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1、1第1页，共128页，编辑于2022年，星期三 考察一个系统的好坏，通常通过阶跃响应来分析系统的动态性能和稳态性能。控制系统中的信号可表示为不同频率正弦信号的合成。控制系统的频率特性反映正弦信号作用下系统响应的性能。通过分析不同频率正弦波输入时系统的响应，来考察系统性能，这种方法称为频频域分析法域分析法。5-1 频率特性频率特性第2页，共128页，编辑于2022年，星期三（1 1 1 1）频率特性具有明确的物理意义，它可以用实验的方）频率特性具有明确的物理意义，它可以用实验的方）频率特性具有明确的物理意义，它可以用实验的方）频率特性具有明确的物理意义，它可以用实验的方法来确定，这对于难以列写微
2、分方程式的元部件或系统来说，法来确定，这对于难以列写微分方程式的元部件或系统来说，法来确定，这对于难以列写微分方程式的元部件或系统来说，法来确定，这对于难以列写微分方程式的元部件或系统来说，具有重要的实际意义。具有重要的实际意义。具有重要的实际意义。具有重要的实际意义。（2 2 2 2）控制系统的频域设计可以兼顾动态响应和噪声抑制两）控制系统的频域设计可以兼顾动态响应和噪声抑制两）控制系统的频域设计可以兼顾动态响应和噪声抑制两）控制系统的频域设计可以兼顾动态响应和噪声抑制两方面的要求。方面的要求。方面的要求。方面的要求。（3 3 3 3）频率响应法不仅适用于线性定常系统，还可推广应用）频率响应
3、法不仅适用于线性定常系统，还可推广应用）频率响应法不仅适用于线性定常系统，还可推广应用）频率响应法不仅适用于线性定常系统，还可推广应用于部分非线性系统的分析。于部分非线性系统的分析。于部分非线性系统的分析。于部分非线性系统的分析。（4 4 4 4）控制系统及其元部件的频率特性可以运用分析法）控制系统及其元部件的频率特性可以运用分析法）控制系统及其元部件的频率特性可以运用分析法）控制系统及其元部件的频率特性可以运用分析法和试验方法获得，并可以用多种形式的曲线表示，因此系和试验方法获得，并可以用多种形式的曲线表示，因此系和试验方法获得，并可以用多种形式的曲线表示，因此系和试验方法获得，并可以用多种
4、形式的曲线表示，因此系统分析和控制器设计可以用图解法进行。统分析和控制器设计可以用图解法进行。统分析和控制器设计可以用图解法进行。统分析和控制器设计可以用图解法进行。特点特点第3页，共128页，编辑于2022年，星期三一、频率特性的基本概念一、频率特性的基本概念RUIU0C例如：第4页，共128页，编辑于2022年，星期三可见输出幅值是输入的可见输出幅值是输入的 ，输出相位比输入滞，输出相位比输入滞后后 。第5页，共128页，编辑于2022年，星期三 对于一般的线性定常系统，系统的输入和输出分别为r(t)和c(t)，系统的传递函数为G(s)。式中，为极点。若：则：第6页，共128页，编辑于20
5、22年，星期三拉氏反变换为：若系统稳定，则极点都在s左半平面。当 ，即稳态时：式中，分别为：第7页，共128页，编辑于2022年，星期三令：第8页，共128页，编辑于2022年，星期三式中：Rm、Cm分别为输入输出信号的幅值。上述分析表明，对于稳定的线性定常系统，加入一个正弦信号，它的稳态响应是一个与输入同频率的正弦信号稳态响应是一个与输入同频率的正弦信号，稳态响应与输入不同之处仅在于幅值和相位。其幅值放大了幅值放大了 倍，相位移动了相位移动了 。和 都是频率的函数。第9页，共128页，编辑于2022年，星期三相频特性：稳态响应与正弦输入信号的相位差 为系统的相频特性，它描述系统的稳态响应对不
6、同频率输入信号的相位移特性；幅频特性：稳态响应的幅值与输入信号的幅值之比 为系统的幅频特性，它描述系统对不同频率输入信号在稳态时的放大特性；定义：定义：第10页，共128页，编辑于2022年，星期三幅频特性幅频特性和相频特性相频特性可在复平面上构成一个完整的向量 称为频率特性频率特性。注：当传递函数中的复变量s用 代替时，传递函数就转变为频率特性。反之亦然。第11页，共128页，编辑于2022年，星期三 到目前为止，我们已学习过的线性系统的数学模型有以下几种：微分方程、传递函数和频率特性。它们之间的关系如下：微分方程微分方程频率特性频率特性传递函数传递函数系统系统第12页，共128页，编辑于2
