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1、已知已知已知已知 o o及及及及 o o外的一点外的一点外的一点外的一点P P，PAPA与与与与 o o相切相切相切相切于点于点于点于点A A，连接连接连接连接OAOA、OPOP，如果将，如果将，如果将，如果将 o o沿直线沿直线沿直线沿直线OPOP翻折翻折翻折翻折，圆，圆，圆，圆上是否存在一点上是否存在一点上是否存在一点上是否存在一点B B与点与点与点与点A A重合？重合？重合？重合？根据圆的轴对称性，存在与点根据圆的轴对称性，存在与点A A重合重合的一点的一点B B，且落在圆上，则，且落在圆上，则OBOB是是o o的的一条半径，一条半径，PBPB是是oo的切线。的切线。OPAB你能发现你能
2、发现PAPA与与PBPB，APOAPO与与BPOBPO之间有之间有什么关系吗？什么关系吗？PA=PB、APO=BPO。opAB如图，如图，PA、PB是是 O的切线，的切线，A、B为切点。如果连结为切点。如果连结OA、OB、OP，图中的，图中的PA与与PB，APO与与BPO有什么关系？有什么关系？PA、PB是是 O的切线，的切线，A、B为切点为切点OAPA，OBPB又又OAOB，OPOPRtAOP RtBOPPAPB，APOBPO在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间的线段的长叫做的线段的长叫做这点到圆的切线长这点到圆的切线长OPAB切线与切线长的区别与
3、联系：切线与切线长的区别与联系：（1 1）切线是一条与圆相切的直线；切线是一条与圆相切的直线；（2 2）切线长是指切线长是指切线上某一点切线上某一点与与切点切点间的线段的长。间的线段的长。opAB PA、PB是是 O的切线，的切线，A、B为切点为切点PAPB，APOBPO如图，若连接如图，若连接AB，则，则OP与与AB有什么关系？有什么关系？PA、PB是是 O的切线，的切线，A、B为切点为切点PAPB，APOBPOOPAB，且，且OP平分平分ABCDAD与与BD相等吗？相等吗？切线长定理：切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等
4、，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。我们学过的切线，常有我们学过的切线，常有 五个五个 性质：性质：1 1、切线和圆只有一个公共点；、切线和圆只有一个公共点；2 2、切线和圆心的距离等于圆的半径；、切线和圆心的距离等于圆的半径；3 3、切线垂直于过切点的半径；、切线垂直于过切点的半径；4 4、从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，、从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。四个四个思考思考 如图如图如图如图,一张三角形的铁皮一张三角形的铁皮一张三角形的铁皮一张三角形的铁
5、皮,如何在它上面截下如何在它上面截下如何在它上面截下如何在它上面截下一块圆形的用料一块圆形的用料一块圆形的用料一块圆形的用料,并且使圆的面积尽可能大呢并且使圆的面积尽可能大呢并且使圆的面积尽可能大呢并且使圆的面积尽可能大呢?ID内切圆和内心的定义内切圆和内心的定义内切圆和内心的定义内切圆和内心的定义:与三角形各边都相切的圆叫做与三角形各边都相切的圆叫做与三角形各边都相切的圆叫做与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆三角形的内切圆.内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫叫叫叫做
6、做做做三角形的内心三角形的内心.o外接圆圆心：外接圆圆心：三角形三边三角形三边垂直平分线的交点垂直平分线的交点。外接圆的半径：外接圆的半径：交点到三交点到三角形任意一个定点的距离。角形任意一个定点的距离。三角形外接圆三角形外接圆三角形内切圆三角形内切圆o内切圆圆心：内切圆圆心：三角形三个三角形三个内角平分线的交点。内角平分线的交点。内切圆的半径：内切圆的半径：交点到三交点到三角形任意一边的垂直距离。角形任意一边的垂直距离。AABBCC已知：已知：ABCABC是是O O外切三角形，切点为外切三角形，切点为D D，E E，F F。若。若BCBC14 cm 14 cm，ACAC9cm9cm，ABAB
7、13cm13cm。求。求AFAF，BDBD，CECE。ABCDEFxxyyOzz解:设AF=Xcm,BD=Ycm,CE=Zcm则AE=AF=Xcm,DC=BD=Ycm,AE=EC=Zcm依题意得方程组依题意得方程组x+y=13y+z=14x+z=9解得解得:X=4Y=9Z=5（1）点点O是是ABC的内心，的内心，BOC=180(1 3)=180(25 35)练习练习：如图，在如图，在ABC中，点中，点O是内心，是内心，若若ABC=50，ACB=70，求，求BOC的度数的度数ABCO=120)1(32)4(同理同理 3=4=ACB=70=35 1=2=ABC=50=25例1已知已知，如图，如图，
8、PA、PB是是 O的两条切线，的两条切线，A、B为切点为切点.直线直线 OP 交交 O 于点于点 D、E，交，交 AB 于于 C.（1）写出图中所有的垂直关系；）写出图中所有的垂直关系；（2）写出图中所有的全等三角形）写出图中所有的全等三角形.（3）如果）如果 PA=4 cm,PD=2 cm,求半径求半径 OA 的长的长.AOCDPBE解：解：(1)OAPA,OBPB,OPAB(2)OAP OBP,OCAOCB ACPBCP.(3)设设 OA=x cm,则则 PO=PD+x=2+x(cm)在在 RtOAP 中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得 PA 2+OA 2=OP 2 即即 4 2+x 2
9、=(x+2)2 解得解得 x =3 cm 所以，半径所以，半径 OA 的长为的长为 3 cm.POABc如图，如图，P为为 O 外一点，外一点，PA、PB分别切分别切 O于于A、B两点，两点，OP交交 O于于C，若，若PA6，PC2 ，求，求 O的半径的半径OA及及两切线两切线PA、PB的夹角。的夹角。解：解：连接连接OA、AC，则，则OAAP在在RtAOP中，设中，设OAx则则OP x2OA2PA2OP2即即 x262（x2 ）2解得解得x2 ，即，即OAOC2OP4 在在RtAOP中，中，OP2OAAPO30PA、PB是是 O的切线的切线APB2APO60O的半径为的半径为2 ，两切，两切
10、线的夹角为线的夹角为60ABCDEO21例2如图，已知：在如图，已知：在ABC中，中，B90，O是是AB上一点，以上一点，以O为圆心，为圆心，OB为半径的圆交为半径的圆交AB于点于点E，与与AC相切于点相切于点D。求证：。求证：DEOC证明：连接证明：连接，为，为 的半径的半径是是 的切线的切线C是是 的切线，是切点的切线，是切点，是是 的直径的直径，即，即oop1.连结连结OP2.以以OP为直径作为直径作 O，与与 O交于交于A、B两点。两点。AB即直线即直线PA、PB为为 O的切线的切线 如图，已知如图，已知 O外一点外一点P，你能用尺规过点，你能用尺规过点P作作 O的切线吗？的切线吗？通过作图你能发现什么呢？通过作图你能发现什么呢？1.过圆外一点作圆的切线可以作两条过圆外一点作圆的切线可以作两条2.点点A和点和点B关于直线关于直线OP对称对称