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1、第六章 群论 群是代数系统中最基本与最重要的系统本章中主要讨论与群相关的半群、单元半群以及有关群的一些基本理论6.1 半群与单元半群半群与单元半群是最简单的代数系统之一，它在时序线路，形式语言理论及自动机理论中有着广泛的应用.6.1 半群与单元半群6.1.1 半群定义6.1设有一个代数系统(S,),其中“”是二元运算，它满足结合律，则此代数系统叫半群，即是说，对S内的任意元素a、b、c，有(ab)c=a(bc)一个半群，如果其运算又满足交换律，则称为可换半群.定理6.1一个半群(S,),如果它有一个子代数(M,),则此代数也是一个半群.6.1 半群与单元半群定义6.2一个半群(S,)的子代数(
2、M,)亦是半群，叫做半群(S,)的子半群.定义6.3一个半群(S,)，如果它的每个元素均为S内某个固定元素a的某一方幂，则此半群叫有a所生成的循环半群，而此元素a称为此半群的生成元素.幂：一个半群(S,)对它的任一个元素a，定义它的幂a1=a,a2=aa,aj+1=aja根据结合律,anam =aman=an+m (an)m =anm如果a2=a，则称a为等幂元素.6.1 半群与单元半群若一个半群，它的生成元素不是一个而是有限个元素，它们组成集合M，则称此半群为由集合M所生成的半群，而此集合叫做生成集.定理6.2 一个循环半群一定是可换半群.定理6.3 一个半群内的任一元素和它所组成的幂组成一
3、个由a生成的循环子半群.6.1 半群与单元半群例：设(S,)是一个半群，且对任意的a、bS,若ab，则必有abba.试证明：1)对任意的aS,有aa=a;证明：“对任意的a、bS,若ab，则必有abba”等价于“若ab=ba,a=b”因为运算是可结合的，所以对于任意的aS，有 (aa)a=a(aa)所以 aa=a6.1 半群与单元半群2)对任意的a,bS,有aba=a;证明：任取a,bS,有(aba)a=(ab)(aa)=(ab)a a(aba)=(aa)(ab)=a(ab)所以有aba=a 6.1 半群与单元半群3)对任意的a,b,cS,有abc=ac.证明：任取a,b,cS，有(abc)(
4、ac)=(ab)(cac)=abc(ac)(abc)=(aca)(bc)=abc 所以(abc)(ac)=(ac)(abc)故有abc=ac6.1 半群与单元半群6.1.1 单元半群(独异点)定义6.4 设一个代数系统(M,),其中“”是二元运算，它满足结合律，并且存在单位元素，则此代数系统叫做单元半群.也就是说，对任一个M内的元素a、b、c，有(ab)c=a(bc)且存在一个1M，对任一个aM，有1a=a1=a如果一个单元半群满足交换律，则称为可换单元半群.6.1 半群与单元半群半群到单元半群的扩充：设有一半群(S,),若存在一个元素1S,它具有下列性质：1)11=12)对任一xS,均有1x
5、=x1=x 则(SU1,)构成一个单元半群.定理6.4 一个有可列个元素的单元半群的运算组合表每行(列)内容均不相等.6.1 半群与单元半群例：判断以下代数系统是否是单元半群.1)(I+,+)2)(N,+)解：1)(I+,+)是半群，但是不含单位元素，所以不是单元半群.2)(N,+)是半群且含单位元素0，所以它是单元半群.6.1 半群与单元半群例：A=a,b,S=f|f是从A到A的函数，为函数的复合运算.1)构造(S,)的运算表2)说明(S,)是否是单元半群解：1)A上的映射共有如下4个：f1=(a,b)(b,a),f2=(a,a)(b,b),f3=(a,a)(b,a),f4=(a,b)(b,
6、b),6.1 半群与单元半群(S,)的运算表为2)因为(S,)是封闭的，满足结合律，f2为单位元素，所以(S,)是单位元素.f1f2f3f4f1f2f1f3f4f2f1f2f3f4f3f4f3f3f4f4f3f4f3f46.1 半群与单元半群例：设(S,)是单元半群，对a、b S，a、b 均有逆元素a-1、b-1S求(a-1)-1=?(ab)-1=?解：设1是单元半群(S,)的单位元素aa-1=a-1a=1，逆元素是相互的，即a的逆元素为a-1,(a-1)-1=a.(b-1a-1)(ab)=b-1(a-1a)b=b-1eb=1 所以(ab)-1=(b-1a-1)6.1 半群与单元半群例：设A=