7、022年，星期三例：设传递函数为：解：频率特性为第13页，共128页，编辑于2022年，星期三 在控制工程中，频率分析法常常是用图解法进行分析和设计的，常用的频率特性曲线有以下三种：q 幅相频率特性曲线（又称极坐标图、奈魁斯特曲线）q 对数频率特性曲线（又称波德图）q 对数幅相特性曲线（又称尼柯尔斯图）5.1.2 5.1.2 频率特性的几何表示法频率特性的几何表示法频率特性表达式：极坐标形式幅频特性，相频特性幅频特性，相频特性复数形式实频特性，虚频特性实频特性，虚频特性第14页，共128页，编辑于2022年，星期三1、幅相频率特性曲线（极坐标图、奈魁斯特曲线）以横轴为实轴、纵轴为虚轴构成复平面
8、，在复平面上用一条曲线表示 由 时的频率特性。即用矢量 的端点轨迹形成的图形。是参变量。在曲线的上的任意一点可以确定实频、虚频、幅频和相频特性。第15页，共128页，编辑于2022年，星期三2、对数频率特性曲线（又称波德图）l组成：对数幅频特性曲线对数幅频特性曲线和对数相频特性曲线对数相频特性曲线。l横坐标按横坐标按 分度，单位为弧度分度，单位为弧度/秒（秒（rad/s)rad/s)l对数幅频曲线的纵坐标按下式分度：对数幅频曲线的纵坐标按下式分度：单位为分贝单位为分贝(dB)l对数相频特性曲线对数相频特性曲线的纵坐标：按 线性分度，单位为度（）第16页，共128页，编辑于2022年，星期三n个
9、环节串联 （5-13）而对数幅频特性L()为第17页，共128页，编辑于2022年，星期三 （5-14）对数相频特性 为 （5-15）第18页，共128页，编辑于2022年，星期三使用对数坐标图的优点：n可以展宽频带；频率是以10倍频表示的，因此可以清楚的表示出低频、中频和高频段的幅频和相频特性。n可以将乘法运算转化为加法运算。n所有的典型环节的频率特性都可以用分段直线（渐进线）近似表示。n对实验所得的频率特性用对数坐标表示，并用分段直线近似的方法，可以很容易的写出它的频率特性表达式。第19页，共128页，编辑于2022年，星期三3、对数幅相特性曲线（又称尼柯尔斯图）尼柯尔斯图是将对数幅频特性
10、和相频特性两条曲线合并成一条曲线。横坐标为相角特性，单位度或弧度。纵坐标为对数幅频特性，单位为分贝。横、纵坐标都是线性分度。第20页，共128页，编辑于2022年，星期三5.2.1 典型环节5-2 典型环节分解和频率特性曲线绘制典型环节分解和频率特性曲线绘制对任一传递函数，可分解为以下形式：l最小相位环节 l非最小相位环节第21页，共128页，编辑于2022年，星期三开环系统典型环节分解最小相位系统最小相位系统比例环节比例环节 惯性环节惯性环节 一阶微分环节一阶微分环节振荡环节振荡环节二阶微分环节二阶微分环节积分环节积分环节1/s；微分环节微分环节s；惯性环节惯性环节一阶微分环节一阶微分环节振
11、荡环节振荡环节 (二阶微分环节二阶微分环节非最小相位系统非最小相位系统比例环节比例环节第22页，共128页，编辑于2022年，星期三幅频特性：；相频特性：比例环节：;对数幅频特性：相频特性：比例环节的比例环节的bode图图5.2.2 典型环节的频率特性一、典型环节的对数频率特性曲线第23页，共128页，编辑于2022年，星期三 积分环节的频率特性：频率特性：积分环节的积分环节的Bode图图可见斜率为20dB/dec 当有两个积分环节时可见斜率为40dB/dec 第24页，共128页，编辑于2022年，星期三惯性环节的惯性环节的Bode图图 惯性环节的频率特性：对数幅频特性：，为了图示简单，采用
12、分段直线近似表示。方法如下：低频段：当 时，称为低频渐近线。高频段：当 时，称为高频渐近线。这是一条斜率为-20dB/Dec的直线（表示 每增加10倍频程下降20分贝）。当 时，对数幅频曲线趋近于低频渐近线，当 时，趋近于高频渐近线。第25页，共128页，编辑于2022年，星期三低频高频渐近线的交点为：，得：，称为转折频率或交换频率。可以用这两个渐近线近似的表示惯性环节的对数幅频特性。第26页，共128页，编辑于2022年，星期三惯性环节的惯性环节的Bode图图图中，红、绿线分别是低频、高频渐近线，蓝线是实际曲线。第27页，共128页，编辑于2022年，星期三惯性环节的惯性环节的Bode图图波
