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1、 4.4洛朗级数1、双边幂级数、双边幂级数2、解析函数的洛朗展式、解析函数的洛朗展式3、洛朗级数与泰勒级数的关系洛朗级数与泰勒级数的关系4、将函数展成洛朗展式将函数展成洛朗展式5、典型例题典型例题1、双边幂级数定义定义 称级数称级数（）（）为为复常数，称复常数，称 为为双双边幂级边幂级数（）的系数数（）的系数 为双边幂级数，其中为双边幂级数，其中负幂项部分负幂项部分非负蜜幂项部分非负蜜幂项部分主要部分主要部分解析部分解析部分同时收敛同时收敛收敛收敛f1(z)f2(z)f(z)收敛半径收敛半径收敛域收敛域收敛收敛半径半径收敛域收敛域两收敛域无公共部分两收敛域无公共部分,两收敛域有公两收敛域有公共
2、部分共部分H:R1a aRarHf(z)=f1(z)+f2(z 定理一定理一(洛朗定理洛朗定理)在圆环在圆环H:r|z-a|R,(r0,R+)内解析的函数内解析的函数f(z)必可展成双边必可展成双边幂级数幂级数其其中中(4.4.3)(4.4.2)2 解析函数的洛朗展式aHa 证证(如图如图1)对对 zH,总可以找到含于总可以找到含于H内内的两个圆周的两个圆周使得使得z含在圆环含在圆环z图图1内，因为内，因为f(z)在圆环在圆环上解析上解析,由柯西积分公式有由柯西积分公式有或写成(4.4.4)我们将上式中的两个积分表为含有z-a的(正或负)幂次的级数.对于第一个积分,与泰勒定理证明中的相应部分相
3、同,就得(4.4.5)(4.4.6)类似地,对(4.4.4)的第二个积分我们有于是上式上式可以展成一致收敛的级数沿1逐项求积分,两端同乘以(4.4.7)(4.4.8)由(4.4.4),(4.4.5),(4.4.7)即得回过头来考察系数(4.4.6)及(4.4.8),由复围线的柯西积分定理,对任意圆周有于是系数可统一表成(4.4.3).因为系数cn与我们所取的z无关,故在圆环H内(4.4.2)成立.上一致收敛.乘以上的有界函数:最后证明展式的唯一性.设f(z)在圆环H内又可展成下式:由定理知,它在圆周故可逐项积分，得：仍然一致收敛利用重要积分公式，得：定义2.(4.4.2)称为f(z)在点a的罗
4、朗展式,(4.4.3)称为其系数,而(4.4.2)右边的级数则称为罗朗级数.3、洛朗级数与泰勒级数的关系泰勒级数是罗朗级数的特殊情形.例1 判断在下列区域内能展成什么幂级数4.将函数展称洛朗级数将函数展称洛朗级数常用方法常用方法:1.直接法直接法 2.间接法间接法 1.直接展开法直接展开法利用定理公式计算系数利用定理公式计算系数然后写出然后写出缺点缺点:计算往往很麻烦计算往往很麻烦.根据正、负幂项组成的的级数的唯一性根据正、负幂项组成的的级数的唯一性,可可用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开.优点优点:简捷简捷,快速快速.2.间接展开法间接展开法5、
5、典型例题典型例题例例1 1解解由定理知由定理知:其中其中故由柯西故由柯西古萨基本定理知古萨基本定理知:由高阶导数公式知由高阶导数公式知:另解另解本例中圆环域的中心本例中圆环域的中心 z=0 既是各负幂项的奇点既是各负幂项的奇点,例例2 2 内是处处解析的内是处处解析的,试把试把 f(z)在这些区域内展开成洛朗级数在这些区域内展开成洛朗级数.解解oxy112oxy由由且仍有且仍有2oxy由由此时此时仍有仍有注意注意:奇点但却不是函数奇点但却不是函数的奇点的奇点.本例中圆环域的中心本例中圆环域的中心是各负幂项的是各负幂项的说明说明:1.函数函数在以在以为中心的圆环域内的洛朗级为中心的圆环域内的洛朗
6、级数中尽管含有数中尽管含有的负幂项的负幂项,而且而且又是这些又是这些项的奇点项的奇点,但是但是可能是函数可能是函数的奇点的奇点,也可能也可能的奇点的奇点.不是不是2.给定了函数给定了函数与复平面内的一点与复平面内的一点以后以后,函数在各个不同的圆环域中有不同的洛朗展开函数在各个不同的圆环域中有不同的洛朗展开式式(包括泰勒展开式作为它的特例包括泰勒展开式作为它的特例).回答：不矛盾回答：不矛盾.朗展开式是唯一的朗展开式是唯一的)问题：这与洛朗展开式的唯一性是否相矛盾问题：这与洛朗展开式的唯一性是否相矛盾?(唯一性唯一性:指函数在某一个给定的圆环域内的洛指函数在某一个给定的圆环域内的洛解解 例例3例例4 4解解 例例5 5 求下列各积分的值：求下列各积分的值：解解：（：（1）内的洛朗展式为由此可见由此可见内的洛朗展式为由此可见由此可见小结与思考小结与思考 在这节课中在这节课中,我们学习了洛朗展开定理和函我们学习了洛朗展开定理和函数展开成洛朗级数的方法数展开成洛朗级数的方法.将函数展开成洛朗级将函数展开成洛朗级数是本节的重点和难点数是本节的重点和难点.洛朗级数与泰勒级数有何关系洛朗级数与泰勒级数有何关系?思考题思考题