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1、第八章 Z变换、离散时间系统的Z域分析8.1 引言求解差分方程的工具，类似于拉普拉斯变换；求解差分方程的工具，类似于拉普拉斯变换；z变换的历史可是追溯到变换的历史可是追溯到18世纪；世纪；20世纪世纪5060年代抽样数据控制系统和数字计算机的年代抽样数据控制系统和数字计算机的研究和实践，推动了研究和实践，推动了z变换的发展；变换的发展；70年代引入大学课程；年代引入大学课程；今后主要应用于今后主要应用于DSP分析与设计，如语音信号处理等分析与设计，如语音信号处理等问题。问题。本章主要讨论：本章主要讨论：拉氏变换的定义、收敛域、性质，与傅氏变换和拉氏拉氏变换的定义、收敛域、性质，与傅氏变换和拉氏
2、变换的关系；利用变换的关系；利用z变换解差分方程；变换解差分方程；利用利用z平面零极点的分布研究系统的特性平面零极点的分布研究系统的特性。一引言一引言二z变换的导出抽样信号的拉氏变换抽样信号的拉氏变换离散信号的离散信号的z变换变换对对 取拉氏变换取拉氏变换三对z变换式的理解说明若双边序列取单边若双边序列取单边z变换，或对因果信号（有起因序变换，或对因果信号（有起因序列）列）存在的序列取存在的序列取z z变换变换 8.2 z变换的定义、典型序列的z变换z变换的定义一单位样值函数二单位阶跃序列三斜变序列的z变换已知已知 两边同时乘以两边同时乘以z-1，可得，可得（用间接方法求）（用间接方法求）同理
3、可得n是是离散离散变量，所以对变量，所以对n没有没有微积分运算；微积分运算；z是是连续连续变量，所以对变量，所以对z有有微积分运算。微积分运算。四指数序列1 1右边序列右边序列注意：注意：z 变换相同时，左边序列的定义。变换相同时，左边序列的定义。五正弦与余弦序列 单边余弦序列单边余弦序列同理同理8.3 z变换的收敛域一收敛域的定义收敛的所有收敛的所有z 值值之之集合集合为收敛域。为收敛域。对于任意给定的序列对于任意给定的序列x(n)，能使，能使ROC:Regionofconvergence不同的不同的x(n)的的z变换，由于收敛域不同，可能对应于相变换，由于收敛域不同，可能对应于相同的同的z
4、 变换，故在确定变换，故在确定z 变换时，变换时，必须指明收敛域。必须指明收敛域。二两种判定法1 1比值判定法比值判定法若有一个正项级数，若有一个正项级数，则：则：1：发散：发散即令正项级数的一般项即令正项级数的一般项的的n次根的极限等于次根的极限等于，则则 1：发散：发散2 2根值判定法根值判定法三讨论几种情况1有限长序列的收敛域2右边序列的收敛3左边序列的收敛4双边序列的收敛2右边序列的收敛ROC：3左边序列的收敛ROC:4双边序列的收敛四总结x(n)的收敛域（的收敛域（ROC）为）为z 平面以原点为中心平面以原点为中心的圆环；的圆环；ROC内内不包含任何极点不包含任何极点（以极点为边界）
5、；（以极点为边界）；有限长序列有限长序列的的ROC为整个为整个z 平面平面（可能除去（可能除去z=0和和z=）；）；右右边序列的边序列的ROC为为的圆的圆外外；左左边序列的边序列的ROC为为的圆的圆内内；双双边序列的边序列的ROC为为的圆环。的圆环。所以，收敛域为所以，收敛域为 的的z平面。平面。例8-3-1例8-3-2若该序列收敛，则要求若该序列收敛，则要求即收敛域为：即收敛域为：例8-3-3收敛域为：收敛域为：例8-3-4ROC:8.4 逆z变换一部分分式展开法1z变换式的一般形式 2求逆z变换的步骤3极点决定部分分式形式对一阶极点对一阶极点高阶极点（重根）二幂级数展开法z z变换式一般是
