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1、3.2 复变函数积分的重要定理一一 Cauchy-Goursat定理定理二二 复合闭路变形原理复合闭路变形原理三三 Newton-Libnize公式公式四四 Cauchy积分公式积分公式五五 高阶导数公式高阶导数公式六六 总结总结 七七 作业习题作业习题引言：积分与路径无关的刻画在单连通区域在单连通区域D内，积分内，积分 与路径与路径L无关的充分必要条件是无关的充分必要条件是：一一Cauchy-Goursat定理柯西-古萨定理 例例1 1解解根据柯西根据柯西-古萨定理古萨定理,有有例例2 2 解解函数函数z在在C内处处解析，内处处解析，根据柯西根据柯西-古萨定理古萨定理,有有例例3 3解解根据
2、柯西古萨定理得根据柯西古萨定理得二 复合闭路变形原理 柯西古萨定理的推广柯西古萨定理的推广 当闭合曲线内部包围被积函数当闭合曲线内部包围被积函数的奇点，该积分通常不为零，但仍的奇点，该积分通常不为零，但仍有一定的规律可以研究。有一定的规律可以研究。1 1 闭路变形原理闭路变形原理2 2 复合闭路变形原理复合闭路变形原理1 闭路变形原理闭路变形原理本定理直观意义为本定理直观意义为函数沿闭曲线积分函数沿闭曲线积分,闭曲线在区闭曲线在区域内作连续变形而不经过奇点，则积分值不变。域内作连续变形而不经过奇点，则积分值不变。即可看作柯西即可看作柯西-古萨定理的推广古萨定理的推广2 复合闭路变形原理复合闭路
3、变形原理称称C+C1-+C2-+Cn-为复围为复围线线,记为记为，包围着，包围着绿色绿色复连复连通通区域区域D。函数函数f(z)在绿色复连通区域在绿色复连通区域D解析，解析，紫色阴影是函数紫色阴影是函数的奇点。的奇点。设设C为简单闭曲线，为简单闭曲线，Ci(i=1,2n)是在是在C内部的简单闭内部的简单闭曲线，互不相交互不包含，曲线，互不相交互不包含，C的内部与的内部与 诸诸Ci的外部围的外部围成绿色复连通区域成绿色复连通区域D则成立则成立:本定理直观意义为函数本定理直观意义为函数沿闭曲线积分沿闭曲线积分,闭曲线作连闭曲线作连续变形而不经过奇点，可以续变形而不经过奇点，可以断裂为多段闭曲线，而
4、积分断裂为多段闭曲线，而积分值不变。可看作柯西古萨定值不变。可看作柯西古萨定理的推广理的推广解解依题意知依题意知,例例4根据复合闭路定理根据复合闭路定理例例5解解由复合闭路定理由复合闭路定理,三 Newton-Libnize公式1 1 原函数原函数2 2不定积分不定积分3 3变上限函数变上限函数4 4Newton-Newton-LibnizeLibnize公式公式(N-L)(N-L)1 原函数定义 2 不定积分定义f(zf(z)的全部原函数称为的全部原函数称为f(zf(z)的不定积分，的不定积分，记为：记为：例如：例如：3 变上限函数4 Newton-Libnize公式(N-L公式)例例6 6
5、解解凑微分法，第一换元法凑微分法，第一换元法例例8 8分部积分法分部积分法例例9 9解解定理 设函数 f(z)在区域D内解析，C为D内任一条正向简单闭曲线，它的内部完全含于D，z0为C内任一点，则四四 Cauchy积分公式 第二种形式更适用于计算积分，通常用于被积函第二种形式更适用于计算积分，通常用于被积函数在数在C内有一个奇点内有一个奇点z0，该奇点在被积函数解析该奇点在被积函数解析式的分母。式的分母。此经典例题是柯西积分公式的特例，此经典例题是柯西积分公式的特例，f(z)=1 例例1010五五 高阶导数公式高阶导数公式 定理 设函数 f(z)在区域D内解析，C为D内任一条正向简单闭曲线，它
6、的内部完全含于D，z0为C内任一点，则f(z)的导函数仍为解析函数，f(z)的n阶导数为 第二种形式更适用于计算积分，通常用于被积函第二种形式更适用于计算积分，通常用于被积函数在数在 C 内有一个奇点内有一个奇点 z0，该奇点在被积函数解，该奇点在被积函数解析式的分母。析式的分母。高阶导数公式是柯西积分公式的推广，柯西积高阶导数公式是柯西积分公式的推广，柯西积分公式是高阶导数公式当分公式是高阶导数公式当 n=0 时的情形。时的情形。等号右边的分式形式复杂难记，可看做是高等等号右边的分式形式复杂难记，可看做是高等数学中函数泰勒级数里数学中函数泰勒级数里(z-z0)n 的系数。的系数。例 11 例例12提示：曲线包围提示：曲线包围2 2个奇点，个奇点，先用复合闭路变形原先用复合闭路变形原理化简理化简六 总结：本节五个定理都是为积分计算服务1)柯西-古萨定理用于计算闭合曲线内部无奇点的积分。2)高阶导数公式用于计算闭合曲线内部有一个奇点的积分。(其中n=0就是柯西积分公式).3)复合闭路变形原理用于化简闭合曲线内部有多个奇点的积分。4)只有N-L公式用于不闭合曲线积分。七 作业习题第三章习题 7，8，9题有点多啊有点多啊！Class is over玩去咯！玩去咯！