13、德图误差分析（实际频率特性和渐近线之间的误差）：当 时，误差为：当 时，误差为：最大误差发生在 处，为wT0.1 0.2 0.5 1 2 510L(w),dB-0.04-0.2-1-3-7-14.2-20.04 渐近线,dB 0 000-6-14-20 误差,dB-0.04-0.2-1-3-1-0.2-0.04第28页，共128页，编辑于2022年，星期三 相频特性：作图时先用计算器计算几个特殊点：由图不难看出相频特性曲线在半对数坐标系中对于相频特性曲线在半对数坐标系中对于(w w0,-45)点是斜对点是斜对称的称的，这是对数相频特性的一个特点。当时间常数T变化时，对数幅频特性和对数相频特性的
14、形状都不变，仅仅是根据转折频率1/T的大小整条曲线向左或向右平移即可。而当增益改变时，相频特性不变，幅频特性上下平移。惯性环节的波德图惯性环节的波德图wT0.010.020.050.10.20.30.50.71.0j(w)-0.6-1.1-2.9-5.7-11.3-16.7-26.6-35-45wT2.03.04.05.07.0102050100j(w)-63.4-71.5-76-78.7-81.9-84.3-87.1-88.9-89.4第29页，共128页，编辑于2022年，星期三 振荡环节的频率特性：讨论 时的情况。当K=1时，频率特性为：振荡环节的频率特性振荡环节的频率特性幅频特性为：相
15、频特性为：对数幅频特性为：低频段渐近线：高频段渐近线：两渐近线的交点 称为转折频率。斜率为-40dB/Dec。第30页，共128页，编辑于2022年，星期三相频特性：几个特征点：由图可见：对数相频特性曲线在半对数坐标系中对于(w0,-90)点是斜对称的。对数幅频特性曲线有峰值。振荡环节的波德图振荡环节的波德图第31页，共128页，编辑于2022年，星期三对 求导并令等于零，可解得 的极值对应的频率 ：该频率称为谐振峰值频率。可见，当 时，。当 时，无谐振峰值。当 时，有谐振峰值:谐振频率，谐振峰值谐振频率，谐振峰值当 ，因此在转折频率附近的渐近线依不同阻尼系数与实际曲线可能有很大的误差。第32
16、页，共128页，编辑于2022年，星期三振荡环节的波德图振荡环节的波德图左图是不同阻尼系数情况下的对数幅频特性和对数相频特性图。上图是不同阻尼系数情况下的对数幅频特性实际曲线与渐近线之间的误差曲线。第33页，共128页，编辑于2022年，星期三 微分环节的频率特性：微分环节有三种：纯微分、一阶微分和二阶微分。传递函数分别为：频率特性分别为：微分环节的频率特性微分环节的频率特性第34页，共128页，编辑于2022年，星期三纯微分环节的波德图纯微分环节的波德图 纯微分：第35页，共128页，编辑于2022年，星期三 一阶微分：这是斜率为+20dB/Dec的直线。低、高频渐进线的交点为相频特性：几个
17、特殊点如下相角的变化范围从0到 。低频段渐进线：高频段渐进线：对数幅频特性（用渐近线近似）：一阶微分环节的波德图一阶微分环节的波德图第36页，共128页，编辑于2022年，星期三一阶微分环节的波德图一阶微分环节的波德图一阶微分环节惯性环节第37页，共128页，编辑于2022年，星期三幅频和相频特性为：二阶微分环节：低频渐进线：高频渐进线：转折频率为：，高频段的斜率+40dB/Dec。相角：可见，相角的变化范围从0180度。二阶微分环节的频率特性二阶微分环节的频率特性第38页，共128页，编辑于2022年，星期三二阶微分环节的波德图二阶微分环节的波德图二阶微分振荡环节第39页，共128页，编辑于
18、2022年，星期三 延迟环节的频率特性：传递函数：频率特性：幅频特性：相频特性：延迟环节的奈氏图延迟环节的奈氏图第40页，共128页，编辑于2022年，星期三最小相位系统和非最小相位系统最小相位系统和非最小相位系统例：有五个系统的传递函数如下。系统的幅频特性相同。第41页，共128页，编辑于2022年，星期三由图可知最小相位系统是指在具有相同幅频特性的一类系统中，当w从0变化至时，系统的相角变化范围最小，且变化的规律与幅频特性的斜率有关系(如 j1(w)。而非最小相位系统的相角变化范围通常比前者大(如j2(w)、j3(w)、j5(w)；或者相角变化范围虽不大，但相角的变化趋势与幅频特性的变化趋
