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1、一、一、函数连续性的定义函数连续性的定义 第四节机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数的连续性 第一章 1可见,函数在点一、一、函数连续性的定义函数连续性的定义定义定义:在的某邻域内有定义,则称函数(1)在点即(2)极限(3)设函数连续必须具备下列条件:存在;且有定义,存在;机动 目录 上页 下页 返回 结束 2continue若在某区间上每一点都连续,则称它在该区间上连续,或称它为该区间上的连续函数连续函数.例如例如,在上连续.(有理整函数)又如又如,有理分式函数在其定义域内连续.在闭区间上的连续函数的集合记作只要都有机动 目录 上页 下页 返回 结束 3对自变量的增量有函数的增量左连续右
2、连续当时,有函数在点连续有下列等价命题:机动 目录 上页 下页 返回 结束 4例例1.证明函数在内连续.证证:即这说明在内连续.同样可证:函数在内连续.机动 目录 上页 下页 返回 结束 5在在二、二、函数的间断点函数的间断点(1)函数(2)函数不存在;(3)函数存在,但 不连续:设在点的某去心邻域内有定义,则下列情形这样的点之一函数 f(x)在点虽有定义,但虽有定义,且称为间断点间断点.在无定义;机动 目录 上页 下页 返回 结束 6间断点分类间断点分类:第一类间断点第一类间断点:及均存在,若称若称第二类间断点第二类间断点:及中至少一个不存在,称若其中有一个为振荡,称若其中有一个为为可去间断
3、点.为跳跃间断点.为无穷间断点无穷间断点.为振荡间断点振荡间断点.机动 目录 上页 下页 返回 结束 7为其无穷间断点.为其振荡间断点.为可去间断点.例如例如:机动 目录 上页 下页 返回 结束 8显然为其可去间断点.(4)(5)为其跳跃间断点.机动 目录 上页 下页 返回 结束 9注意注意：左连续右连续第一类间断点可去间断点跳跃间断点左右极限都存在 第二类间断点无穷间断点振荡间断点左右极限至少有一个不存在在点间断的类型在点连续的等价形式机动 目录 上页 下页 返回 结束 10定理定理2.连续单调递增 函数的反函数在其定义域内连续三、连续函数的运算法则三、连续函数的运算法则定理定理1.在某点连
4、续的有限个函数经有限次和,差,积,(利用极限的四则运算法则证明)商(分母不为 0)运算,结果仍是一个在该点连续的函数.例如例如,例如例如,在上连续单调递增，其反函数(递减).(证明略)在 1,1 上也连续单调递增.递增(递减)也连续单调机动 目录 上页 下页 返回 结束 11定理定理3.连续函数的复合函数是连续的.在上连续 单调 递增,其反函数在上也连续单调递增.证证:设函数于是故复合函数又如又如,且即机动 目录 上页 下页 返回 结束 12四、初等函数的连续性四、初等函数的连续性基本初等函数在定义区间内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续一切初等函数在定义区间内连续例如例如,的
5、连续区间为(端点为单侧连续)的连续区间为的定义域为因此它无连续点而机动 目录 上页 下页 返回 结束 13例例2.求解解:原式例例3.求解解:令则原式说明说明:当时,有机动 目录 上页 下页 返回 结束 14例例4.求求解解:原式说明说明:若则有机动 目录 上页 下页 返回 结束 15例例5.设解解:讨论复合函数的连续性.故此时连续;而故x=1为第一类间断点.在点 x=1 不连续,机动 目录 上页 下页 返回 结束 16第四节（一）（一）、最值定理、最值定理 （二）、介值定理（二）、介值定理 机动 目录 上页 下页 返回 结束 五、闭区间上连续函数的性质 第一章 17注意注意:若函数在开区间上
6、连续,结论不一定成立.(一一)、最值定理、最值定理定理定理4 4.在闭区间上连续的函数即:设则使值和最小值.或在闭区间内有间断 在该区间上一定有最大(证明略)点,机动 目录 上页 下页 返回 结束 18例如例如,无最大值和最小值 也无最大值和最小值 又如又如,机动 目录 上页 下页 返回 结束 19推论推论.由定理 1 可知有证证:设上有界.(二二)、介值定理、介值定理定理定理5.(零点定理)至少有一点且使机动 目录 上页 下页 返回 结束(证明略)在闭区间上连续的函数在该区间上有界.20定理定理6.(介值定理)设 且则对 A 与 B 之间的任一数 C,一点证证:作辅助函数则且故由零点定理知,
7、至少有一点使即推论推论:使至少有在闭区间上的连续函数 必取得介于最小值与最大值之间的任何值.机动 目录 上页 下页 返回 结束 21例例6.证明方程一个根.证证:显然又故据零点定理,至少存在一点使即说明说明:内必有方程的根;取的中点内必有方程的根;可用此法求近似根.二分法二分法在区间内至少有机动 目录 上页 下页 返回 结束 则则22 内容小结一内容小结一基本初等函数在定义区间内在定义区间内连续连续函数的四则运算四则运算的结果连续连续函数的反函数反函数连续连续函数的复合函数复合函数连续初等函数在定义区间内连续说明说明:分段函数在界点处是否连续需讨论其 左、右连续性.机动 目录 上页 下页 返回
8、 结束 23内容小结二内容小结二在上达到最大值与最小值;上可取最大与最小值之间的任何值;4.当时,使必存在上有界;在在机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业：P26 16,1724小结三：1.函数在一点连续必须满足的三个条件函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数区间上的连续函数;第一类间断点第一类间断点:可去型可去型,跳跃型跳跃型.第二类间断点第二类间断点:无穷型无穷型,振荡型振荡型.间断点间断点(见下图见下图)27可去型可去型第第一一类类间间断断点点oyx跳跃型跳跃型无穷型无穷型振荡型振荡型第第二二类类间间断断点点oyxoyxoyx
9、26备用题备用题1.确定函数间断点的类型.解解:间断点为无穷间断点;故为跳跃间断点.机动 目录 上页 下页 返回 结束 27备用题备用题2.求则有解解1:令机动 目录 上页 下页 返回 结束 28备用题备用题2.求解解2:机动 目录 上页 下页 返回 结束 29备用题备用题3.求解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 30备用题备用题4.设分析：对带有极限符号的函数，先去掉极限符号为连续函数，试确定为连续函数，试确定a及及b。机动 目录 上页 下页 返回 结束 31解：当时当|x|0时，则x=0是f(x)的第二类间断点，而f(x)的连续区间为1.有无穷间断点x=0;2.可去间断点x=1。机动 目录 上页 下页 返回 结束 34时，解：因为练习2：确定a、b使无穷间断点。即e=b。这时要使f(x）有可去间断点x=1,需求极限故应要求机动 目录 上页 下页 返回 结束 35故当时，f(x)有可去间断点。作业：P24 15.（4）（6）（10）（12）