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1、第四章误差的合成与分配本讲稿第一页，共五十五页 用各项误差求总误差的过程称为用各项误差求总误差的过程称为误差的合成。误差的合成。误差的合成，须具体考虑以下几个方面：误差的合成，须具体考虑以下几个方面：1、确定误差的性质、确定误差的性质 2、确定误差的分布规律、确定误差的分布规律 3、分项误差的相关性、分项误差的相关性 5、确定被测量与各影响因素之间的关系、确定被测量与各影响因素之间的关系 实实际际情情况况非非常常复复杂杂，误误差差合合成成应应根根据据具具体体情情况况进进行行，采采用用抓抓主主要要舍舍次次要要的的原原则则，使使误误差差合合成成的的最最后后结结果果能能够够简简便便而而真真实实地地表
2、表示示出测量结果与精度。出测量结果与精度。4 4、误差项的划分及数目、误差项的划分及数目本讲稿第二页，共五十五页间接测量间接测量 函数误差函数误差 间接测得的被测量误差也应是直接测得量及其误差的函数，故称这种间接测量的误差为函数误差函数误差 通过直接测得的量与被测量之间的函数关系计算出被测量 第一节函数误差间接测量的数学模型间接测量的数学模型 与被测量有函数关系的各个直接测量值与被测量有函数关系的各个直接测量值 y y 间接测量值间接测量值本讲稿第三页，共五十五页一、函数系统误差计算一、函数系统误差计算求上述函数求上述函数 y y 的全微分，其表达式为的全微分，其表达式为：误差的合成误差的合成
3、 间接测量数据处理的任务：间接测量数据处理的任务：根据直接测量量的测量值估计出间接测根据直接测量量的测量值估计出间接测量量的数学期望；量量的数学期望；根据直接测量量的测量值和误差估计出间接根据直接测量量的测量值和误差估计出间接测量量的误差。测量量的误差。对于这种有确定关系的误差的计算，常称为误差的合成。对于这种有确定关系的误差的计算，常称为误差的合成。如果各直接测量量定值系统误差为如果各直接测量量定值系统误差为 ，且各系统误差是微小的，且各系统误差是微小的，则用各则用各 代替上式中相应的代替上式中相应的 d dx xi i 后，即可得到间接测量量的系后，即可得到间接测量量的系统误差为统误差为本
4、讲稿第四页，共五十五页 为各个输入量在该测量点处的误差传播系数为各个输入量在该测量点处的误差传播系数 几种简单函数的系统误差几种简单函数的系统误差 1 1、线性函数、线性函数系统误差公式系统误差公式当当函数为各测量值之和时，其函数系统误差亦为各个测量值系统误差之和当函数为各测量值之和时，其函数系统误差亦为各个测量值系统误差之和 2 2、三角函数形式、三角函数形式 关于直接测量量关于直接测量量x xi i的分误差的分误差 本讲稿第五页，共五十五页【例】【例】用弓高弦长法间接测量大圆工件直径。用弓高弦长法间接测量大圆工件直径。如图所示如图所示,车间工人用一把卡尺量得弓高车间工人用一把卡尺量得弓高h
5、 h =50=50mmmm ，弦长，弦长l=500mml=500mm。已知，弓高的系统误已知，弓高的系统误差差 h h=-0.1=-0.1mm mm,弦长的系统误差弦长的系统误差 l l=-1mm=-1mm。试问车间工人测量该工件直径的系统误差，并求试问车间工人测量该工件直径的系统误差，并求修正后的测量结果。修正后的测量结果。【解】【解】建立间接测量大工件直径的函数模型建立间接测量大工件直径的函数模型 不考虑测量值的系统误差，可求出在不考虑测量值的系统误差，可求出在 处的直处的直径测量值径测量值 本讲稿第六页，共五十五页直径的系统误差直径的系统误差:故修正后的测量结果故修正后的测量结果:误差传
