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1、第第13章控制系统的根轨迹分析章控制系统的根轨迹分析主要内容n控制系统的根轨迹分析n图形化根轨迹法分析与设计13.1控制系统的根轨迹法分析控制系统的根轨迹法分析13.1.1 根轨迹及根轨迹法概述根轨迹及根轨迹法概述n以绘制根轨迹的基本规则为基础的图解以绘制根轨迹的基本规则为基础的图解法是获得系统根轨迹是很实用的工程方法是获得系统根轨迹是很实用的工程方法。通过根轨迹可以清楚地反映如下的法。通过根轨迹可以清楚地反映如下的信息：信息：n临界稳定时的开环增益；闭环特征临界稳定时的开环增益；闭环特征根进入复平面时的临界增益；选定根进入复平面时的临界增益；选定开环增益后，系统闭环特征根在根开环增益后，系统
2、闭环特征根在根平面上的分布情况；参数变化时，平面上的分布情况；参数变化时，系统闭环特征根在根平面上的变化系统闭环特征根在根平面上的变化趋势等。趋势等。13.1.2 MATLAB根轨迹分析的相关函数根轨迹分析的相关函数nMATLAB中提供了中提供了 rlocus()函数，函数，可以直接用于系统的根轨迹绘制。可以直接用于系统的根轨迹绘制。还允许用户交互式地选取根轨迹上还允许用户交互式地选取根轨迹上的值。其用法见表的值。其用法见表13.1。更详细的。更详细的用法可见帮助文档用法可见帮助文档 rlocus(G)rlocus(G1,G2,.)rlocus(G,k)r,k=rlocus(G)r=rlocu
3、s(G,k)绘制指定系统的根轨迹 绘制指定系统的根轨迹。多个系统绘于同一图上 绘制指定系统的根轨迹。K为给定增益向量 返回根轨迹参数。r为复根位置矩阵。r有length(k)列，每列对应增益的闭环根 返回指定增益k的根轨迹参数。r为复根位置矩阵。r有length(k)列，每列对应增益的闭环根K,POLES=rlocfind(G)K,POLES=rlocfind(G,P)交互式地选取根轨迹增益。产生一个十字光标，用此光标在根轨迹上单击一个极点，同时给出该增益所有对应极点值 返回P所对应根轨迹增益K，及K所对应的全部极点值sgrid sgrid(z,wn)在零极点图或根轨迹图上绘制等阻尼线和等自然
4、振荡角频率线。阻尼线间隔为0.1，范围从0到1，自然振荡角频率间隔1rad/s，范围从0到10 在零极点图或根轨迹图上绘制等阻尼线和等自然振荡角频率线。用户指定阻尼系数值和自然振荡角频率值MATLAB根轨迹分析实例根轨迹分析实例 n例例1：若单位反馈控制系统的开环传：若单位反馈控制系统的开环传递函数为递函数为 绘制系统的根轨迹。绘制系统的根轨迹。程序如下：程序如下：clf;num=1;den=conv(1 1 0,1 5);rlocus(num,den)%绘制根轨迹绘制根轨迹axis(-8 8-8 8)figure(2)r=rlocus(num,den);%返回根轨迹参数返回根轨迹参数plot
5、(r,-)%绘制根轨迹，注意绘制根轨迹，注意r要用转置要用转置axis(-8 8-8 8)gtext(x)%鼠标放置一个文本到图上鼠标放置一个文本到图上gtext(x)%鼠标确定文本的左下角位置鼠标确定文本的左下角位置gtext(x)(a)直接绘制根轨迹直接绘制根轨迹 (b)返回参数间接绘制根轨迹返回参数间接绘制根轨迹 图图13.2 例例1系统根轨迹系统根轨迹n例例2：若单位负反馈控制系统的开环传：若单位负反馈控制系统的开环传递函数为，绘制系统的根轨迹，并据根递函数为，绘制系统的根轨迹，并据根轨迹判定系统的稳定性。轨迹判定系统的稳定性。num=1 3;den=conv(1 1,1 20);G=
