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1、实验八z 变换及离散时间系统的Z 域分析一、实验名称：z变换及离散时间系统的Z 域分析二、实验目的（1）掌握利用 MATLAB 绘制系统零极点图的方法（2）掌握离散时间系统的零极点分析方法（3）掌握用 MATALB 实现离散系统频率特性分析的方法（4）掌握逆 Z 变换概念及 MATLAB 实现方法三、实验说明离散系统零极点线性时不变离散系统可用线性常系数差分方程描述，即00()()NMijija y nib x nj（8-1）其中()y k为系统的输出序列，()x k为输入序列。将式（ 8-1）两边进行 Z 变换的00()()()()()MjjjNiiib zYzBzHzXzA za z（8-
2、2）将式（ 8-2）因式分解后有：11()( )()MjjNiizqHzCzp（8-3）其中C为常数，(1, 2,)jqjM为()Hz的M个零点，(1, 2,)ipiN为()Hz的N个极点。系统函数()Hz的零极点分布完全决定了系统的特性， 若某系统函数的零极点已知，则系统函数便可确定下来。因此，系统函数的零极点分布对离散系统特性的分析具有非常重要意义。通过对系统函数零极点的分析，可以分析离散系统以下几个方面的特性：系统单位样值响应()h n的时域特性；离散系统的稳定性；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整
3、理 - - - - - - - 第 1 页，共 17 页 - - - - - - - - - 离散系统的频率特性；四、实验步骤、数据以及处理结果1零极点图的绘制设离散系统的系统函数为( )( )( )B zHzA z则系统的零极点可用MATLAB 的多项式求根函数roots()来实现，调用格式为：p=roots(A) 其中 A 为待根求多项式的系数构成的行矩阵，返回向量p则是包含多项式所有根的列向量。多项式根的MATLAB 命令举例如下：A=1 3/4 1/8; P=roots(A) 运行结果为：P = -0.5000 -0.2500 需注意的是， 在求系统函数零极点时， 系统函数可能有两种形
4、式： 一种是分子、 分母多项式均按 z 的降幂次序排列； 另一种是分子、 分母多项式均按1z的升幂次序排列。这两种方式在构造多项式系数向量时稍有不同。（1）()Hz按 z的降幂次序排列： 系数向量一定要由多项式最高次幂开始，一直到常数项，缺项要用 0 补齐；如34322( )3221zzHzzzzz其分子、分母多项式系数向量分别为A=1 0 2 0、B=1 3 2 2 1。（2）()Hz按1z的升幂次序排列：分子和分母多项式系数向量的维数一定要相同，不足的要用 0 补齐，否则0z的零点或极点就可能被漏掉。如11212()11124zHzzz其分子、分母多项式系数向量分别为A=1 2 0、B=1
5、 1/2 1/4。用 roots()求得()Hz的零极点后，就可以用plot()函数绘制出系统的零极点图。在MATLAB 中的 M 文件中定义函数ljdt 用于后期画图时调用。function ljdt(A,B) % The function to draw the pole-zero diagram for discrete system 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 17 页 - - - - - - - - - p=roots(A); %求系统极点q
6、=roots(B); %求系统零点p=p; %将极点列向量转置为行向量q=q; %将零点列向量转置为行向量x=max(abs(p q 1); %确定纵坐标范围x=x+0.1; y=x; %确定横坐标范围clf hold on axis(-x x -y y) %确定坐标轴显示范围w=0:pi/300:2*pi; t=exp(i*w); plot(t) %画单位园axis(square) plot(-x x,0 0) %画横坐标轴plot(0 0,-y y) %画纵坐标轴text(0.1,x,jImz) text(y,1/10,Rez) plot(real(p),imag(p),x) %画极点pl
7、ot(real(q),imag(q),o) %画零点title(pole-zero diagram for discrete system) % 标注标题hold off 绘制如下系统函数的零极点：（1）32323510( )375zzzHzzzz（2）11210.5()31148zHzzz(1)A=1 -3 7 -5; B=3 -5 10 0; ljdt(A,B) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 17 页 - - - - - - - - - (2)A=1
8、 3/4 1/8; B=1 -0.5 0; ljdt(A,B) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 17 页 - - - - - - - - - 2离散系统零极点分析（1）离散系统零极点分布与系统稳定性信号与系统课程已讲到离散系统稳定的条件为：时域条件：离散系统稳定的充要条件为()nh n，即系统单位样值响应绝对可和；Z 域条件：离散系统稳定的充要条件为系统函数()Hz的所有极点均位于Z 平面的单位圆内。对于三阶以下的低阶系统， 可以利用求根公式求出系统函数的