7、0,1,2,3,+4和4分别是模4加法与模4乘法,其运算表如下所示,即对任意a,bA有 a+4 b=(a+b)(mod 4)a4 b=(ab)(mod 4)+401230012311230223013301240123000001012320202303216.1 半群与单元半群1)(A,+4)和(A,4)是单元半群吗？为什么？2)A中的元素在+4和4上有逆元吗？解：1)+4和4运算都是封闭的和可结合的，并且分别有单位元素0和1，所以(A,+4)和(A,4)都是单元半群.2)对于运算+4,A中的元素都有逆元,其中0-1=0，1-1=3，2-1=2，3-1=1.对于运算4,有1-1=0,3-1=
8、3,而0和2没有逆元.6.1 半群与单元半群定义6.5一个单元半群(M,)如果它有子系统(M,)且其单位元素1M,则(M,)亦是一个单元半群，称为(M,)的子单元半群(子独异点).定义6.6 一个单元半群如果由它的一个元素a所生成(令a0=1,故单位元素也可由a生成),则称由a所生成的循环单元半群；而a叫此单元半群的生成元素.6.1 半群与单元半群定理6.6一个循环单元半群是一个可换单元半群.定理6.7一个可换单元半群它的所有等幂元素构成一个子单元半群.定理6.8一个单元半群的任一个子系统均可加上单位元素而构成一个子单元半群.6.1 半群与单元半群例：判断代数系统(a,b,c,d,)是否是循环
9、单元半群，若是，指出其生成元.的运算表如下表所示：解：c1=c,c2=cc=b,c3=c2c=bc=d,c4=c3c=dc=ad1=d,d2=dd=b,d3=d2d=bd=c,d4=d3d=cd=a所以(a,b,c,d,)是循环单元半群，a是单位元素，c和d均可作生成元.abcdaabcdbbadcccdbaddcab6.2.1 群与群的同构定义6.7(定义一)一个代数系统(G,),如果满足下列条件：1)满足结合律，即如果a、b、cG，则有a(bc)=(ab)c2)存在单位元素，即存在一个元素1G，对任一G内元素a，有1a=a1=a3)存在逆元素，即对任一G内元素a，均有一个a-1G，有aa-
10、1=a-1a=1则称此代数系统(G,)为群群.6.2.1 群与群的同构例：设在整数集Z上的运算定义如下：对于任意a、bZ，ab=a+b-10，问(Z,)是否为群?解：对任意的a,b,cZ,1)ab=a+b-10Z，满足封闭性2)因为(ab)c=(a+b-10)c =a+b-10+c-10=a+b+c-20a(bc)=a(b+c-10)=a+(b+c-10)-10=a+b+c-20(ab)c=a(bc)，满足结合律6.2.1 群与群的同构3)因为对于任意的aZ,a10=a+10-10=a，10a=10+a-10=a 所以有单位元素10.4)对任意aZ，aa-1=a+a-1-10=10a-1a=a
11、-1+a-10=10有a-1=20-a 每一元素a均有逆元素a-1存在.由(1)-(4)可得(Z,)是群.6.2.1 群与群的同构定义6.8一个群(G,)如果满足交换律则称为可换群或称为阿贝尔群(Abel群).定义6.8一个群(G,)如果它的一个子代数(H,)也是一个群,则称(H,)是(G,)的一个子群.6.2.1 群与群的同构试证：若(G,)是可换群,则对任意a,bG必有(ab)n=anbn.证明:(ab)n=(ab)(ab)(ab)=ababab(结合律)=(aaa)(bbb)(交换律)=anbn.6.2.1 群与群的同构定义6.9 一个群如果它的元素个数是有限的，则称为有限群，如果它的元
12、素个数是无限的，则称为无限群.定义6.11 每个群(G,)有一个阶，记以|G|，如果一个群是有限群，则它的阶即是群的元素个数；如果一个群是无限群，则它的阶是无穷大.6.2.1 群与群的同构群的一些性质：1)群满足消去律消去律：一代数系统(G,)，其中a,b,cG，如果由ab=ac，可推出b=c，且由ba=ca，也可推出b=c，则称(G,)满足消去律.证明：ab=ac则 a-1(ab)=a-1(ac)(a-1a)b=(a-1a)c 1b=1c b=c6.2.1 群与群的同构2)一个阶大于1的群一定没有零元素因为零元素不存在逆元素.3)单位元素是唯一的等幂元素.如果 aa=a1=a-1a=a-1(
