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1、CH4、控制系统的分析方法 早期的控制系统分析过程复杂而耗时，如想得到一个系统的冲激响应曲线，首先需要编写一个求解微分方程的子程序，然后将已经获得的系统模型输入计算机，通过计算机的运算获得冲激响应的响应数据，然后再编写一个绘图程序，将数据绘制成可供工程分析的响应曲线。MATLAB控制系统工具箱和SIMULINK辅助环境的出现，给控制系统分析与设计带来很多方便。控制系统的分析包括系统的稳定性分析、时域分析、频域分析及根轨迹分析。12/28/20221第一节 控制系统的稳定性分析q系统特征方程的一般形式为q对于连续时间系统，如果闭环极点全部在S平面左半平面，则系统是稳定的；否则系统是不稳定的。q对
2、于离散时间系统，如果系统全部极点都位于Z平面的单位圆内，则系统是稳定的。q若连续时间系统的全部零点都位于S左半平面；或若离散时间系统的全部零点都位于Z平面单位圆内，则系统是最小相位系统。一、系统稳定及最小相位系统判据12/28/202222、直接判别MATLAB提供了直接求取系统所有零极点的函数，因此可以直接根据零极点的分布情况对系统的稳定性及是否为最小相位系统进行判断。二、系统稳定及最小相位系统的判别方法1、间接判别（工程方法）劳斯判据：劳斯表中第一列各值严格为正，则系统稳定，如果劳斯表第一列中出现小于零的数值，系统不稳定。胡尔维茨判据：当且仅当由系统分母多项式构成的胡尔维茨矩阵为正定矩阵时
3、，系统稳定。即系统稳定的充要条件：12/28/20223例exp04_01.m 已知某系统的模型如右所示：要求判断系统的稳定性及系统是否为最小相位系统。例exp04_02.m系统模型如下所示，判断系统的稳定性，以及系统是否为最小相位系统。12/28/20224ii=find(条件式)用来求取满足条件的向量的下标向量，以列向量表示。例如 exp04_01.m中的条件式为real(p0)，其含义就是找出极点向量p中满足实部的值大于0的所有元素下标，并将结果返回到ii向量中去。这样如果找到了实部大于0的极点，则会将该极点的序号返回到ii下。如果最终的结果里ii的元素个数大于0，则认为找到了不稳定极点
4、，因而给出系统不稳定的提示，若产生的ii向量的元素个数为0，则认为没有找到不稳定的极点，因而得出系统稳定的结论。pzmap(p,z)根据系统已知的零极点p和z绘制出系统的零极点图12/28/20225第二节 控制系统的时域分析 一、时域分析的一般方法系统仿真实质上就是对系统模型的求解。对控制系统来说，一般模型可转化成某个微分方程或差分方程表示。一个动态系统的性能常用典型输入作用下的响应来描述。响应是指零初始值条件下某种典型的输入函数作用下对象的响应，因此在仿真过程中，一般以某种数值算法从初态出发，逐步计算系统的响应，最后绘制出系统的响应曲线，这样可分析系统的性能。控制系统最常用的时域分析方法是
5、，当输入信号为单位阶跃和单位冲激函数时，求出系统的输出响应，分别称为单位阶跃响应和单位冲激响应。12/28/20226对一阶系统微分方程：闭环传递函数：参数：时间常数T性能指标：调节时间ts 超调量%12/28/20227对二阶系统微分方程：闭环传递函数：其中参数：阻尼比 无阻尼自然振荡频率n 性能指标：上升时间tr；峰值时间tp；调节时间ts；超调量%在MATLAB中提供了求取单位阶跃和单位冲激输入下系统响应的函数。求取系统单位阶跃响应：step()求取系统的冲激响应：impulse()12/28/202281、step()函数的用法 exp04_03.mqy=step(num,den,t)
