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1、第六章第六章 控制系统的控制系统的分析方法分析方法编写求解微分方程的子程序编写求解微分方程的子程序将系统模型输入计算机将系统模型输入计算机通过计算机的运算获得冲激响应的响应数据通过计算机的运算获得冲激响应的响应数据编写绘图程序，绘制成可供工程分析的响应曲线编写绘图程序，绘制成可供工程分析的响应曲线MATLAB控制系统工具箱控制系统工具箱和和SIMULINK辅助环境辅助环境的出现，给控制系统分析带来了福音。的出现，给控制系统分析带来了福音。稳定性分析、时域分析、频域分析、根轨迹分析稳定性分析、时域分析、频域分析、根轨迹分析早期的控制系统分析过程早期的控制系统分析过程-系统冲激响应曲线系统冲激响应
2、曲线第一节第一节 控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析连续时间系统连续时间系统-如果闭环极点全部在如果闭环极点全部在S平面左平面左 半平面，则系统是稳定的。半平面，则系统是稳定的。离散时间离散时间系统系统-如果系统全部如果系统全部极点极点都位于都位于Z平面的单位圆内，则系统是稳定的。平面的单位圆内，则系统是稳定的。最小相位最小相位系统系统-连续时间系统连续时间系统的的全部零极点全部零极点都位于都位于S左半平面；或若左半平面；或若离散时间离散时间系统的系统的全部零全部零极点极点都位于都位于Z平面单位圆内，则系统是最小相平面单位圆内，则系统是最小相位系统。位系统。一、系统稳定及最小相位系统判据
3、一、系统稳定及最小相位系统判据直接根据直接根据零极点的分布零极点的分布情况对系统的稳定情况对系统的稳定性及性及是否为最小相位系统是否为最小相位系统进行判断。进行判断。二、系统稳定及最小相位系统的判别方法二、系统稳定及最小相位系统的判别方法劳斯判据劳斯判据：劳斯表中第一列各值严格为正，则系劳斯表中第一列各值严格为正，则系统稳定，如果劳斯表第一列中出现小于零的数值，统稳定，如果劳斯表第一列中出现小于零的数值，系统不稳定。系统不稳定。胡尔维茨判据胡尔维茨判据：当且仅当由系统分母多项式构成当且仅当由系统分母多项式构成的胡尔维茨矩阵为正定矩阵时，系统稳定。的胡尔维茨矩阵为正定矩阵时，系统稳定。1、间接判
4、别（工程方法）、间接判别（工程方法）2、直接判别、直接判别已知某系统的模型：已知某系统的模型：要求判断系统的稳定性及系统是否为最要求判断系统的稳定性及系统是否为最小相位系统。小相位系统。例例.exp6_1.m 例例exp6_2.m 系统模型如下所示，判断系统的稳定性，系统模型如下所示，判断系统的稳定性，以及系统是否为最小相位系统。以及系统是否为最小相位系统。ii=find(条件式条件式)求取满足条件的向量的下标向量，以列向量表示。求取满足条件的向量的下标向量，以列向量表示。real(p0)-找出极点向量找出极点向量p中满足实部的值大于中满足实部的值大于0的所的所有元素下标，并将结果返回到有元素
5、下标，并将结果返回到ii向量中去。如果找到了向量中去。如果找到了实部大于实部大于0的极点，则会将该极点的序号返回到的极点，则会将该极点的序号返回到ii下。下。如果最终的结果里如果最终的结果里ii的元素个数大于的元素个数大于0，则认为找到了，则认为找到了不稳定极点，因而给出系统不稳定的提示，若产生的不稳定极点，因而给出系统不稳定的提示，若产生的ii向量的元素个数为向量的元素个数为0，则认为没有找到不稳定的极点，则认为没有找到不稳定的极点，因而得出系统稳定的结论。因而得出系统稳定的结论。pzmap(p,z)根据系统已知的零极点根据系统已知的零极点p和和z绘制出系统的零极点图绘制出系统的零极点图第二