19、势不一致(如 j4(w)。最小相位系统和非最小相位系统最小相位系统和非最小相位系统第42页，共128页，编辑于2022年，星期三最小相位系统与非最小相位系统最小相位系统系统传递函数的极点、零点都位于左半平面非最小相位系统在右半平面存在极点、零点最小相位系统的特点：不含有滞后环节，或不稳定的环节对于具有相同幅频特性的系统，最小相位系统的相角最小幅频特性和相频特性之间存在着唯一的对应关系，因此只要知道其对数幅频特性，就可以画出其相频特性，也可以写出其传递函数。而非最小相位系统的幅频特性和相频特性之间不存在这种唯一对应关系第43页，共128页，编辑于2022年，星期三实频特性：；虚频特性：；ReIm
20、K 比例环节：;幅频特性：；相频特性：比例环节的极坐标图为实轴上的K点。二、典型环节的幅相频率特性曲线第44页，共128页，编辑于2022年，星期三积分环节的奈氏图积分环节的奈氏图频率特性：ReIm 积分环节的频率特性：积分环节的极坐标图为负虚轴。频率w从0特性曲线由虚轴的趋向原点。第45页，共128页，编辑于2022年，星期三惯性环节的奈氏图惯性环节的奈氏图 惯性环节的频率特性：第46页，共128页，编辑于2022年，星期三惯性环节的奈氏图惯性环节的奈氏图极坐标图是一个圆，对称于实轴。证明如下：整理得：下半个圆对应于正频率部分，而上半个圆对应于负频率部分。第47页，共128页，编辑于2022
21、年，星期三实频、虚频、幅频和相频特性分别为：振荡环节的频率特性振荡环节的频率特性 振荡环节的频率特性：讨论 时的情况。当K=1时，频率特性为：第48页，共128页，编辑于2022年，星期三当 时，曲线在3，4象限；当 时，与之对称于实轴。振荡环节的奈氏图振荡环节的奈氏图实际曲线还与阻尼系数有关第49页，共128页，编辑于2022年，星期三振荡环节的奈氏图振荡环节的奈氏图由图可见无论是欠阻尼还是过阻尼系统，其图形的基本形状是相同的。当过阻尼时，阻尼系数越大其图形越接近圆。第50页，共128页，编辑于2022年，星期三 微分环节的频率特性：微分环节有三种：纯微分、一阶微分和二阶微分。传递函数分别为
22、：频率特性分别为：微分环节的频率特性微分环节的频率特性第51页，共128页，编辑于2022年，星期三 纯微分环节：纯微分环节的奈氏图纯微分环节的奈氏图ReIm微分环节的极坐标图为正虚轴。频率w从0特性曲线由原点趋向虚轴的+。第52页，共128页，编辑于2022年，星期三一阶微分环节的奈氏图一阶微分环节的奈氏图 一阶微分：ReIm一阶微分环节的极坐标图为平行于虚轴直线。频率w从0特性曲线相当于纯微分环节的特性曲线向右平移一个单位。第53页，共128页，编辑于2022年，星期三二阶微分环节的频率特性二阶微分环节的频率特性 二阶微分环节：幅频和相频特性为：第54页，共128页，编辑于2022年，星期
23、三1极坐标图是一个圆心在原点，半径为1的圆。延迟环节的奈氏图延迟环节的奈氏图 延迟环节的频率特性：传递函数：频率特性：幅频特性：相频特性：第55页，共128页，编辑于2022年，星期三一、开环系统极坐标频率特性的绘制（绘制奈氏图）开环系统的频率特性或由典型环节的频率特性组合而成，或是一个有理分式，不论那种形式，都可由下面的方法绘制。q 使用MATLAB工具绘制。q 将开环系统的频率特性写成 或 的形式，根据不同的 算出 或 可在复平面上得到不同的点并连之为曲线。（手工画法）。绘制方法：5.2.3开环系统频率特性的绘制第56页，共128页，编辑于2022年，星期三例5-1设开环系统的频率特性为：
24、试列出实频和虚频特性的表达式。当 绘制奈氏图。解：当 时，找出几个特殊点（比如 ，与实、虚轴的交点等），可大致勾勒出奈氏图。为了相对准确，可以再算几个点。第57页，共128页，编辑于2022年，星期三 0-1.72-5.770 0-0.79 03.8510.80.20相角：-180-114.62 -90-56.3100.80.20用上述信息可以大致勾勒出奈氏图。第58页，共128页，编辑于2022年，星期三下图是用 Matlab工具绘制的奈氏图。第59页，共128页，编辑于2022年，星期三例5-2设开环系统的频率特性为：试绘制极坐标特性曲线。解：分析1、当 时，显然，当 时，的渐近线是一条通