6、递系数为误差传递系数为:车间工人测量弓高车间工人测量弓高 h h、弦长、弦长 l l 的系统误差的系统误差 本讲稿第七页，共五十五页二、函数随机误差计算二、函数随机误差计算变量中只有随机误差时的误差传递公式变量中只有随机误差时的误差传递公式函数的一般形式函数的一般形式 或或 第第i i个直接测得量个直接测得量 的标准差的标准差 第第i i个测量值和第个测量值和第j j个测量值之间的相关系数个测量值之间的相关系数 第第i i个测量值和第个测量值和第j j个测量值之间的协方差个测量值之间的协方差 第第i i个直接测得量个直接测得量 对间接量对间接量 在该测量点在该测量点 处的误差传播系数处的误差传
7、播系数 本讲稿第八页，共五十五页或相互独立的函数标准差计算相互独立的函数标准差计算相互独立的函数标准差计算相互独立的函数标准差计算 若各测量值的随机误差是相互独立的，相关项若各测量值的随机误差是相互独立的，相关项 令则 当各个测量值的随机误差都为正态分布时，标准差用极限误差代替，可得函数的极限误差公式 第i个直接测得量 的极限误差 本讲稿第九页，共五十五页三角形式的函数随机误差公式三角形式的函数随机误差公式1 1）正弦函数形式为正弦函数形式为:函数随机误差公式为：函数随机误差公式为：2 2）余弦函数形式为余弦函数形式为:函数随机误差公式为：函数随机误差公式为：三角函数标准差计算三角函数标准差计
8、算 3 3）正切函数形式为正切函数形式为:函数随机误差公式为：函数随机误差公式为：4 4）余弦函数形式为余弦函数形式为:函数随机误差公式为：函数随机误差公式为：本讲稿第十页，共五十五页【解】【解】【例】【例】用弓高弦长法间接测量大工件直径。如图所示，车间工用弓高弦长法间接测量大工件直径。如图所示，车间工人用一把卡尺量得弓高人用一把卡尺量得弓高h h=50=50mmmm ，弦长，弦长l=500mml=500mm。已知，弓高的已知，弓高的系统误差系统误差 h h=-0.1=-0.1mm mm,弦长的系统误差弦长的系统误差 l l=-1mm =-1mm。试求测量该试求测量该工件直径的标准差，并求修正
9、后的测量结果。工件直径的标准差，并求修正后的测量结果。已知：已知：，有修正后的测量结果 本讲稿第十一页，共五十五页相关系数对函数误差的影响相关系数对函数误差的影响 函数标准差与各随机误差分量标准差之间具有线性的传播关系函数标准差与各随机误差分量标准差之间具有线性的传播关系 函数随机误差公式函数随机误差公式 反映了各随机误差分量相互间线性关联对函数总误差的影响反映了各随机误差分量相互间线性关联对函数总误差的影响 当相关系数当相关系数 时，误差线性无关时，误差线性无关当相关系数当相关系数 时，误差完全正相关时，误差完全正相关三、相关系数估计三、相关系数估计本讲稿第十二页，共五十五页相关系数的确定相
10、关系数的确定相关系数的确定相关系数的确定可判断可判断 的情形的情形 断定断定 与与 两分量之间没有相互依赖关系的影响两分量之间没有相互依赖关系的影响 当一个分量依次增大时，引起另一个分量呈正负交替变化，反之当一个分量依次增大时，引起另一个分量呈正负交替变化，反之亦然亦然 与与 属于完全不相干的两类体系分量，如人员操作引起的误属于完全不相干的两类体系分量，如人员操作引起的误差分量与环境湿度引起的误差分量差分量与环境湿度引起的误差分量 与与 虽相互有影响，但其影响甚微，视为可忽略不计的弱虽相互有影响，但其影响甚微，视为可忽略不计的弱相关相关 1 1、直接判断法、直接判断法、直接判断法、直接判断法本