6、：其中num和den分别为系统传递函数描述中的分子和分母多项式系数，t为选定的仿真时间向量，一般可以由t=0:step:end等步长地产生出来。该函数返回值y为系统在仿真时刻各个输出所组成的矩阵。qy,x,t=step(num,den)：此时时间向量t由系统模型的特性自动生成,状态变量x返回为空矩阵。qy,x,t=step(A,B,C,D,iu)：其中A,B,C,D为系统的状态空间描述矩阵，iu用来指明输入变量的序号。x为系统返回的状态轨迹。12/28/20229q如果对具体的响应值不感兴趣，而只想绘制系统的阶跃响应曲线，可调用以下的格式：step(num,den)；step(num,den,
7、t)；step(A,B,C,D,iu,t)；step(A,B,C,D,iu)；q线性系统的稳态值可以通过函数dcgain()来求取，其调用格式为：dc=dcgain(num,den)或dc=dcgain(a,b,c,d)例exp04_04：已知系统的开环传递函数：求系统在单位负反馈下的阶跃响应曲线。12/28/2022102、impulse()函数的用法求取脉冲激励响应的调用方法与step()函数基本一致。y=impulse(num,den,t)；y,x,t=impulse(num,den)；y,x,t=impulse(A,B,C,D,iu,t)impulse(num,den)；impulse
8、(num,den,t)impulse(A,B,C,D,iu)；impulse(A,B,C,D,iu,t)12/28/202211例exp04_05.m例exp04_06.m例exp04_07.m12/28/202212仿真时间t的选择：q对于典型二阶系统根据其调节时间的估算公式 可以确定。q对于高阶系统往往其响应时间很难估计，一般采用试探的方法，把t选大一些，看看响应曲线的结果，最后再确定其合适的仿真时间。q一般来说，先不指定仿真时间，由MATLAB自己确定，然后根据结果，最后确定合适的仿真时间。q在指定仿真时间时，步长的不同会影响到输出曲线的光滑程度，一般不易取太大。例exp04_08.m1
9、2/28/202213二、常用时域分析函数时间响应探究系统对输入和扰动在时域内的瞬态行为，系统特征如：上升时间、调节时间、超调量和稳态误差都能从时间响应上反映出来。MATLAB除了提供前面介绍的对系统阶跃响应、冲激响应等进行仿真的函数外，还提供了其它对控制系统进行时域分析的函数，如：covar：连续系统对白噪声的方差响应initial：连续系统的零输入响应lsim：连续系统对任意输入的响应对于离散系统只需在连续系统对应函数前加d就可以，如dstep，dimpulse等。它们的调用格式与step、impulse类似。12/28/202214三、时域分析应用举例MATLAB的step()和impu
10、lse()函数本身可以处理多输入多输出的情况，因此编写MATLAB程序并不因为系统输入输出的增加而变得复杂。例exp04_0912/28/202215例exp04_10d=16.7331 e=0.0771d=wn2e=(2*z*wn-1)/d12/28/202216例exp04_11.m例exp04_12_1.m12/28/202217exp04_12_2.m含有零点的二阶连续系统传递函数为设其固有频率n=1，阻尼系数=0.4，在时间常数Tm=0.5，1，2时，分别画出其脉冲响应函数曲线。将系统在采样间隔为Ts=0.1的条件下离散化，并做脉冲响应曲线。结果分析：从图中可见，所加零点越小，即时间
11、常数Tm越大，则阶跃响应的超调加大，上升时间减小，系统的跟踪速度加快。12/28/202218exp04_12_3.m含有附加实极点1/Tp的二阶连续系统传递函数为设固有频率n=1，阻尼系数=0.4，在时间常数Tp=0.5，1，2时，分别画出其阶跃响应函数曲线和极点分布。结果分析：对应于Tp=0.2,1,2，系统输出方差分别为p=0.5303 0.4018 0.2462。可见，附加的极点越小，即时间常数Tp越大，阶跃响应的超调加大，上升时间加大，系统的跟踪速度变慢，对噪声的抑制能力增大。可以近似认为，系统的响应主要取决于虚部最小的极点。12/28/202219第三节 控制系统的频域分析q频率响