25、过实轴 点，且平行于虚轴的直线。2、与实轴的交点。令：，解得：，这时：3、当 时，渐近线方向向下。第60页，共128页，编辑于2022年，星期三第61页，共128页，编辑于2022年，星期三具有积分环节的系统的频率特性的特点：频率特性可表示为：其相角为：当 时，当 时，显然，低频段的频率特性与系统型数有关，高频段的频率特性与n-m有关。第62页，共128页，编辑于2022年，星期三下图为0型、型和型系统在低频和高频段频率特性示意图：（0型）（型）（型）低频段频率特性n-m=3n-m=1n-m=2高频段频率特性至于中频部分，可计算一些特殊点的来确定。如与坐标的交点等。第63页，共128页，编辑于
26、2022年，星期三（二）、开环系统对数坐标频率特性的绘制（绘制波德图）开环系统频率特性为：第64页，共128页，编辑于2022年，星期三幅频特性：相频特性：且有：由以上的分析可得到开环系统对数频率特性曲线的绘制方法：先画出每一个典型环节的波德图，然后相加。第65页，共128页，编辑于2022年，星期三例：开环系统传递函数为：，试画出该系统的波德图。解：该系统由四个典型环节组成。一个比例环节，一个积分环节两个惯性环节。手工将它们分别画在一张图上。然后，在图上相加。第66页，共128页，编辑于2022年，星期三 实际上，画图不用如此麻烦。我们注意到：幅频曲线由折线（渐进线）组成，在转折频率处改变斜
27、率。q 确定 和各转折频率 ，并将这些频率按小大顺序依次标注在频率轴上；q 确定低频渐进线：，就是第一条折线，其斜率为 ，过点（1，20logk）。实际上是k和积分 的曲线。具体步骤如下：第67页，共128页，编辑于2022年，星期三q 高频渐进线的斜率为：-20(n-m)dB/dec。q 相频特性还是需要点点相加，才可画出。遇到 （一阶惯性）时，斜率下降-20dB/Dec;遇到 （二阶惯性）时，斜率下降-40dB/Dec;q 画好低频渐进线后，从低频开始沿频率增大的方向，每遇到一个转折频率改变一次分段直线的斜率：遇到 （一阶微分）时，斜率增加+20dB/Dec;遇到 （二阶微分）时，斜率增加
28、+40dB/Dec;第68页，共128页，编辑于2022年，星期三例5-3系统开环特性为：试画出波德图。解：1、该系统是0型系统，所以则，2、低频渐进线：斜率为 ，过点（1，20）3、波德图如下：第69页，共128页，编辑于2022年，星期三红线为渐进线，兰线为实际曲线。第70页，共128页，编辑于2022年，星期三例5-4已知，试画波德图。解：1、2、低频渐进线斜率为 ，过（1，-60）点。4、画出波德图如下页：3、高频渐进线斜率为：第71页，共128页，编辑于2022年，星期三红线为渐进线，兰线为实际曲线。第72页，共128页，编辑于2022年，星期三例5-5具有延迟环节的开环频率特性为：
29、，试画出波德图。解：可见，加入了延迟环节的系统其幅频特性不变，相位特性滞后了。第73页，共128页，编辑于2022年，星期三例有两个系统，频率特性分别为：转折频率都是：幅频特性相同，均为：相频特性不同，分别为：三、非最小相位系统的频率特性第74页，共128页，编辑于2022年，星期三最小相位系统非最小相位系统 该两个系统的波德图如下所示：第75页，共128页，编辑于2022年，星期三奈氏图为：最小相位系统非最小相位系统第76页，共128页，编辑于2022年，星期三 奈魁斯特稳定判据是用开环频率特性判别闭环系统的稳定性。不仅能判断系统的绝对稳定性，而且可根据相对稳定的概念，讨论闭环系统的瞬态性能
