的坐标20. 如图，反比例函数 y=kx 的图象与一次函数 y=14x 的图象交于点 A，B，点 B 的横坐标是 4，点 P 是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在直线 AB 的上方(1) 若点 P 的坐标是 1,4，直接写出 k 的值和 PAB 的面积；(2) 设直线 PA，PB 与 x 轴分别交于点 M，N，求证：PMN 是等腰

10、三角形；(3) 设点 Q 是反比例函数图象上位于 P，B 之间的动点（与点 P，B 不重合），连接 AQ，BQ，比较 PAQ 与 PBQ 的大小，并说明理由答案1. 【答案】(1) 一次函数 y=3x2 的图象经过 a,b，a+1,b+k 两点， 3a2=b,3a+12=b, 得，k=3， 反比例函数的解析式为：y=3x(2) 存在P2,0，P2,0，P23,0，P233,0【解析】(2) 联立一次函数与反比例函数的解析式，得：y=3x2,y=3x, 解得：x1=3,y1=1, x2=33,y2=3, 点 A 在第一象限内， 点 A 的坐标为 3,1；过点 A 作 ABx 轴于 B， 点 A3

11、,1， OA=AB2+OB2=2，如图 1：当 OP=OA 时，OP=2，则 P2,0，P2,0，当 OA=PA 时，OB=BP=3， OP=OB+BP=23， P23,0；如图 2，当 OP=AP 时，作 PCOA，交 OA 于 C， OA=2， OC=12OA=1， AOP=30， OP=OCcosAOP=132=233， P233,0综上所述，符合条件的点 P 的坐标为：P2,0，P2,0，P23,0，P233,02. 【答案】(1) 反比例函数 y=mxm0 的图象过点 A2,1，B1,n 两点， 1=m2，得 m=2， n=21，得 n=2， 点 B1,2， 一次函数 y=kx+bk

12、0 过点 A2,1，点 B1,2， 2k+b=1,k+b=2, 得 k=1,b=1, k+2b=1(2) 1x2【解析】(2) 一次函数 y=kx+bk0 与反比例函数 y=mxm0 的图象交于 A2,1，B1,2 两点， 不等式 kx+bmx0 的解集为 1x23. 【答案】(1) 方法一： ABx 轴于 B，且 SABO=32， 12k=32， k=3， 反比例函数图象在二、四象限， k0， k=3， 反比例函数解析式为 y=3x，一次函数解析式为 y=x+2(2) 联立两函数解析式成方程组， y=3x,y=x+2, 解得 x1=1,y1=3, x2=3,y2=1, 点 A 的坐标为 1,

13、3，点 C 的坐标为 3,1，设直线 AC 与 x 轴交与点 D，当 y=x+2=0 时，x=2， 点 D2,0， SAOC=12ODyAyC=12231=4【解析】(1) 方法二：设 A 点坐标为 x,y，且 x0，则 SABO=12OBAB=12xy=32， xy=3，又 y=kx， k=3， 所求的两个函数的解析式分别为 y=3x，y=x+24. 【答案】(1) RtABC 的直角边 AB 在 x 轴上，ABC=90，点 C 的坐标为 3,4， 点 B 的坐标为 3,0，CB=4 M 是 BC 边的中点， 点 M 的坐标为 3,2 函数 y=kxx0 的图象经过点 M， k=32=6(2

14、) ABC 绕某个点旋转 180 后得到 DEF， DEFABC DE=AB，EF=BC，DEF=ABC=90 点 A 的坐标为 1,0，点 B 的坐标为 3,0， AB=2 DE=2 EF 在 y 轴上， 点 D 的横坐标为 2 点 D 在函数 y=6xx0 的图象上，当 x=2 时，y=3 点 D 的坐标为 2,3 点 E 的坐标为 0,3 EF=BC=4， 点 F 的坐标为 0,1设直线 DF 的表达式为 y=ax+b，将点 D，F 的坐标代入，得 3=2a+b,1=b, 解得 a=2,b=1. 直线 l 的表达式为 y=2x15. 【答案】(1) 点 A1,4 在反比例函数图象上， k