12、应是指系统对正弦输入信号的稳态响应，从频率响应中可以得出带宽、增益、转折频率、闭环稳定性等系统特征。频率法所研究的问题，仍然是自动控制系统控制过程的稳定性、快速性及稳态精度等性能。q根据系统频率响应特性来研究系统稳定性的优点是：（1）不需求解特征方程的根；（2）频率响应实验简便又准确。一、频域分析的一般方法12/28/202220频域性能指标v峰值Am 是幅频特性A()的最大值。峰值大则表明系统平稳性差。v带宽b 是幅频特性A()的数值衰减到0.707A(0)时所对应的频率。b高表明快速性好。v相频宽b是()等于时所对应的频率。b高也反应系统快速性好。vA(0)是指零频率（0）时的振幅比。A(
13、0)的数值与1相差之大小，反映系统的稳态精度，A(0)越接近于1，系统的精度越高。q频率特性是指系统在正弦信号作用下，稳态输出与输入之比对频率的关系特性。频率特性函数与传递函数有直接的关系，记为：12/28/202221q采用频域分析法可直观地表达出系统的频率特性，分析方法比较简单，物理概念比较明确，对于改善系统稳定性和暂态性能等问题，都可以从系统的频率特性上明确地看出其物理实质和解决途经。q通常将频率特性用曲线的形式进行表示，包括对数频率特性曲线和幅相频率特性曲线简称幅相曲线，MATLAB提供了绘制这两种曲线的函数。q求取系统对数频率特性图（波特图）：bode()q求取系统奈奎斯特图（幅相曲
14、线图或极坐标图）：nyquist()12/28/2022221、对数频率特性图（波特图）q对数频率特性图包括了对数幅频特性图和对数相频特性图。横坐标为频率w，采用对数分度，单位为弧度/秒；纵坐标均匀分度，分别为幅值函数20lgA(w)，以dB表示；相角，以度表示。qMATLAB提供了函数bode()来绘制系统的波特图，其用法如下：qbode(a,b,c,d)：自动绘制出系统的一组Bode图，它们是针对连续状态空间系统a,b,c,d的每个输入的Bode图。其中频率范围由函数自动选取，而且在响应快速变化的位置会自动采用更多取样点。12/28/202223qbode(a,b,c,d,iu)：可得到从
15、系统第iu个输入到所有输出的波特图。qbode(num,den)：可绘制出以连续时间多项式传递函数表示的系统的波特图。qbode(a,b,c,d,iu,w)或bode(num,den,w)：可利用指定的角频率矢量绘制出系统的波特图。q当带输出变量mag,pha,w或mag,pha引用函数时，可得到系统波特图相应的幅值mag、相角pha及角频率点w矢量或只是返回幅值与相角。相角以度为单位，幅值可转换为分贝单位：magdb=20log10(mag)12/28/202224exp04_13.m典型二阶系统设自然振荡频率n=10，阻尼系数=0.2，0.6，1时的波特图结果分析：从图中可以看出，二阶连续
16、系统在阻尼系数很小时，其幅频特性在转折频率处出现谐振峰值，相频特性在这个频率附近迅速下降。随着的增加，幅频特性的峰值减小，在阻尼系数=0.7后，幅频特性单调下降，相频特性的下降也趋于平缓。exp04_14.m12/28/202225Nyquist稳定判据系统稳定的充要条件为：当由0变化时，开环幅相特性曲线(Nyquist曲线)按逆时针包围临界点(-1,j0)的圈数R，等于开环传递函数位于s右半平面的极点数P，否则闭环系统不稳定，闭环正实部特征根个数Z=P-R。若刚好过临界点，则系统临界稳定。Nyquist曲线是根据开环频率特性在复平面上绘出的幅相轨迹，根据开环的Nyquist曲线，可以判断闭环