6、tf(num,den);rlocus(G)figure(2)%新开一个图形窗口新开一个图形窗口Kg=4;G0=feedback(tf(Kg*num,den),1);step(G0)图图13.3 例例2系统根轨迹系统根轨迹 分析：由根轨迹图分析：由根轨迹图13.3，对于任意的，对于任意的Kg，根轨迹均在，根轨迹均在s左半平面。系统都是稳定左半平面。系统都是稳定的。的。可取增益可取增益Kg=4和和Kg=45并通过时域分析并通过时域分析验证。下图分别给出了验证。下图分别给出了Kg=4时和时和Kg=45时系统的单位阶跃响应曲线。可见，在时系统的单位阶跃响应曲线。可见，在Kg=45时因为极点距虚轴很近，
7、振荡已时因为极点距虚轴很近，振荡已经很大。经很大。(a)时系统时域响应曲线时系统时域响应曲线(b)时系统时域响应曲线时系统时域响应曲线图图13.4 例例2系统时域响应曲系统时域响应曲线线n例例3：若单位负反馈控制系统的开环：若单位负反馈控制系统的开环传递函数为传递函数为 绘制系统的根轨迹，确定当系统绘制系统的根轨迹，确定当系统稳定时，参数的取值范围。稳定时，参数的取值范围。clear;num=1 0.5;den=conv(1 3 2,1 5 0);G=tf(num,den);K=0:0.05:200;rlocus(G,K)K,POLES=rlocfind(G)figure(2)Kg=95;t=
8、0:0.05:10;G0=feedback(tf(Kg*num,den),1);step(G0,t)图图13.5 例例3系统根轨迹系统根轨迹Select a point in the graphics windowselected_point=-0.0071+3.6335iK=95.5190POLES=-7.4965 -0.0107+3.6353i -0.0107-3.6353i -0.4821 图图13.6 例例3系统时的阶跃响系统时的阶跃响应应分析：由根轨迹图分析：由根轨迹图13.5，结合临界稳定值可知，系统稳定时，结合临界稳定值可知，系统稳定时，临界稳定时的阶跃响应曲线如图临界稳定时的阶
9、跃响应曲线如图13.6。例例4:若单位反馈控制系统的开环传递函数为若单位反馈控制系统的开环传递函数为 绘制系统的根轨迹，并观察当时的值。绘绘制系统的根轨迹，并观察当时的值。绘制时的系统单位阶跃响应曲线。制时的系统单位阶跃响应曲线。clear;num=1;den=1 2 0;G=tf(num,den);rlocus(G)sgrid(0.707,)%画等阻尼系数线画等阻尼系数线K,POLES=rlocfind(G)运行结果：运行结果：图图13.7 例例4系统根轨迹系统根轨迹Select a point in the graphics windowselected_point=-0.9964+0.9
10、829iK=1.9661POLES=-1.0000+0.9829i -1.0000-0.9829i绘制时系统的单位阶跃响应曲线：绘制时系统的单位阶跃响应曲线：figure(2)Kg=1.97;t=0:0.05:10;G0=feedback(tf(Kg*num,den),1);step(G0)图图13.8 例例4当时系统的单位阶跃响应曲当时系统的单位阶跃响应曲线线13.2图形化根轨迹法分析与设计nMATLAB图形化根轨迹法分析与设计工具rltool是对SISO系统进行分析设计的。既可以分析系统根轨迹，又能对系统进行设计。其方便性在于设计零极点过程中，能够不断观察系统的响应曲线，看其是否满足控制性
11、能要求，以此来达到提高系统控制性能的目的。图形化根轨迹法分析与设计图形化根轨迹法分析与设计工具工具rltooln用户在命令窗口输入用户在命令窗口输入rltool命令即可打开图形命令即可打开图形化根轨迹法分析与设计工具，如图化根轨迹法分析与设计工具，如图13.9。图图13.9 rltool初始界面初始界面n也可以指定命令参数，其具体用法如表13.2：rltool(Gk)指定开环传递函数指定开环传递函数 rltool(Gk,Gc)指定待校正传递函数和校正环节指定待校正传递函数和校正环节rltool(Gk,Gc,LocationFlag,FeedbackSign)指定待校正传递函数和校正环节，并指定