9、极点，从而判断系统的稳定性，但对于高阶系统，手工求解则显得十分困难，这时可以利用MATLAB 来实现。实现方法是调用前述的函数ljdt()绘出系统的零极点图，然后根据极点的位置判断系统的稳定性。例 2：系统函数如例 1 所示，判断两个系统的稳定性。解：由例 1 绘出的零极点图可以看出两个系统的稳定性分别为：第（1）个系统不稳定；第（2）个系统稳定。（2）零极点分布与系统单位样值时域特性的关系从 信号与系统 课程中已经得知， 离散系统的系统函数()Hz与单位样值响应()h n是一对 Z 变换对；因而，()Hz必然包含了()h n的固有特性。离散系统的系统函数可以写成11()( )()MjjNii
10、zqHzCzp（8-4）若系统的N个极点均为单极点，可将()Hz进行部分分式展开为：1( )Niiik zHzzp（8-5）由 Z 逆变换得：1()()()Nniiih nkpu n（8-6）从式（8-5）和（8-6）可以看出离散系统单位样值响应()h n的时域特性完全由系统函数()Hz的极点位置决定。从信号与系统的学习中已经得出如下规律：()Hz位于 Z 平面单位圆内的极点决定了()h n随时间衰减的信号分量；()Hz位于 Z 平面单位圆上的一阶极点决定了()h n的稳定信号分量；()Hz位于 Z 平面单位圆外的极点或单位圆上高于一阶的极点决定了()h n的随时间增长的信号分量；下面以例子证
11、明上述规律的正确性：例 3：已知如下系统的系统函数()Hz，试用 MATLAB 分析系统单位样值响应()h n的时域特性。（1）1()1Hzz，单位圆上的一阶实极点；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 17 页 - - - - - - - - - （2）21()2cos()18Hzzz，单位圆上的一阶共轭极点；（3）2( )(1)zHzz，单位圆上的二阶实极点；（4）1()0.8Hzz，单位圆内的一阶实极点；（5）21( )(0.5)Hzz，单位圆内的二阶实极
12、点；（6）1()1.2Hzz，单位圆外的一阶实极点；（1） a=1 -1; b=0 1; impz(b,a,10) a=1 -2*cos(pi/8) 1; b=0 0 1; impz(b,a,50) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 17 页 - - - - - - - - - a=1 -2 1; b=0 1 0; impz(b,a,10) a=1 -0.8; b=0 1; impz(b,a,10) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - -
13、- - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 17 页 - - - - - - - - - a=1 -1 0.25; b=0 0 1; impz(b,a,10) a=1 -1.2; b=0 1; impz(b,a,10) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 17 页 - - - - - - - - - 3、离散系统频率特性分析1离散系统的频率响应()jHe对于某因果稳定离散系统，如果激励序列为
14、正弦序列：0()sin()()x nAn u n则，根据信号与系统课程给出的结果有，系统的稳态响应为：()() sin()()jssynA Henu n定义离散系统的频率响应为()()()()jjjjzeHeHzHee其中，()jHe称为离散系统的幅频特性；()称为离散系统的相频特性；()jHe是以2为周期的周期函数， 只要分析()jHe在范围内的情况， 便可分析出系统的整个频率特性。2用 MATLAB 实现离散系统的频率特性分析方法（1）直接法设某因果稳定系统的系统函数()Hz，则系统的频响特性为：()()()()jjjjzeHeHzHeeMATLAB 提供了专门用于求离散系统频响特性的函数
15、freez()，调用 freqz()的格式有以下两种：H,w=freqz(B,A,N) B 和 A 分别为离散系统的系统函数分子、分母多项式的系数向量，N 为正整数，返回量 H 则包含了离散系统频响()jHe在0 范围内 N 个频率等分点的值，向量 w 则包含0 范围内 N 个频率等分点。调用中若N 默认，默认值为 512。H,w=freqz(B,A,N, whole ) 该调用格式将计算离散系统在0 2范围内 N 个频率等分点的频率响应()jHe的值。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - -
16、 - - - 第 9 页，共 17 页 - - - - - - - - - 因此，可以先调用freqz()函数计算系统的频率响应，然后利用abs()和 angle()函数及 plot()函数，即可绘制出系统在0 或0 2范围内的频响曲线。例 4：绘制如下系统的频响曲线0.5()zHzz解:B=1 -0.5; A=1 0; H,w=freqz(B,A,400,whole); Hf=abs(H); Hx=angle(H); clf figure(1) plot(w,Hf) title(离散系统幅频特性曲线) figure(2) plot(w,Hx) title(离散系统相频特性曲线)名师资料总结