13、aa)=(a-1a)a=1a=a 6.2.1 群与群的同构4)一个群(G,)的方程：ax=b,ya=b中，a,bG，在群内有唯一解.a(a-1b)=(aa-1)b=1b=bx=a-1b,同理 y=ba-1如果ax=b有另一解c，则必有ac=b=a(a-1b)，c=a-1b，同理可证ya=b的解也是唯一的.如果一个代数系统满足结合律与性质(4),则它构成一个群.6.2.1 群与群的同构定义6.12(定义二)一个代数系统如果满足下列条件，则称为群.1)满足结合律，即如果a,b,cG，则有 a(bc)=(ab)c2)如果a,bG，则方程式ax=b,ya=b中，在G内有唯一解.6.2.1 群与群的同构
14、群中元素的阶定义6.16 方幂设(G,)是一个群,aG,则a0=1 aj+1=aja a-j=(a-1)j设(G,)是一个群,1是单位元素,aG.若存在一个使am=1的最小正整数m,则称m为元素a的阶(或周期),否则,称a的阶(周期)为无限.定理:有限群(G,)中任何一个元素的阶至多是|G|.群中任何一个元素与它的逆元具有相同的阶数.6.2.1 群与群的同构例：G为群,x,yG,且yxy-1=x2,其中x1,y是2阶元,1是单位元.求x的阶.解：G为群,x,yG,且yxy-1=x2,所以有x4=(yxy-1)(yxy-1)=yx(y-1y)xy-1=yx2y-1 =y(yxy-1)y-1=y2
15、xy-2又因为y是2阶元,所以有y2=y-2=1,则有x4=y2xy-2=x,故x3=1,x的阶数为3.6.2.1 群与群的同构定义6.13设(G,o)与(H,)是两个群，若存在一个函数g:GH，使得对每个a,bG有g(aob)=g(a)g(b)则称g是从(G,o)到(H,)的群同态.如果g:GH是一一对应的，则称g是从(G,o)到(H,)的群同构.6.2.1 群与群的同构定理6.9 设(G,o)与(H,)是两个群，有一个从G到H的函数g:GH使其成为群同态，则此时有g(IG)=1Hg(a-1)=g(a)-1定理6.10设(G,o)是一个群，若(G,o)与(H,)是满同态或同构，则(H,)也构
16、成群.6.2.1 群与群的同构例：设G是非零实数乘法群，下列映射是否是G到G的同态映射？并作出说明.1)f(x)=|x|解：是.因为f(x1x2)=|x1x2|=|x1|x2|=f(x1)f(x2)2)f(x)=2x解：不是.因为f(x1x2)=2x1x2,而f(x1)f(x2)=4x1x23)f(x)=x2解：是.因为f(x1x2)=(x1x2)2=x12x22=f(x1)f(x2)6.2.1 群与群的同构例：设(G,)是群，f：GG，对任意xG，有f(x)=x-1，证明：当且仅当运算满足交换律，f是G上的自同构.证明：1)充分性：若运算满足交换律,任取x,yG,有 f(xy)=(xy)-1
17、=y-1x-1 f(x)f(y)=x-1y-1=y-1x-1所以f(xy)=f(x)f(y),f是G上的自同态.任取x,yG,若xy,则x-1y-1,即f(x)f(y)所以f是G到G的单射.任取xG,存在x-1G,使得f(x-1)=x,所以f是G到G的满射.综上,f是G上的自同构6.2.2 变换群变换群集合S上的变换：从S到S的一个一一对应函数S上的所有变换可以构成一个集合，可记为S，S是一个变换的集合.定义6.14变换群：集合S上的若干个变换与复合运算构成的群(S,o).其单位元素是恒等变换.恒等变换 对S中的任一变换 ,均有6.2.2 变换群定理6.11任一个群均与一个变换群同构.对群的研
18、究可以归结为对变换群的研究,所以变换群是比较重要的一种群.6.2.3 有限群有限群定理6.12 一个有限集合上所有变换所组成的集合及其复合运算构成一个群.定义6.15一个阶为n的有限集合S上所有的变换所组成的集合Sn及其复合运算所构成的群(Sn,o)称为S的对称群.若S上有若干个变换所组成的集合P及其复合运算“o”所构成的群(P,o)称为S的置换群.6.2.3 有限群定理6.13若有限集合S的阶为n,则S的对称群(Sn,o)的阶为n!.定理6.14 一个代数系统(G,o),若G为有限且满足结合律与消去律则构成一个群.6.2.3 有限群群表对有限群，可用一张组合表将其运算表示出来，这个表也可叫群
19、表(即群的运算表)群表的一些性质：1)由于单位元素的存在,群表中总存在一行(或一列)其元素与表头上的元素一样.2)由于消去律的存在,群表每一行(列)内元素各不相同,且任两行(列)对应元素间亦均不相同.故群表中每一行(列)是有限群元素的一个排列.3)如果一个群是可换群,其群表具有对称性.6.2.3 有限群由群表的一些性质可以得出元素为1个、2个、3个、4个的群的群表.元素为1个的群即是仅由单位元素所组成的群.元素为2个的群的群表是唯一的，可换的.元素为3个的群的群表也是唯一的，可换的.元素为4个的群的群表不是唯一的.定理6.15每个有限群均与一个置换群同构.6.2.4 循环群循环群定义6.17