17、系统的稳定性。乃奎斯特稳定判据，提示了系统开环幅相特性G(j)和系统闭环稳定性的本质联系。2、奈奎斯特图（幅相频率特性）12/28/202226q对于频率特性函数G(jw)，给出w从负无穷到正无穷的一系列数值，分别求出Im(G(jw)和Re(G(jw)。以Re(G(jw)为横坐标，Im(G(jw)为纵坐标绘制成为极坐标频率特性图。在极坐标图上能显示出系统在整个频率域的频率响应特性。q应用奈奎斯特稳定判据来检查线性系统稳定性时，可能有三种情况：1）不包围-1+j0点，如果在右半s平面无极点，系统稳定，否则不稳定2）反时针包围-1+j0点，如果反时针包围的次数等于在右半s平面极点数，系统稳定，否则
18、不稳定。3）顺时针包围-1+j0点，系统不稳定。12/28/202227MATLAB中函数nyquist()来绘制系统的极坐标图，用法如下：qnyquist(a,b,c,d)：绘制出系统的一组Nyquist曲线，每条曲线相应于连续状态空间系统a,b,c,d的输入/输出组合对。其中频率范围由函数自动选取，而且在响应快速变化的位置会自动采用更多取样点。qnyquist(a,b,c,d,iu)：可得到从系统第iu个输入到所有输出的极坐标图。12/28/202228qnyquist(num,den)：可绘制出以连续时间多项式传递函数表示的系统的极坐标图。qnyquist(a,b,c,d,iu,w)或n
19、yquist(num,den,w)：可利用指定的角频率矢量绘制出系统的极坐标图。q当不带返回参数时，直接在屏幕上绘制出系统的极坐标图（图上用箭头表示w的变化方向，负无穷到正无穷）。当带输出变量re,im,w引用函数时，可得到系统频率特性函数的实部re和虚部im及角频率点w矢量（为正的部分）。可以用plot(re,im)绘制出对应w从负无穷到零变化的部分。12/28/202229exp04_15.m已知系统开环传递函数为：G(s)=2500(2s+1)(0.025s+1)2/s2(0.1s-1)(0.2s-1)(0.0025s+1)求系统的极坐标频率特性图(Nyquist曲线)结果分析：可以看出
20、，系统在s右半平面的极点数为2（s=10，s=5）当由0变化时，开环幅相特性曲线按逆时针包围临界点(-1,j0)的圈数为2，等于开环传递函数位于s右半平面的极点数，系统稳定。12/28/202230exp04_16.m已知系统的传递函数为：G(s)=K(0.5s+1)/s(s-1)，求当K分别取1和3时，系统的极坐标频率特性图(Nyquist曲线)结果分析：可以看出，系统在s右半平面的极点数为1（s=1）当由0变化时，开环幅相特性曲线按逆时针包围临界点(-1,j0)的圈数为1，等于开环传递函数位于s右半平面的极点数，系统稳定，否则不稳定。12/28/202231稳定裕度稳定裕度是一个闭环稳定系
21、统稳定程度的指标。常用的有相角稳定裕度gm和幅值稳定裕度pm。幅值裕度gm是在相角为-180度处使开环增益为1的增益量，如在-180度相频处的开环增益为g，则幅值裕度gm=1/g；若用分贝值表示幅值裕度，则gm=-20*log10(g)。类似地，相角裕度pm是当开环增益为1.0时，相应的相角与180度角的和。幅值裕度gm只是表征系统稳定程度的指标之一，它表示系统的开环传递系数增大到原来的gm倍，则系统处于临界稳定状态。相角裕度pm表示：如果系统对频率信号的相角滞后再增大pm度，则系统处于临界稳定状态。应用gm、pm这两个指标能较好地表征系统的稳定程度。二、常用频域分析函数12/28/20223
22、2MATLAB除了提供前面介绍的基本频域分析函数外，还提供了大量在工程实际中广泛应用的库函数，由这些函数可以求得系统的各种频率响应曲线和 特征值。如：margin：求幅值裕度和相角裕度及对应的转折频率freqs：模拟滤波器特性nichols：求连续系统的尼科尔斯频率响应曲线（即对数幅相曲线）ngrid：尼科尔斯方格图12/28/2022331、margin()函数qmargin函数可以从频率响应数据中计算出幅值裕度、相角裕度以及对应的频率。幅值裕度和相角裕度是针对开环SISO系统而言，它指示出系统闭环时的相对稳定性。当不带输出变量引用时，margin可在当前图形窗口中绘制出带有裕量及相应频率显