11、讲稿第十三页，共五十五页可判断可判断 或或 的情形的情形 断定断定 与与 两分量间近似呈现正的线性关系或负的线两分量间近似呈现正的线性关系或负的线性关系性关系 当一个分量依次增大时，引起另一个分量依次增大或减当一个分量依次增大时，引起另一个分量依次增大或减小，反之亦然小，反之亦然 与与 属于同一体系的分量，如用属于同一体系的分量，如用1 1m m基准尺测基准尺测2 2m m尺，则尺，则各米分量间完全正相关各米分量间完全正相关 2、试样观察法和简略计算法、试样观察法和简略计算法 （1 1）观察法观察法本讲稿第十四页，共五十五页 （2 2）简单计算法简单计算法简单计算法简单计算法其中，n2n3n4
12、n10（3 3）直接计算法直接计算法直接计算法直接计算法 根据 的多组测量的对应值 ，按如下统计公式计算相关系数 、分别为 、的算术平均值 AB本讲稿第十五页，共五十五页第二节随机误差的合成 任何测量结果都包含有一定的测量误差，这是测量过任何测量结果都包含有一定的测量误差，这是测量过程中各个环节一系列误差因素作用的结果。误差合成就是程中各个环节一系列误差因素作用的结果。误差合成就是在正确地分析和综合这些误差因素的基础上，正确地表述在正确地分析和综合这些误差因素的基础上，正确地表述这些误差的综合影响。这些误差的综合影响。标准差合成 极限误差合成解决随机误差的合成问题一般基于标准方差和根合成的解决
13、随机误差的合成问题一般基于标准方差和根合成的方法，其中还要考虑到误差传播系数以及各个误差之间方法，其中还要考虑到误差传播系数以及各个误差之间的相关性影响的相关性影响 随机误差的合成形式包括：本讲稿第十六页，共五十五页一、标准差合成一、标准差合成合成标准差表达式合成标准差表达式:q个单项随机误差，标准差 误差传播系数 v 由间接测量的显函数模型求得 v 根据实际经验给出 本讲稿第十七页，共五十五页当误差传播系数当误差传播系数 、且各相关系数均可视为、且各相关系数均可视为0 0的情形的情形 若各个误差互不相关，即相关系数若各个误差互不相关，即相关系数 则合成标准差则合成标准差 用标准差合成有明显的
14、优点，不仅简单方便，而且无论各单项用标准差合成有明显的优点，不仅简单方便，而且无论各单项随机误差的概率分布如何，只要给出各个标准差，均可计算出随机误差的概率分布如何，只要给出各个标准差，均可计算出总的标准差总的标准差 视各个误差分量的量纲与总误差量的量纲都一致，或者说各个误视各个误差分量的量纲与总误差量的量纲都一致，或者说各个误差分量已经折算为影响函数误差相同量纲的分量差分量已经折算为影响函数误差相同量纲的分量 本讲稿第十八页，共五十五页二、极限误差合成二、极限误差合成 单项极限误差单项极限误差:单项随机误差的标准差单项随机误差的标准差 单项极限误差的置信系数单项极限误差的置信系数 合成极限误
15、差合成极限误差:合成标准差合成标准差 合成极限误差的置信系数合成极限误差的置信系数 合成极限误差计算公式合成极限误差计算公式本讲稿第十九页，共五十五页根据已知的各单项极限误差和所选取的各个置信系数，即可进行极限误差的合成 各个置信系数 、不仅与置信概率有关，而且与随机误差的分布有关 对于相同分布的误差，选定相同的置信概率，其相应的各个置信系数相同 对于不同分布的误差，选定相同的置信概率，其相应的各个置信系数也不相同 ij 为第i个和第j个误差项之间的相关系数，可根据前一节的方法确定。应用极限误差合成公式时，应注意：应用极限误差合成公式时，应注意：本讲稿第二十页，共五十五页 当各个单项随机误差均
