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1、第第2828课课圆的弧长和图形面积的计算圆的弧长和图形面积的计算 基础知识，自主学习基础知识，自主学习1弧长及扇形的面积：弧长及扇形的面积：(1)半径为半径为r，n的圆心角所对的弧长公式：的圆心角所对的弧长公式：_(2)半径为半径为r，n的圆心角所对的扇形面积公式：的圆心角所对的扇形面积公式：_l S lr 要点梳理要点梳理2圆锥的侧面积和全面积：圆锥的侧面积和全面积：圆锥的侧面展开图是一个扇形，若设圆锥的母线长为圆锥的侧面展开图是一个扇形，若设圆锥的母线长为l，底面半径为，底面半径为r，那么这个扇形的半径为，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长，扇形的弧长为为2r.(1)圆锥侧面积公式：圆锥侧
2、面积公式：S圆锥侧圆锥侧_(2)圆锥全面积公式：圆锥全面积公式：S圆锥全圆锥全_(3)圆锥侧面展开图扇形圆心角公式：圆锥侧面展开图扇形圆心角公式：_rl rlr2 360 3求阴影部分面积的几种常见方法：求阴影部分面积的几种常见方法：(1)公式法公式法(2)割补法割补法(3)拼凑法拼凑法(4)等积变形构造方程法等积变形构造方程法(5)去重法去重法基础自测基础自测1(2010湖州湖州)如图，已知在如图，已知在RtABC中，中，BAC90，AB3，BC5，若把，若把RtABC绕直线绕直线AC旋转一旋转一周，则所得圆锥的侧面积等于周，则所得圆锥的侧面积等于 ()A6 B9 C12 D15 解：圆锥的
3、侧面积解：圆锥的侧面积Srl3515，应选，应选D.D D2(2010通化通化)已知，圆锥的母线长为已知，圆锥的母线长为5 cm，高线长，高线长是是3 cm，则圆锥的底面积是，则圆锥的底面积是 ()A3cm2B9cm2 C16cm2D25cm2解：根据解：根据r2h2l2，得，得r 4，所以底面积所以底面积r216，应选，应选C.C C3(2010丽水丽水)小刚用一张半径为小刚用一张半径为24 cm的扇形纸板的扇形纸板做一个如图所示的圆锥形小丑帽子侧面做一个如图所示的圆锥形小丑帽子侧面(接缝忽略不计接缝忽略不计)，如果做成的圆锥形小丑帽子的底面半径为，如果做成的圆锥形小丑帽子的底面半径为10
4、cm，那么这扇形纸板的面积是那么这扇形纸板的面积是 ()A120cm2B240cm2 C260cm2D480cm2解：解：S圆锥侧圆锥侧rl2410240，应选应选B.B B4(2010舟山舟山)如图是一个高为如图是一个高为2 cm，底面半径为，底面半径为2 cm的圆锥形无底纸帽，现利用这个纸帽的侧面纸张裁剪出的圆锥形无底纸帽，现利用这个纸帽的侧面纸张裁剪出一个圆形纸片一个圆形纸片(不考虑纸帽接缝不考虑纸帽接缝)，这个圆形纸片的半径，这个圆形纸片的半径最长可以是最长可以是 ()(计算结果保留计算结果保留3个有效数字参考数据个有效数字参考数据 1.414，1.732)A3.12cm B3.28c
5、m C3.31cm D3.00cmC C解：可求得圆锥的母线长为解：可求得圆锥的母线长为8cm，其侧面展开图圆心角等于其侧面展开图圆心角等于 36090，设圆形纸片的半径为设圆形纸片的半径为r，如图，有如图，有8r r，r 3.315(2010黄石黄石)如图，从一个直径为如图，从一个直径为2的圆形铁皮中的圆形铁皮中剪下一个圆心角为剪下一个圆心角为60的扇形的扇形ABC，将剪下来的扇形围，将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆半径为成一个圆锥，则圆锥的底面圆半径为 ()A.B.C.D.解：连解：连OA、OB，画，画ODAB于于D，在在RtAOD中，中，OAB30，OA1，OD ，AD ，AB
6、2AD ，又又 36060，所以所以r l ，应选，应选B.B B题型分类题型分类 深度剖析深度剖析题型一弧长公式的应用题型一弧长公式的应用 例例1：如图所示，扇形：如图所示，扇形OAB从图从图无滑动旋转到图无滑动旋转到图，再由图再由图到图到图，O60，OA1.求求O点所运动的路点所运动的路径长径长解：点解：点O运动路径第一段弧长运动路径第一段弧长 ；第二段路径的弧长为第二段路径的弧长为 ；第三段路径的弧长为第三段路径的弧长为 .即点即点O所运动的路径长为所运动的路径长为 .探究提高：本题中所求点探究提高：本题中所求点O经过的路线是由三条不同的经过的路线是由三条不同的弧组合而成的，在求每段弧长
7、时，要注意确定每段弧弧组合而成的，在求每段弧长时，要注意确定每段弧的半径及所对圆心角的度数的半径及所对圆心角的度数知能迁移知能迁移1：已知矩形：已知矩形ABCD的长的长AB4，宽，宽AD3，按如图放置在直线按如图放置在直线AP上，然后不滑动地转动，当它上，然后不滑动地转动，当它转动一周时转动一周时(AA)，顶点，顶点A所经过的路线长等于所经过的路线长等于_解：解：(345)66题型二扇形面积公式的运用题型二扇形面积公式的运用例例2：如图，：如图，BD是汽车挡风玻璃前的刮雨刷如果是汽车挡风玻璃前的刮雨刷如果BO65 cm，DO15 cm，当，当BD绕点绕点O旋转旋转90时，时，求刮雨刷求刮雨刷B