6、变换式一般是z的的有理函数有理函数，可表示为：，可表示为：直接用长除法进行逆变换直接用长除法进行逆变换（是一个（是一个z z 的幂级数）的幂级数）1幂级数展开法2右边序列的逆z变换3左边序列的逆z变换三围线积分法求z反变换1z逆变换的围线积分表示 得得z逆变换公式逆变换公式用留数定理求围线积分。用留数定理求围线积分。推导在在 的的收敛域收敛域内，选择一条内，选择一条包围坐标原点的包围坐标原点的逆时针逆时针方向的围方向的围线线C，的全部极点都在积的全部极点都在积分路线的内部。分路线的内部。积分与求和互换积分与求和互换推导推导应用柯西定理2用留数定理求围线积分围线积分等于围线围线积分等于围线C内所
7、有极点的留数之和内所有极点的留数之和单阶极点单阶极点k重极点重极点右边序列右边序列左边序列左边序列围线积分等于围线围线积分等于围线C外所有极点的留数之和外所有极点的留数之和例8-4-1例8-4-2例8-4-3同理：同理：B2 查表查表收敛域与原函数的对应右右右右右左右左左左左左例8-4-4例8-4-5(2)n=0(3)验证验证前例用部分分式展开法得到的结果前例用部分分式展开法得到的结果结果相同结果相同8.5 z变换的基本性质一线性a,b为任意常数。为任意常数。ROC：一般情况下，取二者的一般情况下，取二者的重叠重叠部分部分某些线性组合中某些某些线性组合中某些零点与极点相抵消零点与极点相抵消，则
8、收敛域可能扩，则收敛域可能扩大。大。(表现为叠加性和均匀性）表现为叠加性和均匀性）原序列不变，只影响在时间轴上的位置。原序列不变，只影响在时间轴上的位置。1双边z变换的位移性质2单边z变换的位移性质若若x(n)为双边序列，其为双边序列，其单单边边z变换为变换为(1)左移位性质(2)右移位性质而而左左移位序列的移位序列的单单边边z变换变换不变不变。三序列线性加权共共求导求导m次次四序列指数加权同理同理证明：证明：（z z域尺度变换）域尺度变换）五初值定理推理推理x(1)？理解理解六终值定理无无无无有，有，1有，有，0例题终值存在的条件(1)X(z)的极点位于单位圆内，收敛半径小于的极点位于单位圆
9、内，收敛半径小于1，有终值，有终值;例：例：，终值为，终值为0(2)若极点位于单位圆上，只能位于若极点位于单位圆上，只能位于，并且是一阶，并且是一阶极点。极点。注意：注意：和系统和系统稳定性稳定性条件区别，系统稳定性条件条件区别，系统稳定性条件只有第只有第一条一条。例：例：u(n)，终值为，终值为1七时域卷积定理收敛域：收敛域：一般情况下，取二者的重叠部分一般情况下，取二者的重叠部分即即描述：描述：两序列在两序列在时时域中的域中的卷积卷积的的z变换等效于在变换等效于在z域中域中两序列两序列z变换的变换的乘积乘积。注意：注意：如果在某些如果在某些线性组合线性组合中某些中某些零零点与极点相抵消点与
10、极点相抵消，则收敛域则收敛域可能扩大可能扩大。八z域卷积定理（自阅）例8-5-1 解：解：已知已知并且并且同理同理同理例8-5-2零极点相消，收敛域扩大为整个零极点相消，收敛域扩大为整个z平面。平面。例8-5-3 方程两边取方程两边取z变换变换带入边界条件带入边界条件解：解：解续整理为整理为例8-5-4 解：解：例8-5-5收敛域：收敛域：同理：同理：解：解：例8-5-6另外，因为分子比分母另外，因为分子比分母低低一次，所以一次，所以x(0)=0。解：解：例8-5-7解：解：由由Y(z)求求y(n)证明初值定理证明时域卷积定理因为因为 所以所以根据双边根据双边z变换的定义可得变换的定义可得证明