23、示的Bode图，其中幅值裕度以分贝为单位。q幅值裕度是在相角为-180度处使开环增益为1的增益量，如在-180度相频处的开环增益为g，则幅值裕度为1/g；若用分贝值表示幅值裕度，则等于：-20*log10(g)。类似地，相角裕度是当开环增益为1.0时，相应的相角与180度角的和。12/28/202234（1）margin(num,den)：计算出连续(开环)系统传递函数表示的幅值裕度和相角裕度并绘制相应波特图。类似，margin(a,b,c,d)可以计算出连续状态空间系统表示的幅值裕度gm和相角裕度pm并绘制相应波特图。（2）gm,pm,wcg,wcp=margin(num,den)：由幅值m
24、ag（不是以dB为单位）、相角phase及角频率w矢量计算出系统幅值裕度gm和相角裕度pm及相应的相角交界频率wcg、截止频率wcp，而不直接绘出Bode图曲线。（3）gm,pm,wcg,wcp=margin(m,p,w)：给定频率特性的参数向量、幅值m（不是以dB为单位）、相角p及角频率w，由插值法计算幅值裕度gm和相角裕度pm。12/28/202235exp04_18.m exp4_19.m（1）由幅值、相角及角频率w矢量计算系统幅值裕度gm和相角裕度pm及相应的相角交界频率wcg、截止频率wcp（2）由幅值m、相角p及角频率w由插值法计算幅值裕度gm和相角裕度pmgm1,gm2;pm1,
25、pm2;wcp1,wcp2;wcg1,wcg2 比较计算结果12/28/2022362、freqs()函数q用于计算由矢量a和b构成的模拟滤波器H(s)=B(s)/A(s)的复频响应。qh=freqs(b,a,w)用于计算模拟滤波器的幅频响应，其中实矢量w用于指定频率值，返回值h为一个复数行向量，要得到幅值必须对它取绝对值，即求模。qh,w=freqs(b,a)自动设定200个频率点来计算频率响应，这200个频率值记录在w中。qh,w=freqs(b,a,n)设定n个频率点计算频率响应。q不带输出变量的freqs函数，将在当前图形窗口中绘制出幅频和相频曲线，其中幅相曲线对纵坐标与横坐标均为对数
26、分度。12/28/202237h,wfrqz(b，a，n)可得到数字滤波器n个点的复频响应，这n个点均匀地分布在上半单位圆(即0)，并将这n点频率记录在w中，相应的频率响应记录在h中。n值的选择没有太多的限制，只要n0的整数，但最好能选取2的幂次方，这样就可采用FFT算法进行快速计算。如果缺省，则n512。h,ffrqz(b,a,n,Fs)允许指定采样终止频率Fs(以Hz为单位)，也即在0Fs2频率范围内选取n个频率点(记录在f中)，并计算相应的频率响应h。freqz（）:用于计算由矢量a和b构成的数字滤波器H(z)=B(z)/A(z)的复频响应H(j)。12/28/202238h，wfreq
27、z(b，a，n，whole)表示在02之间均匀选取n个点计算频率响应。h，ffreqz(b，a，n，whole,Fs)则在0Fs之间均匀选取n个点计算频率响应。hfreqz(b,a,w)计算在矢量w中指定的频率处的频率响应，但必须注意，指定的频率必须介于02之间。hfreqz(b，a，f，Fs)计算在矢量f中指定频率处的频率响应，但指定频率必须介于0Fs之间。不带输出变量的freqz函数可在当前图形窗口中绘制出幅频和相频特性曲线。12/28/202239exp04_20.mexp04_21.m12/28/2022403、nichols（）图线由Nyquist曲线来确定闭环系统频率响应时，应用等