6、节第二节 控制系统的时域分析控制系统的时域分析响应响应-零初始值零初始值条件下某种条件下某种典型的输入函数典型的输入函数作作用下对象的响应。用下对象的响应。常用的输入函数常用的输入函数-单位阶跃函数单位阶跃函数和和脉冲激励函脉冲激励函数（即冲激函数）数（即冲激函数）。一、时域分析的一般方法一、时域分析的一般方法求取系统单位阶跃响应：求取系统单位阶跃响应：step()求取系统的冲激响应：求取系统的冲激响应：impulse()动态系统的性能动态系统的性能用用典型输入典型输入作用下的作用下的响应响应来描述来描述1、step()函数函数状态变量状态变量y=step(num,den,t)：仿真时间向量，
7、仿真时间向量，t=0:step:end等步长产生等步长产生系统在仿真时刻各个系统在仿真时刻各个输出所组成的矩阵输出所组成的矩阵y,x,t=step(num,den)时间向量时间向量,由系统模型的特性自动生成由系统模型的特性自动生成仅绘制系统的阶跃响应曲线仅绘制系统的阶跃响应曲线求线性系统的稳态值求线性系统的稳态值y,x,t=step(A,B,C,D,iu)：输入变量的序号输入变量的序号系统返回的状态轨迹系统返回的状态轨迹step(num,den)；step(num,den,t)；step(A,B,C,D,iu,t)；step(A,B,C,D,iu)；dc=dcgain(num,den),dc=
8、dcgain(a,b,c,d)例例exp6_3.m 已知系统的开环传递函数为：已知系统的开环传递函数为：求系统在单位负反馈下的阶跃响应曲线。求系统在单位负反馈下的阶跃响应曲线。sssssGo4036820)(234+=2、impulse()函数函数 调用方法与调用方法与step()函数基本一致。函数基本一致。y=impulse(num,den,t)；y,x,t=impulse(num,den)；y,x,t=impulse(A,B,C,D,iu,t)impulse(num,den)；impulse(num,den,t)impulse(A,B,C,D,iu)；impulse(A,B,C,D,iu,
9、t)例例exp6_4.m已知系统的开环传递函数为：已知系统的开环传递函数为：sssssGo4036820)(234+=求系统在单位负反馈下的脉冲激励响应曲线。求系统在单位负反馈下的脉冲激励响应曲线。Exp6-5已知某典型二阶系统的传递函数为：已知某典型二阶系统的传递函数为：2222)(nnnwswswsG+=x x，,6.0=x x5=nw求系统的阶跃响应曲线。求系统的阶跃响应曲线。例例6-6 已知某闭环系统的传递函数为：已知某闭环系统的传递函数为：求其阶跃响应曲线。求其阶跃响应曲线。251096.116.02510)(23+=sssssG 二、时域分析应用实例二、时域分析应用实例step()
10、和和impulse()函数本身可以处理函数本身可以处理多输入多输入多输出多输出的情况，因此编写的情况，因此编写MATLAB程序并程序并不因为系统输入输出的增加而变得复杂。不因为系统输入输出的增加而变得复杂。第三节第三节 控制系统的频域分析控制系统的频域分析频率响应频率响应-系统对正弦输入信号的稳态响应，系统对正弦输入信号的稳态响应，从中可得从中可得带宽、增益、转折频率、闭环稳定性带宽、增益、转折频率、闭环稳定性等等系统特征。系统特征。频率特性频率特性-系统在正弦信号作用下，稳态输系统在正弦信号作用下，稳态输出与输入之比对频率的关系特性。出与输入之比对频率的关系特性。一、频域分析的一般方法一、频
11、域分析的一般方法频域分析法是应用频域分析法是应用频率特性频率特性研究控制系统的一种研究控制系统的一种典型方法。典型方法。频率特性频率特性对数频率特性曲线对数频率特性曲线幅相频率特性曲线幅相频率特性曲线bode()系统对数频率特性图（波特图）系统对数频率特性图（波特图）nyquist()幅相曲线图或极坐标图（系统奈奎斯特图）幅相曲线图或极坐标图（系统奈奎斯特图）1、对数频率特性图（波特图）、对数频率特性图（波特图）横坐标横坐标-频率频率w，采用对数分度，弧度，采用对数分度，弧度/秒秒a,b,c,d的的每个每个输入自动绘制出输入自动绘制出一组一组Bode图。图。频率范围频率范围由函数自动选取，而且