11、双边z变换的位移性证明右移位性质根据根据单边单边z变换的定义，可得变换的定义，可得证明左移位性质根据根据单边单边z变换的定义，可得变换的定义，可得8.6 z变换与拉普拉斯变换的关系代入代入比较比较一z平面与s平面的映射关系s平面平面z平面平面几种情况（1 1）s s平面的原点平面的原点 ，z z平面平面 ，即，即 。左半平面左半平面虚轴虚轴右半平面右半平面左向右移左向右移单位圆内单位圆内单位圆上单位圆上 单位圆外单位圆外半径扩大半径扩大（2 2）（3 3）（4 4）zs映射不是单值的。映射不是单值的。二z变换与拉式变换表达式之对应 注意：注意：连续时间信号的突变点函数值与对应的序列样值有区别。
12、连续时间信号的突变点函数值与对应的序列样值有区别。容易求得，它的拉式变换为容易求得，它的拉式变换为注意跳变值注意跳变值借助模拟滤波器借助模拟滤波器设计数字滤波器设计数字滤波器注意跳变值解：解：例8-6-1解：解：已知已知例8-6-28.7 用z变换解差分方程序言 描述离散时间系统的数学模型为差分方程。求解差分描述离散时间系统的数学模型为差分方程。求解差分方程是我们分析离散时间系统的一个重要途径。方程是我们分析离散时间系统的一个重要途径。求解线性时不变离散系统的差分方程有两种方法：求解线性时不变离散系统的差分方程有两种方法：时域方法时域方法第七章中介绍，烦琐第七章中介绍，烦琐z变换方法变换方法差
13、分方程经差分方程经z变换变换代数方程；代数方程；可以将时域卷积可以将时域卷积频域（频域（z域）乘积；域）乘积；部分分式分解后将求解过程变为查表；部分分式分解后将求解过程变为查表；求解过程自动包含了初始状态（相当于求解过程自动包含了初始状态（相当于0 0-的的条件）。条件）。一应用z变换求解差分方程步骤(1)对差分方程进行对差分方程进行单边单边z变换变换（移位性质移位性质）；(2)由由z变换方程求出响应变换方程求出响应Y(z)；(3)求求Y(z)的反变换，得到的反变换，得到y(n)。一步骤二差分方程响应y(n)的起始点确定全全响应响应y(n)根据根据输入输入信号信号加上加上的时刻定的时刻定对因果
14、对因果系统系统y(n)不可能出现在不可能出现在x(n)之前之前观察观察Y(z)分子分母分子分母的幂次的幂次分母分母高高于分子的于分子的次数次数是响应的是响应的起点起点三差分方程解的验证例8-7-1(原教材例7-10(2)解：解：方程两端取方程两端取z变换变换例8-7-2解：解：已知系统框图已知系统框图列出系统的差分方程。列出系统的差分方程。求系统的响应求系统的响应y(n)。（1）列差分方程，从加法器入手列差分方程，从加法器入手（3）差分方程两端取）差分方程两端取z变换，利用右移位性质变换，利用右移位性质（2）a.由激励引起的零状态响应由激励引起的零状态响应零状态响应为零状态响应为即即b.由储能
15、引起的零输入响应由储能引起的零输入响应即即零输入响应为零输入响应为c.整理（整理（1）式得全响应）式得全响应注意由方程解由方程解y(n)表达式可以得出表达式可以得出y(0)=0,y(1)=0，和已知条件，和已知条件一致。一致。或或验证8.8 离散系统的系统函数一单位样值响应与系统函数1.1.定义定义2.2.h(n)和和H(z)为一对为一对z z变换变换对对1定义线性时不变离散系统由线性常系线性时不变离散系统由线性常系数差分方程描述，一般形式为数差分方程描述，一般形式为 激励为因果序列激励为因果序列系统处于零状态系统处于零状态上式两边取上式两边取z变换得变换得 只与系统的差分只与系统的差分方程的