12、校正环节指定待校正传递函数和校正环节，并指定校正环节的位置和反馈类型的位置和反馈类型LocationFlag=forward:位于前向通道位于前向通道LocationFlag=feedback:位于反馈通道位于反馈通道FeedbackSign=-1:负反馈负反馈FeedbackSign=1:正反馈正反馈 图图13.10 rltool工具工具Control Architecture窗口窗口 用户可以用户可以通过通过Control Architecture窗口窗口进行系统进行系统模型的修模型的修改，如图改，如图13.10。图图13.11 rltool工具工具System Data窗口窗口 也可通过
13、也可通过System Data窗窗口为不同口为不同环节导入环节导入已有模型，已有模型，如图如图13.11。图图13.12 rltool工具工具Compensator Editor窗口窗口 可以通过可以通过Compensator Editor的的快捷菜单快捷菜单进行校正进行校正环节参数环节参数的修改，的修改，如增加或如增加或删除零极删除零极点、增加点、增加超前或滞超前或滞后校正环后校正环节等，如节等，如图图13.12 图图13.13 rltool工具工具Analysis Plots窗口窗口通过通过Analysis Plots配配置要显示置要显示的不同图的不同图形及其位形及其位置，如图置，如图13
14、.13。基于图形化工具rltool的系 统分析与设计实例n例：系统开环传递函数例：系统开环传递函数 ，用根轨，用根轨 迹设计器查看系统增加开环零点或开环极点后对系统迹设计器查看系统增加开环零点或开环极点后对系统的性能。的性能。1.打开工具。在打开工具。在MATLAB命令窗口输入，结果如图命令窗口输入，结果如图13.14：G=tf(1,1 1 0)rltool(G)图图13.14 rltool工具工具Design Task窗口，也可以在窗口，也可以在GraphicalTuning页用页用Show Design Plot打开打开 选择选择Analysis PlotsPlot Type:Step，S
15、how Analysis Plot,显示选定点的单位阶跃响应曲线。显示选定点的单位阶跃响应曲线。如图如图13.15所示，此时，鼠标在根轨迹上移动时，所示，此时，鼠标在根轨迹上移动时，对应增益的系统时域响应曲线实时变化。对应增益的系统时域响应曲线实时变化。n2.增加零点。可直接在工具栏上操作，也可通增加零点。可直接在工具栏上操作，也可通过快捷菜单操作。增加零点为过快捷菜单操作。增加零点为 。图图13.16 系系统增加零点统增加零点后的根轨迹后的根轨迹 图图13.17 系统系统增加零点增加零点 后的阶跃响应后的阶跃响应加入零点后，根轨迹向左弯曲，如图加入零点后，根轨迹向左弯曲，如图13.17。所选
16、。所选K值对应的极点在值对应的极点在s平面左侧，系统是稳定的。对应平面左侧，系统是稳定的。对应K值的阶跃响应曲线如图值的阶跃响应曲线如图13.17。3.增加极点。增加极点。删删掉前面所加零点，再掉前面所加零点，再为为系系统统增加极点增加极点。图图13.18系统增加极点系统增加极点 后的根轨迹后的根轨迹 图图13.26 系系统增加极点统增加极点 后的阶跃响应后的阶跃响应 系统增加极点后，根轨迹向右弯曲，如图系统增加极点后，根轨迹向右弯曲，如图13.18。当进入。当进入s平面右半平面时，系统不稳定。图平面右半平面时，系统不稳定。图13.19所选所选K值对应的极值对应的极点已进入点已进入s平面右侧，系统是不稳定的。平面右侧，系统是不稳定的。练习：系统方框图如图所示。绘制系统练习：系统方框图如图所示。绘制系统以以k为参量的根轨迹，并分析系统性能。为参量的根轨迹，并分析系统性能。