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1、二、二、函数的函数的间断点断点 一、一、函数函数连续性的定性的定义 第八节机动目录上页下页返回结束函数的连续性与间断点 第一章 可见,函数在点一、一、函数函数连续性的定性的定义定定义:在的某邻域内有定义,则称函数(1)在点即(2)极限(3)设函数连续必须具备下列条件:存在;且有定义,存在;机动目录上页下页返回结束continue若在某区间上每一点都连续,则称它在该区间上连续,或称它为该区间上的连续函数函数.例如例如,在上连续.(有理整函数)又如又如,有理分式函数在其定义域内连续.在闭区间上的连续函数的集合记作只要都有机动目录上页下页返回结束对自变量的增量有函数的增量左连续右连续当时,有函数在点
2、连续有下列等价命题:机动目录上页下页返回结束例例.证明函数在内连续.证:即这说明在内连续.同样可证:函数在内连续.机动目录上页下页返回结束在在在在二、函数的二、函数的间断点断点(1)函数函数(2)函数函数不存在不存在;(3)函数函数存在存在,但但 不不连续:设在点在点的某去心的某去心邻域内有定域内有定义,则下列情形下列情形这样的点的点之一之一函数函数 f(x)在点在点虽有定有定义,但但虽有定有定义,且且称称为间断点断点.在在无定无定义;机动目录上页下页返回结束间断点分断点分类:第一第一类间断点断点:及及均存在均存在,若若称称若若称称第二第二类间断点断点:及及中至少一个不存在中至少一个不存在,称
3、称若其中有一个若其中有一个为振振荡,称称若其中有一个若其中有一个为为可去可去间断点断点.为跳跳跃间断点断点.为无无穷间断点断点.为振振荡间断点断点.机动目录上页下页返回结束为其无其无穷间断点断点.为其振其振荡间断点断点.为可去可去间断点断点.例如例如:机动目录上页下页返回结束显然然为其可去其可去间断点断点.(4)(5)为其跳其跳跃间断点断点.机动目录上页下页返回结束思考与思考与练习1.讨论函数函数x=2 是第二是第二类无无穷间断点断点.间断点的断点的类型型.2.设时提示提示:为连续函数函数.机动目录上页下页返回结束答案答案:x=1 是第一是第一类可去可去间断点断点,3.确定函数确定函数间断点的断点的类型型.解解:间断点断点为无无穷间断点断点;故故为跳跳跃间断点断点.机动目录上页下页返回结束4.确定常数确定常数a、b,使得使得为连续函数函数.解解:因为【分析分析】主要考主要考虑指数函数在指数函数在n 时的极限的极限.这类函数一般都是分段函数函数一般都是分段函数.内容小内容小结左左连续右右连续第一第一类间断点断点可去可去间断点断点跳跳跃间断点断点左右极限都存在左右极限都存在 第二第二类间断点断点无无穷间断点断点振振荡间断点断点左右极限至少有一左右极限至少有一个不存在个不存在在点在点间断的断的类型型在点在点连续的等价形式的等价形式机动目录上页下页返回结束 作作业 P65 3;4