30、，指出改善系统性能的途径。5-3 奈魁斯特稳定判据第77页，共128页，编辑于2022年，星期三 奈魁斯特(Nyquist)稳定判据，是由H.Nyquist于1932年提出的。是利用奈氏图，来判断闭环系统的稳定性。Nyquist稳定判据的理论基础是复变函数理论中的幅角定理，也称映射定理。第78页，共128页，编辑于2022年，星期三一、幅角定理：设负反馈系统的开环传递函数为：，其中：为前向通道传递函数，为反馈通道传递函数。闭环传递函数为：，如下图所示：构造辅助方程：F(s)的极点为开环传递函数的极点；F(s)的零点为闭环传递函数的极点；(5-23)第79页，共128页，编辑于2022年，星期三
31、 式（5-23）中，s为复变量，以s复平面上的s=+j来表示。F(s)为复变函数，以F(s)复平面上的F(s)=u+j v表示。点映射关系，如图5-26所示。s平面与F(s)平面的曲线映射关系，如图5-27所示。图5-26 点映射关系图5-27 s平面与F(s)平面的映射关系第80页，共128页，编辑于2022年，星期三 1)假设在假设在s平面上任选一点平面上任选一点A,2)使点使点S从从A3)点开始沿封闭点开始沿封闭曲线曲线顺时针顺时针方向移动且回方向移动且回到到A点点.3)所选择的所选择的只包围只包围的某一个零点如的某一个零点如,且在且在的路径上不通过任何一个的路径上不通过任何一个零极点零
32、极点.则则从从B点出发且回到点出发且回到B点点,矢量的端点绕矢量的端点绕复平面的坐标原点移动形成复平面的坐标原点移动形成封闭曲线封闭曲线.的复平面上的复平面上可以确定相对应的像可以确定相对应的像,如下图中的如下图中的B点点.第81页，共128页，编辑于2022年，星期三柯西幅角定理：s平面上不通过F(s)任何奇异点的封闭曲线 包围s平面上F(s)的Z个零点和P个极点。当s以顺时针方向沿封闭曲线 移动一周时，在F(s)平面上相对应于封闭曲线 将绕原点旋转N圈。N，Z，P的关系为：N=P-Z。（注：F(s)任何奇异点即F(s)的零点和极点）若N为负，表示 顺时针运动，包围原点；若N为0，表示 顺时
33、针运动，不包围原点；若N为正，表示 逆时针运动，包围原点。第82页，共128页，编辑于2022年，星期三二、奈魁斯特稳定判据：对于一个控制系统，若其特征根处于s右半平面，则系统是不稳定的。对于上面讨论的辅助方程 ，其零点恰好是闭环系统的极点，因此，只要搞清F(s)的零点在s右半平面的个数，就可以给出稳定性结论。如果F(s)的右半零点个数为零，则闭环系统是稳定的。我们这里是应用开环频率特性研究闭环系统的稳定性，因此开环频率特性是已知的。设想：如果有一个s平面的封闭曲线能包围整个s右半平面，则根据柯西幅角定理知：该封闭曲线在F(s)平面上的映射包围原点的次数应为：当已知开环右半极点数时，便可由R判
34、断闭环右极点数。第83页，共128页，编辑于2022年，星期三这里需要解决两个问题：1、如何构造一个能够包围整个s右半平面的封闭曲线，并且它是满足柯西幅角条件的？2、如何确定相应的映射F(s)对原点的包围次数R，并将它和开环频率特性 相联系？它可分为三部分：部分是正虚轴，部分是右半平面上半径为无穷大的半圆；部分是负虚轴，。第1个问题：先假设F(s)在虚轴上没有零、极点。按顺时针方向做一条曲线 包围整个s右半平面，这条封闭曲线称为奈魁斯特路径。如下图：第84页，共128页，编辑于2022年，星期三F(s)平面上的映射是这样得到的：以 代入F(s)并令 从 变化，得第一部分的映射；在F(s)中取
35、使角度由，得第二部分的映射；令 从 ，得第三部分的映射。稍后将介绍具体求法。得到映射曲线后，就可由柯西幅角定理计算 ，式中：是F(s)在s右半平面的零点数和极点数。确定了R，可求出 。当 时，系统稳定；否则不稳定。第2个问题：辅助方程与开环频率特性的关系。我们所构造的辅助方程为 ，为开环频率特性。因此，有以下三点是明显的：第85页，共128页，编辑于2022年，星期三F(s)对原点的包围，相当于 对(-1,j0)的包围；因此映射曲线F(s)对原点的包围次数R与 对(-1,j0)点的包围的次数一样。F(s)曲线是Gk(s)向右移1；F(s)的极点就是 的极点，因此F(s)在右半平面的极点数就是