12、在由函数自动选取，而且在响应快速变响应快速变化的位置化的位置会自动采用更多取样点。会自动采用更多取样点。对数幅频特性图对数幅频特性图对数相频特性图对数相频特性图相角，度相角，度纵坐标纵坐标-均匀分度均匀分度幅值函数幅值函数20lgA(w)，dBbode(a,b,c,d)bode(a,b,c,d,iu)bode(num,den)bode(a,b,c,d,iu,w)或或bode(num,den,w)从系统第从系统第iu个输入到所有个输入到所有输出的波特图输出的波特图传递函数表示的系统传递函数表示的系统利用指定的角频率矢量绘制出系统的波特图。利用指定的角频率矢量绘制出系统的波特图。2、幅相频率特性图
13、（奈奎斯特图）、幅相频率特性图（奈奎斯特图）对于频率特性函数对于频率特性函数G(jw)，给出，给出w从负无穷到正从负无穷到正无穷的一系列数值，分别求出无穷的一系列数值，分别求出Im(G(jw)和和Re(G(jw)。以。以Re(G(jw)为横坐标，为横坐标，Im(G(jw)为纵坐标绘制成为极坐标频率特性图。为纵坐标绘制成为极坐标频率特性图。nyquist(a,b,c,d)：系统：系统a,b,c,d的输入的输入/输出输出组合对。频率范围由函数自动选取，在响应快组合对。频率范围由函数自动选取，在响应快速变化的位置会自动采用更多取样点。速变化的位置会自动采用更多取样点。nyquist(a,b,c,d,
14、iu)：从系统第从系统第iu个输入到所个输入到所有输出有输出plot(re,im)-绘制出对应绘制出对应w从负无穷到零变化的部从负无穷到零变化的部分。分。nyquist(num,den)nyquist(a,b,c,d,iu,w)nyquist(num,den,w)利用指定的角频率矢量利用指定的角频率矢量在屏幕上绘制出系统的极坐标图（图上用箭头表在屏幕上绘制出系统的极坐标图（图上用箭头表示示w的变化方向，负无穷到正无穷）的变化方向，负无穷到正无穷）。nyquist(a,b,c,d)re,im,w=系统频率特性函数的实部系统频率特性函数的实部re和虚部和虚部im及角频率点及角频率点w矢量（为正的部
15、分）。矢量（为正的部分）。二、常用频域分析函数二、常用频域分析函数margin：幅值裕度和相角裕度及对应转折频率：幅值裕度和相角裕度及对应转折频率freqs：模拟滤波器特性：模拟滤波器特性nichols：求连续系统的尼科尔斯频率响应曲线：求连续系统的尼科尔斯频率响应曲线（即对数幅相曲线）（即对数幅相曲线）ngrid：尼科尔斯方格图：尼科尔斯方格图系统的各种频率响应曲线和特征值系统的各种频率响应曲线和特征值margin()函数函数幅值裕度幅值裕度-在相角为在相角为-180度处使开环增益为度处使开环增益为1的增益的增益量，如在量，如在-180度相频处的开环增益为度相频处的开环增益为g，则幅值裕度为
16、，则幅值裕度为1/g；若用分贝值表示幅值裕度，则等于：；若用分贝值表示幅值裕度，则等于：-20*log10(g)。相角裕度相角裕度-当开环增益为当开环增益为1.0时，相应的相角与时，相应的相角与180度度角的和。角的和。从频率响应数据中计算出从频率响应数据中计算出幅值裕度、相角裕度以及对幅值裕度、相角裕度以及对应的频率应的频率。幅值裕度和相角裕度是针对开环幅值裕度和相角裕度是针对开环SISO系统而言，它指系统而言，它指示出系统闭环时的相对稳定性。当不带输出变量引用示出系统闭环时的相对稳定性。当不带输出变量引用时，时，margin可在当前图形窗口中绘制出带有裕量及相可在当前图形窗口中绘制出带有裕