28、幅值轨迹（M圆）和等相角轨迹（N圆）分析是非常方便的。在对数幅相平面上作出M轨迹和N轨迹，由M轨迹和N轨迹构成的图线就称为nichols图线。nichols图线对称于-180轴线。每隔360M轨迹和N轨迹重复依次，且在每个180的间隔上都是对称的。M轨迹汇集在临界点（0dB，-180）附近。若把开环频率响应曲线重叠在nichols图线上，那么，开环频率响应曲线与M轨迹和N轨迹的交点，就给出了每一频率上闭环频率响应的幅值和相角。如果开环频率响应曲线与M轨迹M=Mr相切，那么闭环频率响应的谐振峰值由Mr给定，切点的频率就是谐振频率。响应曲线轨迹与M=-3dB轨迹交点的频率就是闭环系统的带宽。12/
29、28/202241nichols：求连续系统的尼科尔斯频率响应曲线（即对数幅相曲线）nichols(num,den)or nichols(a,b,c,d)：给定开环系统的数学模型，尼柯尔斯图线作图。频率w的范围自动给定。可由ngrid命令在尼氏图上作尼氏网格线nichols(num,den,w)or nichols(a,b,c,d,w)：给定开环系统的数学模型，尼柯尔斯图线作图。频率w的范围人工给定，可由ngrid命令在尼氏图上作尼氏网格线。12/28/202242m,p,w=nichols(num,den)orm,p,w=nichols(a,b,c,d)：返回变量格式，不作图。其中m为频率特
30、性G(j)的幅值向量，m=G(j)；p为频率特性G(j)的幅角向量，pargG(j)，单位为度(。)；w为频率向量ngrid：在尼氏图上作尼氏网格线 Logspace()：对数等分向量Logspace(d1,d2)：从10d1到10d2之间做对数等分分度，产生50个元素的对数等间隔向量。Logspace(d1,d2,n)：从10d1到10d2之间做对数等分分度，给定等分数n。semilogx()：半对数绘图命令12/28/202243exp04_22.m已知系统的开环模型为 G(s)=1/s(s+1)作尼柯尔斯图。exp04_23.m从曲线上可以查出，开环频率响应曲线与M轨迹相切于1dB，所以
31、系统的闭环谐振峰值大约为1dB。切点的频率就是谐振频率，大约为0.57raed/s,响应曲线轨迹与M=-3dB轨迹交点的频率就是闭环系统的带宽，大约为1.26raed/s。已知系统的开环模型为 G(s)=k/s(s+1)(s+2)，当k=2，k=10时，分别作尼柯尔斯图。从图中曲线可知，k=2时，系统大约有6dB左右的闭环谐振峰值；k=10时，曲线已切过无穷大点，因此系统是不稳定的。12/28/202244三、频域分析应用实例结果分析：Nyquist曲线不包围-1+j0点，且在右半s平面无极点，系统稳定。系统稳定的临界增益k0=11.0909，当系统增益k0dB，相位裕度pm0，系统稳定；k1
32、1时，gm0dB，pm0系统不稳定。exp04_24.m已知某系统的开环传递函数为G(s)=1/s(0.5s+1)(0.1s+1)，（1）绘制系统的Nyquist曲线，判断闭环系统的稳定性。（2）由插值函数spline()确定系统稳定的临界增益k012/28/202245exp04_25.m已知某系统的开环传递函数为G(s)=26/(s+6)(s-1)，求（1）绘制系统的Nyquist曲线，判断闭环系统的稳定性。（2）给系统增加一个开环极点p=2，求Nyquist曲线，判断系统稳定性，并绘制系统单位阶跃响应曲线和零极点图。结果分析：（1）Nyquist曲线逆时针包围-1+j0点1次，与右半s平
33、面极点数相等，系统稳定。（2）系统增加一个开环极点p=2后，Nyquist曲线不包围-1+j0点，与在右半s平面极点数不相等，系统不稳定。12/28/202246exp04_26.m线性时不变系统如下所示，要求绘制系统的Bode图和Nyquist曲线，判断系统稳定性，如果系统稳定，求出系统稳定裕度，并绘制系统单位冲激响应验证判断结论。12/28/202247Pade函数可以近似表示延时环节e(-at)，它的调用格式为：(num,den)=pade(t,n)：产生最佳逼近时延t秒的n阶传递函数形式。(a,b,c,d)=pade(t,n)：产生的是n阶SISO的状态空间模型。exp04_27.m系