15、=4，即反比例函数关系式为 y=4x 点 B4,n 在反比例函数图象上， n=1，设一次函数的解析式为 y=mx+b， 点 A1,4 和 B4,1 在一次函数 y=mx+b 的图象上， m+b=4，4m+b=1，解得 b=5，m=1， 一次函数关系式为 y=x+5，令 y=0，得 x=5， D 点坐标为 D5,0(2) A1,4，ACx 轴于点 C， C1,0， AC=4又 D5,0， CD=4， AC=CD， CAD=CDA=45， AFE+AEF=135又 CEF=45， CED+AEF=135， AFE=CED又 FAE=EDC=45， CDEEAF 1,2，1,4，1,842 【解析】

16、(2) 当 CE=FE 时，由 CDEEAF，可得 AE=CD=4，DE=AF=421， A1,4， F 点的纵坐标 =4AF=4421=842， F1,842，当 CE=CF 时，由 FEC=45 知 ACE=90，此时 E 与 D 重合， F 与 A 重合， F1,4，当 CF=EF 时，由 FEC=45 知 CFE=90，显然 F 为 AC 中点， F1,2，当 ECF 为等腰三角形时，点 F 的坐标为 F11,2；F21,4；F31,8426. 【答案】(1) AB=4，BD=2AD， AB=AD+BD=AD+2AD=3AD=4， AD=43，又 OA=3， D43,3 点 D 在双曲

17、线 y=kx 上， k=433=4(2) 四边形 OABC 为矩形， AB=OC=4， 点 E 的横坐标为 4把 x=4 代入 y=4x，得 y=1， E4,1， CE=1， BC=3， BE=2， BE=2CE(3) 存在点 P，使 APE=90设点 P 的坐标为 m,00m4，则 OP=m，CP=4m APE=90， APO+EPC=90，又 APO+OAP=90， EPC=OAP，又 AOP=PCE=90， AOPPCE， OAPC=OPCE， 34m=m1，解得 m1=1，m2=3，经检验，m1=1 和 m2=3 是原方程的解，且符合题意 点 P 的坐标为 1,0 或 3,07. 【答

18、案】(1) 把 A3,5 代入 y2=mxm0，可得 m=35=15， 反比例函数的解析式为 y2=15x把点 Ba,3 代入 y2=15x，可得 a=5， B5,3把 A3,5，B5,3 代入 y1=kx+b，可得 3k+b=5,5k+b=3, 解得 k=1,b=2, 一次函数的解析式为 y1=x+2(2) 一次函数的解析式为 y1=x+2，令 x=0，得 y1=2， 一次函数的图象与 y 轴的交点为 0,2，易知当 P 与 B，C 共线时，PBPC 取大，此时 P 为直线 BC 与 y 轴的交点， P0,2 为所求的点，令 y1=0，得 x=2， C2,0， BC=2+52+32=32 P

19、BPC 的最大值为 32，此时点 P 的坐标为 0,2(3) 当 y1y2 时，x 的取值范围是 5x38. 【答案】(1) 把 4,2 代入 y=mx 得 2=m4，则 m=8则反比例函数的解析式是 y=8x；把 n,4 代入 y=8x 得 n=2，则 B 的坐标是 2,4根据题意得：2=4k+b,4=2k+b, 解得 k=1,b=2, 则一次函数的解析式是 y=x2(2) 设 AB 与 x 轴的交点是 C，则 C 的坐标是 2,0，则 OC=2， SAOC=2，SBOC=4，则 SAOB=6(3) x4 或 0x2 【解析】(3) 由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时，x

20、的取值范围时 x4 或 0x29. 【答案】(1) 作 AMy 轴于点 M， D0,2， DO=2 SAOD=4 且 AMy 轴， 122AM=4， AM=4 y 轴 x 轴，ABx 轴， ABC=DOC=90 C 为 OB 中点， BC=OC ACB=DCO， ABCDOCASA， AB=DO=2， A4,2 双曲线过 A， k4=2， k=8， 双曲线解析式为：y=8x 直线 AE 过 A4,2 与 D0,2， 4m+n=2,n=2, 解之得 m=1,n=2, 直线 AE 解析式为：y=x2(2) 根据（I）得：y=8x,y=x2 解得 x1=2,y1=4, x2=4,y2=2, 根据 E