16、方程的系数、结构系数、结构有有关，描述了系统的关，描述了系统的特特性。性。2 h(n)和H(z)为一对z变换系统的零状态响应：系统的零状态响应：二系统函数的零极点分布对系统特性的影响1.1.由零极点分布确定单位样值响应由零极点分布确定单位样值响应2.2.离散系统的稳定性离散系统的稳定性3.3.系统的因果性系统的因果性1由零极点分布确定单位样值响应展成部分分式：（假设无重根）展成部分分式：（假设无重根）的极点，可以是不同的实数或共轭复数，的极点，可以是不同的实数或共轭复数，决定了决定了 的特性。其规律可能是指数衰减、上升，的特性。其规律可能是指数衰减、上升，或为减幅、增幅、等幅振荡。或为减幅、增
17、幅、等幅振荡。:与与H(z)的零点、极点分布都有关。的零点、极点分布都有关。由零极点分布确定单位样值响应(续)极点位置与h(n)形状的关系s平面平面z平面平面极点位置极点位置h(t)特点特点极点位置极点位置h(n)特点特点虚轴上虚轴上等幅等幅单位圆上单位圆上等幅等幅原点时原点时左半平面左半平面衰减衰减单位圆内单位圆内减幅减幅右半平面右半平面增幅增幅单位圆外单位圆外增幅增幅利用zs平面的映射关系2离散系统的稳定性对于稳定系统，只要输入是有界的，输出必对于稳定系统，只要输入是有界的，输出必定是有界的（定是有界的（BIBO)。(2)(2)稳定性判据稳定性判据(1)定义：定义：判判据据1 1：离离散散
18、系系统统稳稳定定的的充充要要条条件件：单单位位样样值值响响应应绝绝对对可和。可和。判据判据2 2：对于因果系统，其稳定的充要条件为：对于因果系统，其稳定的充要条件为：H(z)的全部极点应落在单位圆之内。即收敛域应包括单的全部极点应落在单位圆之内。即收敛域应包括单位圆在内位圆在内:。(3)连续系统和离散系统稳定性的比较 连续系统连续系统离散系统离散系统系统稳定的充要系统稳定的充要条件条件极点极点H(s)的极点全的极点全部在左半平面部在左半平面H(z)的极点全的极点全部在单位圆内部在单位圆内收敛域收敛域含虚轴的右半含虚轴的右半平面平面含单位圆的圆外含单位圆的圆外临界稳定的极点临界稳定的极点 沿虚轴
19、沿虚轴3系统的因果性系统因果性的判断方法：系统因果性的判断方法：z域：域：收敛域在圆外收敛域在圆外输出不超前于输入输出不超前于输入三补充1两个加法器情况下，列差分方程两个加法器情况下，列差分方程2如何由如何由H(z)列系统的差分方程列系统的差分方程例8-8-1则则解：解：求系统的零状态响应求系统的零状态响应在零状态条件下，对差分方程两边取单边在零状态条件下，对差分方程两边取单边z变换变换已知离散系统的差分方程为：已知离散系统的差分方程为：激励激励X例8-8-2下面方程所描述的系统是否为因果系统？下面方程所描述的系统是否为因果系统？解：解：输出未超前于输入，输出未超前于输入，所以是因果系统。所以
20、是因果系统。例8-8-3解：解：不稳定系统不稳定系统从时域判断从时域判断因果系统因果系统从从z域判断域判断极点在单位圆上，收敛域不包括单位圆极点在单位圆上，收敛域不包括单位圆不稳定（边不稳定（边界稳定）。界稳定）。h(n)为右边序列，收敛域为圆外，为因果系统。为右边序列，收敛域为圆外，为因果系统。例8-8-4LTILTI系统，系统，判断因果性、稳定性。，判断因果性、稳定性。注意：注意：对于因果系统，极点在单位圆内稳定。对于因果系统，极点在单位圆内稳定。从时域判断：从时域判断：不稳定不稳定从从z域判断：域判断：收敛域收敛域 ，极点在处，极点在处 ，是非因果系统，极点在单位圆内也不稳定。是非因果系