8、D扫过的面积扫过的面积解：阴影部分一般都是不规则的图形，不能直接用公式解：阴影部分一般都是不规则的图形，不能直接用公式求解，通常有两条思路，一是转化成规则图形面积的和、求解，通常有两条思路，一是转化成规则图形面积的和、差；二是进行图形的割补此题可利用图形的割补，把差；二是进行图形的割补此题可利用图形的割补，把图形图形OAC放到放到OBD的位置的位置(因为因为AOCBOD)，则阴影部分的面积为扇环的面积；则阴影部分的面积为扇环的面积；S阴影阴影S扇扇AOBS扇扇COD(OA2OC2)(652152)1000.答：刮雨刷答：刮雨刷BD扫过的面积是扫过的面积是1000(cm2)探究提高：扇形面积公式
9、和弧长公式容易混淆探究提高：扇形面积公式和弧长公式容易混淆S扇形扇形 R2 lR.知能迁移知能迁移2：如图，半圆的直径：如图，半圆的直径AB10，P为为AB上一上一点，点点，点C、D为半圆的三等分点，则阴影部分的面积等为半圆的三等分点，则阴影部分的面积等于于_(结果用结果用表示表示)解：连解：连CD、OC、OD，BC 60ABCBCD30CDABSPCDSOCDS阴影阴影SPCDS弓形弓形SOCDS弓形弓形S扇形扇形COD 52 题型三圆锥题型三圆锥例例3：(本题本题6分分)如图，如果从半径为如图，如果从半径为9 cm的圆形纸片的圆形纸片剪去剪去 圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥圆周的
10、一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥(接鏠处不叠合接鏠处不叠合)，求这个圆锥的高，求这个圆锥的高解题示范解题示范规范步骤，该得的分一分不丢！规范步骤，该得的分一分不丢！解法一：解法一：360 360r6 3分分又又h2r2l2h 3 6分分解法二：解法二：r9 92r6于是于是h 3 探究提高：正确、灵活地运用扇形面积和圆弧周长，探究提高：正确、灵活地运用扇形面积和圆弧周长，圆锥侧面展开图面积的计算公式解题，就圆锥而言，圆锥侧面展开图面积的计算公式解题，就圆锥而言，“底面圆的半径底面圆的半径”和和“侧面展开图的扇形半径侧面展开图的扇形半径”是完全不是完全不同的两个概念，要注意其区别和联系，其中扇
11、形的弧长同的两个概念，要注意其区别和联系，其中扇形的弧长为圆锥底面圆的周长，扇形的半径为圆锥的母线长圆为圆锥底面圆的周长，扇形的半径为圆锥的母线长圆锥的底面半径、母线和高组成了一个直角三角形锥的底面半径、母线和高组成了一个直角三角形解法三：解法三：2r (29)r6于是于是h3 知能迁移知能迁移3：现有：现有30%圆周的一个扇形彩纸片，该扇形圆周的一个扇形彩纸片，该扇形的半径为的半径为40 cm，小红同学为了在，小红同学为了在“六一六一”儿童节联欢儿童节联欢晚会上表演节目，她打算剪去部分扇形纸片后，利用晚会上表演节目，她打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作成一个底面半径为剩下的纸片制作成
12、一个底面半径为10 cm的圆锥形纸帽的圆锥形纸帽(接缝处不重叠接缝处不重叠)，求剪去的扇形纸片的圆心角度数，求剪去的扇形纸片的圆心角度数解：解：圆锥的母线长圆锥的母线长40，底面半径，底面半径10圆锥展开图的圆心角圆锥展开图的圆心角 36090剪去扇形纸片的圆心角度数剪去扇形纸片的圆心角度数36030%901089018题型四求阴影部分的面积题型四求阴影部分的面积例例4：如图，方格纸中：如图，方格纸中4个小正方形的边长均为个小正方形的边长均为1，则图中，则图中阴影部分三个小扇形的面积和为阴影部分三个小扇形的面积和为_(结果保留结果保留)解：解：12 探究提高：把三个阴影部分看成一个整体探究提高
13、：把三个阴影部分看成一个整体(圆心角为圆心角为135135的扇形的扇形)可直接求得结果可直接求得结果 知能迁移知能迁移4：如图，：如图，P内含于内含于 O，O的弦的弦AB切切 P于点于点C，且，且ABOP.若阴影部分的面积为若阴影部分的面积为9，则弦，则弦AB的长为的长为 ()A3B4C6D9C C思想方法思想方法 感悟提高感悟提高 1.1.求运动所形成的路径长或面积时，关键理清运动求运动所形成的路径长或面积时，关键理清运动所形成图形的轨迹变化特别是扇形需理清圆心与半径所形成图形的轨迹变化特别是扇形需理清圆心与半径的变化的变化 2.2.处理不规则图形的面积时，注意利用割补法与等处理不规则图形的面积时，注意利用割补法与等积变换转化为规则图形再利用规则图形的公式求解积变换转化为规则图形再利用规则图形的公式求解 3.3.处理圆锥与侧面展开图扇形的关系时，注意以下处理圆锥与侧面展开图扇形的关系时，注意以下几个等量关系：几个等量关系：展开图扇形的弧长圆锥下底的周长；展开图扇形的弧长圆锥下底的周长；展开图扇形的面积圆锥的侧面积；展开图扇形的面积圆锥的侧面积；展开图扇形的半径圆锥的母线展开图扇形的半径圆锥的母线完成考点滚动练完成考点滚动练-28-28