21、 所在的象限得，E2,4(3) y1y2 时 x 的取值范围是：0x4 或 xy2 时，x 的取值范围是：0xy2 时，x 的取值范围是 x2， y1y2 时 x 的取值范围是：0x4 或 x210. 【答案】(1) 点 A，B 的横坐标分别为 1，2， y=2，或 y=1， A1,2，B2,1， 点 A，B 在一次函数 y=kx+b 的图象上， 2=k+b,1=2k+b, k=1,b=1, 一次函数的解析式为 y=x+1(2) 由图象得知：x 的取值范围是 0x1 或 x0 的图象经过 Am,6，Bn,2 两点， k=6(2) x 的取值范围为 0x3(3) 设直线 y=2x+8 上点 P

22、的坐标为 x,2x+8由 PCA 和 PDB 面积相等， 12ACyAyP=12BDxBxp，即 12162x+8=1223x，解得：x=2，则 y=2x+8=4， 点 P 的坐标为 2,4【解析】(2) 2x+8kx0，即 2x+8kx，由图象可知：x 的取值范围为 0x312. 【答案】(1) 一次函数 y=x+b 的图象交 x 轴于 B，交 y 轴于 C，则 Bb,0，C0,b， OB=OC=b， BOC=90， OBC 是等腰直角三角形， BCO=45(2) 如图 1 中，作 MNAB 于 N， M0,4，MNAC，直线 AC 的解析式为 y=x+b， 直线 MN 的解析式为 y=x+

23、4，由 y=x+4,y=x+b, 解得 x=b42,y=b+42, Nb42,b+42， MA=MB，MNAB， NA=BN，设 Am,n，则有 m+b2=b42,n+02=b+42, 解得 m=4,n=b+4, A4,b+4， 点 A 在 y=4x 上， 4b+4=4， b=3， A4,1(3) 点 Q 坐标为 4,4 或 4,6 或 4,316 或 4,1【解析】(3) 如图 2 中，由（2）可知 A4,1，M0,4， AM=32+42=5，当菱形以 AM 为边时，AQ=AQ=5，AQOM，可得 Q4,4，Q4,6，当 A，Q 关于 y 轴对称时，也满足条件，此时 Q4,1，当 AM 为菱

24、形的对角线时，设 P0,b，则有 4b2=42+b12， b=16， AQ=MP=256， Q4,316， 综上所述，满足条件的点 Q 坐标为 4,4 或 4,6 或 4,316 或 4,113. 【答案】(1) 4 (2) 由（1）知，OA=8，AB=4， B8,4， 点 D 是 OB 的中点， D4,2, 点 D 在反比例函数 y=kx 的图象上， k=42=8， 反比例函数的解析式为 y=8x， 点 E8,n 在反比例函数图上， n=8， n=1(3) 如图，连接 FG，由（2）知，反比例函数解析式为 y=8x， 点 F2,4， CF=2，设点 G 的坐标为 0,m， OG=m， CG=

25、OCOG=ABOG=4m，由折叠知，CF=OG=m，在 RtFCG 中，CG2+CF2=FG2， 4m2+4=m2， m=52， OG=52【解析】(1) 四边形 OABC 是矩形，且点 E8,n 在边 AB 上， OA=8， OA=2AB， AB=414. 【答案】(1) 将点 B 的坐标代入反比例函数表达式得：6=m1，解得：m=6，将点 A 的坐标代入反比例函数表达式并解得：n=2，故点 A2,3，将点 A，B 的坐标代入一次函数表达式得：3=2k+b,6=k+b, 解得 k=3,b=3, 故一次函数的表达式为：y=3x3(2) 0x1 或 x2(3) 设直线 AB 交 x 轴于点 H，

26、对于 y=3x3，令 x=0，则 y=3，令 y=0，则 x=1，故点 H，C 的坐标分别为 1,0，0,3， 点 C 绕着点 O 逆时针旋转 90，得到点 C，故其坐标为：3,0， ABC 的面积 S=SCHB+SCHA=12CHyAyB=123+13+6=18【解析】(2) 从图象看，当 0x1 或 xmx，故不等式的解集为 0x1 或 x215. 【答案】(1) k,1 (2) 设 Pm,km，直线 PA 的解析式为 y=ax+b，则有 ka+b=1,ma+b=km, 解得 a=1m,b=km1, 直线 PA 的解析式为 y=1mx+kmm，令 y=0，得到 x=mk，设直线 PB 的解