34、统传递函数为求出有理传递函数的频率响应，绘制以四阶pade近似表示的系统频率响应。12/28/202248exp04_28_1.m系统结构图如下所示，用奈奎斯特曲线判断系统的稳定性。其中 12/28/202249结果分析：从两个图的第2子图的脉冲响应看出，两系统开环不稳定。从figure(1)第4子图的闭环脉冲响应看出系统1不稳定。从奈奎斯特图上分析，因为系统开环有一个右半平面极点（s=1.2），奈奎斯特曲线必须以反时针绕（-1，0）点转一圈，系统才是稳定的。系统1的奈奎斯特曲线是顺时针方向，因此系统1不稳定；系统2的奈奎斯特曲线是反时针方向，因此系统2稳定。系统传递函数为画出其奈奎斯特图，判
35、别其闭环稳定性。在此系统上加一个零点z=（s+0.5）后，再做同样的工作。exp04_28_2.m12/28/202250第四节 控制系统的根轨迹分析q控制系统的稳定性，由其闭环极点唯一地来确定。而控制系统过渡过程的基本特性，则与其闭环零极点在S平面上分布的位置有关。根轨迹法是在已知控制系统开环传递函数的零极点分布的基础上，研究某一参数变化时对系统闭环传递函数极点分布的影响。q所谓根轨迹是指，当开环系统某一参数从零变到无穷大时，闭环系统特征方程的根在s平面上跟随变化的轨迹。一般来说，这一参数选作开环系统的增益K，而在无零极点对消时，闭环系统特征方程的根就是闭环传递函数的极点。q绘制根轨迹实质上
36、是寻求闭环特征方程的根。一、根轨迹分析方法的概念12/28/202251绘制根轨迹的基本法则根轨迹的分支数：根轨迹的分支数等于闭环特征方程的阶数n（根轨迹的分支数等于闭环极点的数目）。根轨迹的连续性与对称性：根轨迹连续且对称于实轴。根轨迹的起点与终点：根轨迹起始于开环传递函数的极点，终止于开环传递函数的零点。如果开环零点数目m小于开环极点数目n，则有n-m条根轨迹终止于无穷远处。实轴上的根轨迹：实轴上的根轨迹区段的右侧，开环零、极点数目之和应为奇数。根轨迹分析方法是分析和设计线性定常控制系统的图解方法，使用十分简便。利用它可以对系统进行各种性能分析。例exp04_29.m12/28/20225
37、2（1）稳定性当开环增益K从零到无穷大变化时，图中的根轨迹不会越过虚轴进入右半s平面，因此这个系统对所有的K值都是稳定的。如果根轨迹越过虚轴进入右半s平面，则其交点的K值就是临界稳定开环增益。（2）稳态性能开环系统在坐标原点有一个极点，因此根轨迹上的K值就是静态速度误差系数，如果给定系统的稳态误差要求，则可由根轨迹确定闭环极点容许的范围。12/28/202253（3）动态性能当0K0.5时，闭环极点为复数极点，系统为欠阻尼系统，单位阶跃响应为阻尼振荡过程，且超调量与K成正比。12/28/202254二、根轨迹分析函数通常来说，绘制系统的根轨迹是很繁琐的事情，因此在教科书中介绍的是一种按照一定规
38、则进行绘制的概略根轨迹。在MATLAB中，专门提供了绘制根轨迹的有关函数。pzmap：绘制线性系统的零极点图rlocus：求系统根轨迹。rlocfind：计算给定一组根的根轨迹增益。sgrid：在连续系统根轨迹图和零极点图中绘制出阻尼系数和自然频率栅格。12/28/2022551、零极点图绘制 exp04_30.mMATLAB提供了函数pzmap()来绘制系统的零极点图：qp,z=pzmap(a,b,c,d)：返回状态空间描述系统的极点矢量和零点矢量，而不在屏幕上绘制出零极点图。qp,z=pzmap(num,den)：返回传递函数描述系统的极点矢量和零点矢量，而不在屏幕上绘制出零极点图。qpz