20、若一个群(G,)的每一个元素均是它的某一个固定元素a的某次方幂,则称(G,)是由a生成的循环群,而a称为(G,)的生成元素.一个循环群可能存在多个生成元.6.2.4 循环群定义6.18一个由a生成的循环群(G,)若存在使得am=1的最小正整数m称为a的周期,若不存在这样一个m,则称a的周期为无限.整数加群(I,+)是一个生成周期为无限的循环群剩余类加群(Zm,+m)是一个周期为m的循环群6.2.4 循环群定理6.16设有一个由a生成的循环群(G,),则有1)若a的周期无限,则(G,)与(I,+)同构2)若a的周期为m，则(G,)与(Zm,+m)同构所以对于无限循环群的研究可以归结为对整数加群的
21、研究对于周期为m的循环群的研究可以归结为剩余类加群的研究6.2.4 循环群例：试证阶为偶数的循环群中周期(阶)为2的元素个数一定是奇数.证明：设(G,)是阶数为n的循环群,即|G|=n(n是偶数).任取aG,am=1(m2),a的阶为m,a的逆元素a-1G,故(a-1)m=(am)-1=1-1=1a-1的阶也是m.若a=a-1,则a2=1,所以a的阶不大于2,与m2矛盾.所以aa-1.即当a的阶大于2时,a与a-1总是成对出现.又因为群中唯一的单位元素1的阶是1,此时阶大于2的元素个数是偶数,所以剩下的阶为2的元素的个数必须为奇数.6.2.5 子群子群定理6.17一个群(G,)及由它的一个子集
22、H组成一个系统(H,),该系统构成一个(G,)的子群的充分必要条件是a,bH,则abH aH,则a-1H 定理6.18设(G,)是一个群，而(H,)是(G,)的子群,则(H,)的单位元素即是(G,)的单位元素;(H,)内a的逆元素即是(G,)内a的逆元素.6.2.5 子群定理6.19设(G,)是一个群,G的子集H所构成的(H,)是一个子群的充分必要条件是:若a,bH,则ab-1H定理6.20设(G,)是一个群,G的一个有限子集H所构成的(H,)是一个子群的充分必要条件是:若a,bH,则abH平凡子群：(G,)它自己及(1,)非平凡子群/真子群：除了这两个子群外的所有子群6.2.5 子群例：设(
23、H,)是群(G,)的子群,如果A=x|xG,xHx-1=H,证明(A,)是(G,)的一个子群.证明：由题目可知AG对任意的a,bA,有aHa-1=H,bHb-1=H.取ab-1G,有(ab-1)H(ab-1)-1=a(b-1H(b-1)-1)a-1=aHa-1=H 所以ab-1A,因此(A,)是(G,)的一个子群.(定理6.19)6.2.5 子群例：设(G,)是群,(A,)和(B,)是它的两个子群,C=ab,aA,bB.证明：若是可交换的,则(C,)也是(G,)的子群.证明：1)C=ab,aA,bB,所以CG2)设(G,)的单位元为1,则由1A且1B,得1=11 C3)任取x,yC,令x=a1
24、b1,y=a2b2,则xy=(a1b1)(a2b2)6.2.5 子群因为运算满足结合律和交换律,所以有xy=(a1a2)(b1b2)C故在C上是封闭的.4)任取xC,令x=ab,则x-1=(ab)-1=b-1a-1=a-1b-1 C故C中每个元素对运算都有逆元.由1)、2)、3)、4)知,若是可交换的,则(C,)也是(G,)的子群.6.2.6 陪集与拉格朗日定理右陪集关系：设有一个群(G,)及它的一个子群(H,)，确定G上的一个关系R，(a,b)R当且仅当ab-1H，这个关系成为G上的右陪集关系.设a,bG，且它们间有右陪集关系则可写为ab或ab(modH)定理6.21设群(G,)有一个子群(
25、H,)，则在G上的一个右陪集关系ab(modH)是一个等价关系.6.2.6 陪集与拉格朗日定理定义6.19群(G,)的子群(H,)所确定的右陪集关系对G所划分的类称为子群H的右陪集,包含元素a的右陪集记以Ha.Ha=x|xG且xa(modH)=ha|hH即右陪集Ha是H内所有元素与a进行运算后所得结果所组成的集合.6.2.6 陪集与拉格朗日定理左陪集关系 设有一个群(G,)及它的一个子群(H,)，确定G上的一个关系R，(a,b)R当且仅当b-1aH，这个关系成为G上的左陪集关系.定义6.20群(G,)的子群(H,)所确定的左陪集关系对G所划分的类称为子群H的左陪集,包含元素a的左陪集记以aH.
