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1、二、二、函数的间断点函数的间断点 一、一、函数连续性的概念函数连续性的概念 第一节机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数的连续性 第三章 可见,函数在点一、一、函数连续性的定义函数连续性的定义定义定义:在的某邻域内有定义,则称函数(1)在点即(2)极限(3)设函数连续必须具备下列条件:存在;且有定义,存在;机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1 1证证由定义知由定义知对自变量的增量有函数的增量左连续右连续当时,有函数在点连续有下列等价命题:机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线连续
2、函数的图形是一条连续而不间断的曲线.若在某区间上每一点都连续,则称它在该区间上连续,或称它为该区间上的连续函数连续函数.记作记作例例2.证明函数在内连续.证证:即这说明在内连续.同样可证:函数在内连续.机动 目录 上页 下页 返回 结束 在在二、二、函数的间断点函数的间断点(1)函数(2)函数不存在;(3)函数存在,但 不连续:设在点的某去心邻域内有定义,则下列情形这样的点之一函数 f(x)在点虽有定义,但虽有定义,且称为间断点间断点.在无定义;机动 目录 上页 下页 返回 结束 间断点分类间断点分类:第一类间断点第一类间断点:及均存在,若称若称第二类间断点第二类间断点:及中至少一个不存在,称
3、若其中有一个为振荡,称若其中有一个为为可去间断点.为跳跃间断点.为无穷间断点无穷间断点.为振荡间断点振荡间断点.机动 目录 上页 下页 返回 结束 为其无穷间断点.为其振荡间断点.为可去间断点.例如例如:机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点.显然为其可去间断点.(4)(5)为其跳跃间断点.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第九节 目录 上页 下页 返回 结束 在定义域在定义域R内每一点处都间断内每一点处都间断,且都是第二类间断且都是第二类间断点点.再如再如:仅在仅在x=0处连续处连续,其余各点处处间断其余各点处处间断.左连续右连续第一类间断点可去间断点跳跃间断点左右极限都存在 第二类间断点无穷间断点振荡间断点左右极限至少有一个不存在在点间断的类型在点连续的等价形式机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结：备用题备用题 确定函数间断点的类型.解解:间断点为无穷间断点;故为跳跃间断点.机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考题思考题机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考题解答思考题解答且且机动 目录 上页 下页 返回 结束 但反之不成立但反之不成立.例例但但