39、map(a,b,c,d)或pzmap(num,den)：不带输出参数项，则直接在s复平面上绘制出系统对应的零极点位置，极点用表示，零点用o表示。qpzmap(p,z)：根据系统已知的零极点列向量或行向量直接在s复平面上绘制出对应的零极点位置，极点用表示，零点用o表示。12/28/2022562、根轨迹图绘制MATLAB提供了函数rlocus()来绘制系统的根轨迹图：qrlocus(a,b,c,d)或者rlocus(num,den)：根据SISO开环系统的状态空间描述模型和传递函数模型，直接在屏幕上绘制出系统的根轨迹图。开环增益的值从零到无穷大变化。qrlocus(a,b,c,d,k)或rloc
40、us(num,den,k)：通过指定开环增益k的变化范围来绘制系统的根轨迹图。q若给出传递函数描述系统的分子项num为负，则利用rlocus函数绘制的是系统的零度根轨迹。（正反馈系统或非最小相位系统）exp04_31_1.m exp04_31_2.m12/28/2022573、rlocfind()函数MATLAB提供了函数rlocfind()来找出给定的一组根（闭环极点）对应的根轨迹增益。其用法如下：qk,p=rlocfind(a,b,c,d)或者k,p=rlocfind(num,den)它要求在屏幕上先已经绘制好有关的根轨迹图。然后，此命令将产生一个光标以用来选择希望的闭环极点。命令执行结果
41、：k为对应选择点处根轨迹开环增益；p为此点处的系统闭环特征根。q不带输出参数项k,p时，同样可以执行，只是此时只将k的值返回到缺省变量ans中。exp04_31_3.m12/28/202258qsgrid：在现存的屏幕根轨迹或零极点图上绘制出自然振荡频率wn、阻尼比矢量z对应的格线。qsgrid(new)：是先清屏，再画格线。qsgrid(z,wn)：则绘制由用户指定的阻尼比矢量z、自然振荡频率wn的格线。4、sgrid()函数12/28/202259三、根轨迹分析应用实例例exp04_32.m例exp04_33.m已知系统开环传递函数模型要求绘制闭环系统的根轨迹，并确定交点处的增益K。已知系
42、统开环传递函数模型要求绘制闭环系统的根轨迹，分析稳定性，并绘制当K=54和K=56时的系统闭环脉冲响应。利用函数k,p=rlocfind(num,den);找出根轨迹与虚轴的交点处的增益，即系统临界稳定增益K0，当KK0时，系统不稳定。12/28/202260例exp04_34.m系统开环传递函数为G(s)=k/s(s+1)(s+2)试寻找一个合适的k值使得闭环系统具有较理想的阶跃响应。通过sgrid指令可以绘出指定阻尼比z（射线）和自然振荡频率wn（圆）的栅格线。通过rlocfind，配合前面所画的z及wn栅格线，可以找出能产生主导极点阻尼比z=0.707的合适增益12/28/202261例
43、exp04_35.m系统开环传递函数为G(s)=1/(s4+12s3+30s2+50s)画出系统的根轨迹，并试寻找出临界点（即根在虚轴上）的增益k值。转成系统的离散模型sd。先建立系统的连续模型s，然后用rlocus(s)函数画它的根轨迹，键入rlocfind(s)函数，用鼠标选择根轨迹与虚轴的交点，即临界点。然后转成系统的离散模型sd，用鼠标求临界点及k值。连续系统和离散系统根平面之间的映射关系。s平面的左半平面映射为z平面圆的内部。s平面上的虚轴映射为z平面单位圆边界，s平面上的原点映射为z平面上的点(1，0)，而s平面上的无穷远点映射为z平面上的点(-1，0)。12/28/202262v控制系统的分析是进行控制系统设计的基础，同时也是工程实际当中解决问题的主要方法，因而对控制系统的分析在控制系统仿真中具有举足轻重的作用。v通过求取系统的零极点增益模型直接获得系统的零极点，从而可以直接对控制系统的稳定性及是否为最小相位系统作出判断。v控制系统的经典分析方法（时域、频域分析）是目前控制系统界进行科学研究的主要方法，是进行控制系统设计的基础，要求掌握单位阶跃响应、波特图等常用命令的使用。v根轨迹分析是求解闭环特征方程根的简单的图解方法，要求掌握根轨迹的绘制。本章小结12/28/202263