26、aH=ah|hH6.2.6 陪集与拉格朗日定理定理6.20群(G,)的一个子群(H,)与其每个右(左)陪集Ha(aH)等势.证明：存在一个函数 f：HHa,f(h)=ha是一一对应的.如果群(G,)是一个有限群,它的阶为n,则它的一个子群(H,)也是一个有限群，设其阶为m，而此时H的所有右陪集由于与H等势，所以其元素个数亦为m.H的所有右陪集构成了G上的所有等价类,他们互不相交地覆盖了G,所以G的元素个数n一定被m所等分.6.2.6 陪集与拉格朗日定理定理6.23：拉格朗日定理(Lagranges theorem)一个有限群的阶一定被它的子群的阶所等分.由拉格朗日定理,群(G,)的子群(H,)
27、的右陪集个数K(G内H的指数)K=|G|/|H|因此有限群的子群的阶数必是群的阶数的因子.6.2.6 陪集与拉格朗日定理另外1)任何质数阶的群只有平凡子群,且必为循环群,其任何与单位元不同的元素均可作为生成元;2)任一个阶为n的有限群的循环子群的周期均能除尽n;3)对任一个阶为n的有限群，an=1.6.2.6 陪集与拉格朗日定理例(6.7)：设(G,)是阶为6的群,试证它的真子群的阶至多为3.证明：(G,)是阶为6的群，即|G|=6根据拉格朗日定理,真子群的阶必定是群的阶的一个因子，而6的最大因子是3故如有真子群，则其阶最多为3.6.2.6 陪集与拉格朗日定理例：(Z6,+6)是一个群,+6是
28、模6加法,Z6=0,1,2,3,4,5,试写出(Z6,+6)的所有子群解：根据拉格朗日定理，有可能成为子群时的阶数分别为1,2,3,6.(Z6,+6)的单位元素是0.1阶子群为(0,+6)2阶子群为(0,3,+6)3阶子群为(0,2,4,+6)6阶子群为(Z6,+6)但是未必有这四种子群一定存在，故对所找到的子群要一一验证.经验证，以上四种子群均符合子群的定义.6.2.7 正规子群与同态定义6.21一个群(G,)的子群(N,),如果对G的每个元素a,均有 aN=Na则称(N,)为(G,)的一个正规子群,而此时,(N,)的一个左(右)陪集称为(N,)的一个陪集.定理6.24群(G,)的子群(N,
29、)是正规子群的充分必要条件是 ana-1N,a、a-1G,nN6.2.7 正规子群与同态例：试证两个正规子群的交集仍构成正规子群.证明：设(H1,)和(H2,)是群(G,)的两个正规子群,因为H1G,H2G,故H1H2G.现任取a,bH1H2,于是a,bH1且a,bH2,于是ab-1H1且ab-1H2,故ab-1H1H2.所以(H1H2,)是群(G,)的子群.对任一aG,因为(H1,)是正规子群，有aH1=H1a6.2.7 正规子群与同态所以a(H1H2)a-1aH1a-1=(aH1)a-1 =(H1a)a-1=H1(aa-1)=H1同理,对任一aG,因为(H2,)是正规子群，有aH2=H2a,所以a(H1H2)a-1aH1a-1=H2故 a(H1H2)a-1H1H2因此(H1H2,)是群(G,)的正规子群.本章小结半群：半群、可换半群、子半群循环半群、生成元素、等幂元素单元半群：单元半群、可换单元半群、子单元半群、循环单元半群群：群的定义1、2群的性质可换群、有限群、无限群群的阶、群中元素的阶群同态、群同构变换群、对称群、置换群循环群子群、平凡子群、真子群、正规子群左(右)陪集、陪集拉格朗日定理