27、析式为 y=cx+d，则有 kc+d=1,mc+d=km, 解得 c=1m,b=km+1, 直线 PB 的解析式为 y=1mx+k+mm，令 y=0，得到 x=k+m，如图，作 PHMN 于 H则 Hm,0 HM=mmk=k，NH=k+mm=k， MH=HN， PM=PN P1,k， C1,k， OP=OC，OA=OB， 四边形 PACB 是平行四边形， PH=k，MH=k，HN=k， PH=HM=HN， MPN=90， 四边形 PACB 是矩形【解析】(1) 函数 y=1kx 与 y=kx 的图象交于点 A，B， A，B 关于原点对称， Ak,1， Bk,116. 【答案】(1) 4；60

28、(2) AOC=60，BOC=60， AOC=BOC， 点 P 是反比例函数 y=16xx2， t=2+3， E32,23，当点 E 位于点 F 右侧时， 则点 Ft2,2t+4，则 t22t+4=6， t=7， t2， t=7， E7,27+4，综上所述，若以点 A，O，E，F 为顶点的四边形为平行四边形，点 E 的坐标为 E32,23 或 E7,27+418. 【答案】(1) 直线 y=2x+b 经过点 A1,0， 2+b=0， b=2， 直线 AB 的解析式为 y=2x+2， B0,2，如图，过点 C 作 CGx 轴交 y 轴于 G， AOBCGB， OACG=OBBG=ABBC=12，

29、 CG=2OA=2，BG=2OB=4， OG=OB+BG=6， C2,6， 点 C 在反比例函数 y=kx 的图象上， k=26=12(2) BDx 轴，且 B0,2， D6,2， BD=6， SABC=12BDOB=6(3) 由（2）知，BD=6， EF=12BD， EF=3，设 Em,2m+20m2， F6m+1,2m+2， EF=6m+1m=3， m=27（舍）或 m=2+7， F7+1,2+2719. 【答案】(1) y=kx，y=34x+b 交于 P2,92， k=292,92=342+b, 得 k=9,b=3. (2) 令 x=0 代入 y=34x+3 得， y=3，故 B0,3，

30、 ED=BO=3 时， E，D 横坐标为 m， 34m+39m=3， 34m=9mm2=12，m1=23，m2=23（舍）， m=23(3) 将 x=m 代入两函数得，yE=34m+3，y0=9m， Em,34m+3，Dm,9m，B0,3，设 c0,n， 四边形 BCDE 为菱形， BEDC 且 BE=DC，DE=BE， kCD=n9mm=34， DE=34m+39m2=BE=m2+34m2, 34m+39m=54m， 34m+39m=54m2m2+3m9=0， 2m3m+3=0， m1=32（舍），m2=3， n9mm=34=n+933=34， n=34， C0,3420. 【答案】(1)

31、点 P1,4 在反比例函数图象上， k=41=4， B 点横坐标为 4， B4,1，连接 OP，过 P 作 x 轴的平行线，交 y 轴于点 P，过 B 作 y 轴的平行线，交 x 轴于点 B，两线交于点 D，如图 1，则 D4,4， PP=1，PO=4，OB=4，BB=1， BD=41=3，PD=41=3， SPOB=S矩形OBDPSPPOSBBOSBDP=16224.5=7.5， A，B 关于原点对称， OA=OB， SPAO=SPBO， SPAB=2SPBO=15(2) 点 P 是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在直线 AB 的上方， 可设点 P 坐标为 m,4m，且可知 A4,1，设

32、直线 PA 解析式为 y=kx+b，把 A，P 坐标代入可得 4k+b=1,mk+b=4m, 解得 k=1m,b=4m1, 直线 PA 解析式为 y=1mx+4m1，令 y=0 可求得 x=m4， Mm4,0，同理可求得直线 PB 解析式为 y=1mx+4m+1，令 y=0 可求得 x=m+4， Nm+4,0，作 PGx 轴于点 G，如图 2，则 Gm,0， MG=mm4=4，NG=m+4m=4， MG=NG，即 G 为 MN 中点， PG 垂直平分 MN， PM=PN，即 PMN 是等腰三角形(3) PAQ=PBQ，理由如下：连接 QA 交 x 轴于 M，连接 QB 并延长交 x 轴于点 N，如图 3，由（2）可得 PM=PN，即 QMO=QNO， MMA=QNO，由（2）知 PMN=PNM， PMNMMA=PNMQNO， PAQ=NBN，又 NBN=PBQ， PAQ=PBQ学科网（北京）股份有限公司