36、在右半平面的极点数。第86页，共128页，编辑于2022年，星期三F(s)与 的关系图。第87页，共128页，编辑于2022年，星期三奈魁斯特稳定判据奈魁斯特稳定判据：若系统的开环传递函数在右半平面上有 个极点，且开环频率特性曲线对(-1,j0)点包围的次数为R，（R0逆时针），则闭环系统在右半平面的极点数为：。（2）若 ，则闭环系统稳定，否则不稳定。由于由于曲线当曲线当与与关于实轴成镜关于实轴成镜像对称像对称,所以一般只画所以一般只画的曲线的曲线,则则(2)式可修正为式可修正为:2N=Pk-Zk,N0逆时针环绕临界点逆时针环绕临界点(-1,j0);N=1时，包围(-1,j0)点，k1时，奈氏
37、曲线逆时针包围 (-1,j0)点一圈，R=1，而 ，则闭环系统是稳定的。第91页，共128页，编辑于2022年，星期三当k=1时，奈氏曲线通过(-1,j0)点，属临界稳定状态。当k0，闭环系统不稳定。第102页，共128页，编辑于2022年，星期三小结 柯西幅角定理。满足该定理的条件。辅助方程。其极点为开环极点，其零点为闭环极点。奈奎斯特稳定判据。几种描述形式；、型系统的奈氏路径极其映射；最小相位系统的奈氏判据；对数坐标图上奈氏判据的描述。对数频率特性图和奈奎斯特频率特性图的关系。第103页，共128页，编辑于2022年，星期三练习n5-14(1),(4),(7)n5-16第104页，共128
38、页，编辑于2022年，星期三第六节 稳定裕度第105页，共128页，编辑于2022年，星期三稳定裕度的概念使用稳定裕度概念综合系统本节主要内容：第106页，共128页，编辑于2022年，星期三控制系统的相对稳定性 从Nyquist稳定判据可知，若系统开环传递函数没有右半平面的极点且闭环系统是稳定的，则开环系统的Nyquist曲线离(-1,j0)点越远，则闭环系统的稳定程度越高。开环系统的Nyquist曲线离(-1,j0)点越近，则其闭环系统的稳定程度越低，这就是通常所说的相对稳定性。通过奈氏曲线对点(-1,j0)的靠近程度来度量，其定量表示为相角裕量和幅值裕度。第107页，共128页，编辑于2
39、022年，星期三 当频率特性曲线穿过(-1,j0)点时，系统处于临界稳定状态。这时：。对于最小相位系统，可以用 和 来表示频率特性曲线接近(-1,j0)点的程度，或称为稳定裕度。稳定裕度越大，稳定性越好。定义：和 为幅值稳定裕度和相位稳定裕度。在对数坐标图上，用 表示 的分贝值。即截止频率穿越频率第108页，共128页，编辑于2022年，星期三显然，当 时，即 和 时，闭环系统是稳定的；否则是不稳定的。对于最小相位系统，和 是同时发生或同时不发生的，所以经常只用一种稳定裕度来表示系统的稳定裕度。常用相角裕度。幅值稳定裕度物理意义：稳定系统在相角穿越频率处将幅值增加 倍（奈氏图）或增加 分贝（波
40、德图），则系统处于临界状态。若增加的倍数大于 倍（或 分贝），则系统变为不稳定。比如，若增加开环放大系数K，则对数幅频特性曲线将上升，而相角特性曲线不变。可见，开环放大系数太大，容易引起系统的不稳定。相位稳定裕度的物理意义：稳定系统在幅值穿越频率 处将相角减小 度，则系统变为临界稳定；再减小，就会变为不稳定。第109页，共128页，编辑于2022年，星期三例设控制系统如下图所示k=10和k=100时，试求系统的相位稳定裕度和幅值裕度。-解：相位稳定裕度和幅值裕度可以很容易地从波德图中求得。当k=10时，开环系统波德图如右所示。这时系统的相位稳定裕度和幅值裕度大约是8dB和21度。因此系统在不稳
41、定之前，增益可以增加8dB.第110页，共128页，编辑于2022年，星期三相位裕度和幅值裕度的计算：相位裕度：先求穿越频率在穿越频率处，所以 ，解此方程较困难，可采用近似解法。由于 较小（小于2），所以：穿越频率处的相角为：相角裕度为：第111页，共128页，编辑于2022年，星期三 幅值裕度：先求相角穿越频率相角穿越频率处 的相角为：由三角函数关系得：所以，幅值裕度为：第112页，共128页，编辑于2022年，星期三当增益从k=10增大到k=100时，幅值特性曲线上移20dB，相位特性曲线不变。这时系统的相位稳定裕度和幅值裕度分别是-12dB和-30度。因此系统在k=10时是稳定的，在k=