21、统，极点在单位圆内也不稳定。从时域判断：从时域判断：不是因果系统不是因果系统 例8-8-5解：解：分别取分别取z变换变换系统框图如下，求系统框图如下，求H(z),h(n)。方法：设中间序列方法：设中间序列w(n)列差分方程列差分方程例8-8-6解：解：分子分母同除以分子分母同除以z的最高次幂的最高次幂画出系统的框图为：画出系统的框图为：使用多个加法器使用多个加法器节省节省了延时单元。了延时单元。8.9 序列的傅里叶变换 （DTFT)一定义DTFT:Discrete-time Fourier transform为研究离散时间系统的频为研究离散时间系统的频率响应作准备，从抽样信率响应作准备，从抽样
22、信号的傅里叶变换引出：号的傅里叶变换引出：与z变换之关系逆变换表示表示1三种变换的比较变换名称变换名称傅里叶变傅里叶变换换拉普拉斯拉普拉斯变换变换z z变换变换信号类型信号类型变量变量二傅氏变换、拉氏变换、z变换的关系2频率的比较模拟角频率模拟角频率 ，量纲：弧度，量纲：弧度/秒；秒；数字角频率数字角频率 ，量纲：弧度；，量纲：弧度；是周期为是周期为 的周期函数的周期函数关系：关系：3s平面虚轴上的拉氏变换即为傅氏变换4.z平面单位圆上的z变换即为序列的傅氏变换（DTFT）8.10 离散时间系统的 频率响应特性一离散系统频响特性的定义正弦稳态（正弦序列作用下系统的稳态响应）正弦稳态（正弦序列作
23、用下系统的稳态响应）系统对不同频率的输入，产生不同的加权，这就是系系统对不同频率的输入，产生不同的加权，这就是系统的统的频率响应频率响应特性。特性。由系统函数得到频响特性输出对输入序列的相移输出对输入序列的相移离散时间系统在单位圆上的离散时间系统在单位圆上的z变换即为傅氏变换，即系变换即为傅氏变换，即系统的频率响应特性统的频率响应特性:输出与输入序列的幅度之比输出与输入序列的幅度之比：幅频特性：幅频特性：相频特性：相频特性通过本征函数透视系统的频响特性为输入序列的加权，为输入序列的加权，体现了系统对信号的处理功能。体现了系统对信号的处理功能。是是在单位圆上的动态，在单位圆上的动态，取决于系统的
24、特性。取决于系统的特性。单位圆上单位圆上离散系统（数字滤波器）的分类二频响特性的几何确定法几点说明小结 1.1.系统的频响特性系统的频响特性 ：幅频特性，输出与输入序列的幅度之比：幅频特性，输出与输入序列的幅度之比 ：相：相频频特性，输出对输入序列的相移特性，输出对输入序列的相移3.3.因为因为 是周期为是周期为 的周期函数，所以系统的频响的周期函数，所以系统的频响 特性特性 为周期为为周期为 的周期函数。的周期函数。4.4.是关于是关于 的偶函数，的偶函数，是关于是关于 的奇函数。的奇函数。2.2.系统的频率响应就是系统函数在单位圆上的动态，系统的频率响应就是系统函数在单位圆上的动态，因因
25、而变化，影响输出的幅度与相位。而变化，影响输出的幅度与相位。例8-10-1已知离散时间系统已知离散时间系统的框图如右图，求的框图如右图，求系统频率响应特性。系统频率响应特性。解：解：系统的差分方程系统的差分方程设系统为零状态的，方程两边取设系统为零状态的，方程两边取z z变换变换系统函数系统函数系统的频率响应特性幅频特性幅频特性相频特性相频特性频率响应特性曲线图图(1)幅频特性曲线幅频特性曲线图图(2)相频曲线相频曲线例8-10-2求下图所示一阶离散系统的频率响应。求下图所示一阶离散系统的频率响应。差分方程差分方程系统函数系统函数解：解：频响特性频响特性幅度响应幅度响应相位响应相位响应例8-10-3求图（求图（a）所示二阶离散系统的频率响应）所示二阶离散系统的频率响应。该系统的差分方程为该系统的差分方程为 系统函数写作系统函数写作 得到得到:其中其中 系统的频率响应为系统的频率响应为