17、量及相应频率显示的应频率显示的Bode图，幅值裕度以分贝为单位。图，幅值裕度以分贝为单位。margin(num,den)：计算出连续系统的幅值：计算出连续系统的幅值裕度和相角裕度并绘制相应波特图。裕度和相角裕度并绘制相应波特图。margin(a,b,c,d)margin(mag,phase,w)：由：由bode指令得到的指令得到的幅值幅值mag（不是以（不是以dB为单位）为单位）、相角、相角phase及角频率及角频率w矢量绘制出带有裕量及相应频率显矢量绘制出带有裕量及相应频率显示的示的bode图。图。gm,pm,wcg,wcp=margin(mag,phase,w)：由：由幅值幅值mag（不是
18、以（不是以dB为单位）为单位）、相角、相角phase及角频率及角频率w矢量计算出系统幅值裕度和相角裕矢量计算出系统幅值裕度和相角裕度及相应的相角交界频率度及相应的相角交界频率wcg、截止频率、截止频率wcp，而不直接绘出，而不直接绘出Bode图曲线。图曲线。freqs()函数函数-计算由矢量计算由矢量a和和b构成的模拟滤波构成的模拟滤波器器H(s)=B(s)/A(s)的幅频响应。的幅频响应。h=freqs(b,a,w)用于计算模拟滤波器的幅频响应，其中用于计算模拟滤波器的幅频响应，其中实矢量实矢量w用于指定频率值，返回值用于指定频率值，返回值h为一个复数行向量，为一个复数行向量，要得到幅值必须
19、对它取绝对值，即求模。要得到幅值必须对它取绝对值，即求模。h,w=freqs(b,a)自动设定自动设定200个频率点来计算频率响个频率点来计算频率响应，这应，这200个频率值记录在个频率值记录在w中。中。h,w=freqs(b,a,n)设定设定n个频率点计算频率响应。个频率点计算频率响应。不带输出变量的不带输出变量的freqs函数，将在当前图形窗口中绘制函数，将在当前图形窗口中绘制出幅频和相频曲线，其中幅相曲线对纵坐标与横坐标出幅频和相频曲线，其中幅相曲线对纵坐标与横坐标均为对数分度。均为对数分度。三、频域分析应用实例三、频域分析应用实例Nyquist曲线是根据开环频率特性在复平面上绘出的幅曲
20、线是根据开环频率特性在复平面上绘出的幅相轨迹，根据开环的相轨迹，根据开环的Nyquist曲线，可以判断闭环系统曲线，可以判断闭环系统的稳定性。的稳定性。系统稳定的充要条件为：系统稳定的充要条件为：Nyquist曲线按逆时针包围临曲线按逆时针包围临界点界点(-1,j0)的圈数的圈数R，等于开环传递函数位于，等于开环传递函数位于s右半平右半平面的极点数面的极点数P，否则闭环系统不稳定，闭环正实部特征，否则闭环系统不稳定，闭环正实部特征根个数根个数Z=P-R。若刚好过临界点，则系统临界稳定。若刚好过临界点，则系统临界稳定。三、频域分析应用实例三、频域分析应用实例v控制系统的分析是进行控制系统设计的基
21、础，控制系统的分析是进行控制系统设计的基础，同时也是工程实际当中解决问题的主要方法，同时也是工程实际当中解决问题的主要方法，因而对控制系统的分析在控制系统仿真中具因而对控制系统的分析在控制系统仿真中具有举足轻重的作用。有举足轻重的作用。v通过求取系统的零极点增益模型直接获得系通过求取系统的零极点增益模型直接获得系统的零极点，从而可以直接对控制系统的稳统的零极点，从而可以直接对控制系统的稳定性及是否为最小相位系统作出判断。定性及是否为最小相位系统作出判断。v控制系统的经典分析方法（时域、频域分析）控制系统的经典分析方法（时域、频域分析）是目前控制系统界进行科学研究的主要方法，是目前控制系统界进行科学研究的主要方法，是进行控制系统设计的基础，要求熟练掌握是进行控制系统设计的基础，要求熟练掌握单位阶跃响应、波特图等常用命令的使用。单位阶跃响应、波特图等常用命令的使用。本章小结本章小结