42、100时是不稳定的。第113页，共128页，编辑于2022年，星期三例5-11某系统结构图如下所示。试确定当k=10时闭环系统的稳定性及其使相位稳定裕度为30度时的开环放大系数k。-解：当k=10时，开环传递函数为：手工绘制波德图步骤：1、确定转折频率：10、40，在(1,20log200)点画斜率为-20的斜线至 ；2、在 之间画斜率为-40的斜线；3、后画斜率为-60的斜线。第114页，共128页，编辑于2022年，星期三上图蓝线为原始波德图。，显然 闭环系统是不稳定的。为了使相位稳定裕度达到30度，可将幅频曲线向下平移。即将开环放大系数减小，这时相频特性不变。截止频率左移至 ，移到哪里？
43、第115页，共128页，编辑于2022年，星期三 ，从图中看出：。所以原始幅频曲线向下移动的分贝数为:所以当开环放大系数下降到15时，闭环系统的相位稳定裕度是30度，这时的幅频稳定裕度为：由图中看出 ，所以设新的开环放大系数为 ，原始的开环放大系数为k=200，则有 （讨论 时较明显）。解得：第116页，共128页，编辑于2022年，星期三稳定裕度概念使用时的局限性：1、在高阶系统中，奈氏图中幅值为1的点或相角为-180度的点可能不止一个，这时使用幅值和相位稳定裕度可能会出现歧义；2、非最小相位系统不能使用该定义；3、有时幅值和相位稳定裕度都满足，但仍有部分曲线很靠近(-1,j0)点，这时闭环
44、系统的稳定性依然不好。见下图：第117页，共128页，编辑于2022年，星期三第七节 频率特性和时域性能指标的关系第118页，共128页，编辑于2022年，星期三n通过频率特性曲线获得稳态性能指标n频率域性能指标n频率域特性指标与时域瞬态指标的关系主要内容第119页，共128页，编辑于2022年，星期三一、稳态性能指标分析：如果通过频率特性曲线能确定系统的无差度阶数 （即积分环节的个数）和开环放大系数k的话，则可求得系统的稳态误差。（见第三章第六节 稳态误差分析）在波德图上，低频渐进线的斜率 和 的关系如下：由 ，可求得 值；也可由 ，求 。开环放大系数k的求法有两种：低频渐进线为：当 时，有
45、：，故：低频渐进线斜率=-20v第120页，共128页，编辑于2022年，星期三当 时，k也可由 与横轴的交点 来求。当 时，有：第121页，共128页，编辑于2022年，星期三二、频域性能指标（一）、开环频率特性性能指标q 幅值稳定裕度 系统开环相频特性为 时，系统开环频率特性幅值的倒数定义为幅值稳定裕度。所对应的频率 称为相角穿越频率。即 ，满足 。实际中常用对数幅值稳定裕度 。q 相角稳定裕度 系统开环频率特性的幅值为1时，系统开环频率特性的相角与 之和定义为相角稳定裕度，所对应的频率 称为系统截止频率或幅值穿越频率。即 ，满足第122页，共128页，编辑于2022年，星期三（二）、闭环
46、频率特性性能指标常用的有下列两项：q 谐振峰值 ：系统闭环频率特性幅值的最大值。q 系统带宽和带宽频率：设 为系统的闭环频率特性，当幅频特性 下降到 时，对应的频率 称为带宽频率。频率范围 称为系统带宽。第123页，共128页，编辑于2022年，星期三三、典型一阶系统和二阶系统的频率特性与瞬态性能指标的关系频域性能指标：由频宽的定义知：我们知道一阶惯性环节的调整时间是：则频宽越大，调整时间越小。q 一阶系统：传递函数为：q 二阶系统：闭环频率特性为：开环频率特性为：第124页，共128页，编辑于2022年，星期三幅频特性为：由带宽的定义知当 时的频率 为带宽频率。得：若将带宽定义在波德图上，则
47、当 时，有：图示如右：频域性能指标主要有相位稳定裕度（开环指标）和频宽、谐振峰值（闭环指标）。第125页，共128页，编辑于2022年，星期三带宽的物理意义：因为 ，当 时，表示 ，随着 时，表示 ，输出衰减了0.707倍或-3分贝。再增加，输出衰减得更厉害，这时对实际系统来说，已不能正常使用了。在实际应用中，一般用 （或略大一些）来估计 。显然这种估计是偏于保守的。第126页，共128页，编辑于2022年，星期三幅值 与 的关系：对 求导并令等于零，可解得 的极值。称为谐振峰值频率。可见，当 时，。当 时，无谐振峰值。当 时，有谐振峰值。谐振频率，谐振峰值谐振频率，谐振峰值第127页，共128页，编辑于2022年，星期三练习n5-2n5-8n5-14(1),(4),(7)n5-16n5-21n5-23第128页，共128页，编辑于2022年，星期三