17、- - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 17 页 - - - - - - - - - （2）几何矢量法利用几何矢量求解示意图如图8-4 所示。jjjjjeqB eijjiiepA e有：1212()1()()1()()MNMjjjjjjNjiiB eHeH eeA e则系统的幅频特性和相频特性分别为：11()MjjjNiiBHeA（8-7）11()MNjiji（8-8）根据式（ 8-7）和（ 8-8） ，利用 MATLAB 来求解频率响应的过程如下：根据系统函数()Hz定义分
18、子、分母多项式系数向量B和A；调用前述的 ljdt()函数求出()Hz的零极点，并绘出零极点图；定义 Z 平面单位圆上的k个频率分点；求出()Hz所有的零点和极点到这些等分点的距离；求出()Hz所有的零点和极点到这些等分点矢量的相角；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 17 页 - - - - - - - - - 根据式（ 8-7）和（ 8-8）求出系统的()jHe和()；绘制指定范围内系统的幅频曲线和相频曲线；下面是实现上述过程的实用函数dplxy()。有
19、四个参数： k 为用户定义的频率等分点数目；B 和 A 分别为系统函数分子、分母多项式系数向量；r 为程序绘制的频率特性曲线的频率范围（0 r） 。function dplxy(k,r,A,B) %The function to draw the frequency response of discrete system p=roots(A); %求极点q=roots(B); %求零点figure(1) ljdt(A,B) %画零极点图w=0:r*pi/k:r*pi; y=exp(i*w); %定义单位圆上的k 个频率等分点N=length(p); %求极点个数M=length(q); %求零
20、点个数yp=ones(N,1)*y; %定义行数为极点个数的单位圆向量yq=ones(M,1)*y; %定义行数为零点个数的单位圆向量vp=yp-p*ones(1,k+1); %定义极点到单位圆上各点的向量vq=yq-q*ones(1,k+1); %定义零点到单位圆上各点的向量Ai=abs(vp); %求出极点到单位圆上各点的向量的模Bj=abs(vq); %求出零点到单位圆上各点的向量的模Ci=angle(vp); %求出极点到单位圆上各点的向量的相角Dj=angle(vq); %求出零点到单位圆上各点的向量的相角fai=sum(Dj,1)-sum(Ci,1); %求系统相频响应H=prod
21、(Bj,1)./prod(Ai,1); %求系统幅频响应figure(2) plot(w,H); %绘制幅频特性曲线title(离散系统幅频特性曲线 ) xlabel(角频率 ) ylabel(幅度) figure(3) plot(w,fai) title(离散系统的相频特性曲线 ) xlabel(角频率 ) ylabel(相位) 例 5：已知某离散系统的系统函数为：115 / 4(1)()11/ 4zHzz，绘出该系统的零极点图及频响特性。例 5： A=1 -1/4; B=5/4 -5/4; dplxy(500,2,A,B) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - -
22、- - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 17 页 - - - - - - - - - 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 17 页 - - - - - - - - - 五、考试题解H(z)=(z2-2*z-1)/(2*z3-1) ; H(z)=(z2+2)/(z3+2*z2-4*z+1) (1)绘出系统的零极点图，根据零极点图判断系统稳定性。(2)如果系统稳定，绘出幅频特性和相频特性曲线。(
23、1) 系统 (1)：A=2 0 0 -1; B=0 1 -2 -1; ljdt(A,B)名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 17 页 - - - - - - - - - 系统 (2)： A=1 2 -4 1; B=0 1 0 2; ljdt(A,B)名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 17 页 - - - - - - -
24、- - 由以上零极点分布图可以看出，(1) 系统稳定，(2)系统不稳定。画出 (1)系统的幅频特性和相频特性曲线：A=2 0 0 -1; B=0 1 -2 -1; dplxy(500,2,A,B) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 17 页 - - - - - - - - - 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 17 页 - - - - - - - - -