16、服从正态分布时，各单项误差的数目q较多、各项误差大小相近和独立时，此时合成的总误差接近于正态分布合成极限误差：合成极限误差：若和各单项误差大多服从正态分布或近似服从正态分布，而各单项误差大多服从正态分布或近似服从正态分布，而且他们之间常是线性无关或近似线性无关，是较为广泛且他们之间常是线性无关或近似线性无关，是较为广泛使用的极限误差合成公式使用的极限误差合成公式 时：此时本讲稿第二十一页，共五十五页第三节系统误差合成一、已定系统误差的合成一、已定系统误差的合成系统误差的分类：系统误差的分类：1）已定系统误差2）未定系统误差定义定义：误差大小和方向均已确切掌握了的系统误差表示符号：表示符号：合成
17、方法合成方法：按照代数和法进行合成按照代数和法进行合成i 为第i个系统误差，ai为其传递系数系统误差可以在测量过程中消除，也可在合成后在测量结果中消除本讲稿第二十二页，共五十五页二、未定系统误差的合成二、未定系统误差的合成二、未定系统误差的合成二、未定系统误差的合成（一）（一）未定系统误差的特征及其评定未定系统误差的特征及其评定定义定义：误差大小和方向未能确切掌握，或者不须花费过多精力去掌握，而只能或者只需估计出其不致超过某一范围 e 的系统误差特征特征：1）在测量条件不变时为一恒定值，多次重复测量时其值固定不变，因而单项系统误差在重复测量中不具有抵偿性2）随机性。当测量条件改变时，未定系统误
18、差的取值在某极限范围内具有随机性，且服从一定的概率分布，具有随机误差的特性。表示符号：表示符号：极限误差：极限误差：e 标准差：标准差：u本讲稿第二十三页，共五十五页1、标准差合成、标准差合成（二）（二）未定系统误差的合成未定系统误差的合成 未定系统误差的取值具有一定的随机性，服从一定的概率未定系统误差的取值具有一定的随机性，服从一定的概率分布，因而若干项未定系统误差综合作用时，他们之间就具有分布，因而若干项未定系统误差综合作用时，他们之间就具有一定的抵偿作用。这种抵偿作用与随机误差的抵偿作用相似，一定的抵偿作用。这种抵偿作用与随机误差的抵偿作用相似，因而未定系统误差的合成，完全可以采用随机误
19、差的合成公式，因而未定系统误差的合成，完全可以采用随机误差的合成公式，这就给测量结果的处理带来很大方便。这就给测量结果的处理带来很大方便。同随机误差的合成时，未定系统误差合成时即可以按照标准同随机误差的合成时，未定系统误差合成时即可以按照标准差合成，也可以按照极限误差的形式合成。差合成，也可以按照极限误差的形式合成。若测量过程中有 s 个单项未定系统误差，它们的标准差分别为 u1，u2，us，其相应的误差传递系数为a1，a2，as，则合成后未定系统误差的总标准差 u 为:本讲稿第二十四页，共五十五页则由各单项未定系统误差标准差得到的合成未定系统误差极限误差为：式中，ij 为第 i 个和第 j
20、个误差项的相关系数当 ij=0 时2、极限误差的合成、极限误差的合成 因为各个单项未定系统误差的极限误差为:若总的未定系统误差极限误差表示为：则有：本讲稿第二十五页，共五十五页或者，由各单项未定系统误差极限误差得到的合成未定系统误或者，由各单项未定系统误差极限误差得到的合成未定系统误差极限误差为：差极限误差为：当各个单项未定系统误差均服从正态分布，且相互间独立无关，当各个单项未定系统误差均服从正态分布，且相互间独立无关，即即 ，则上式可简化为：，则上式可简化为：本讲稿第二十六页，共五十五页第四节系统误差与随机误差的合成第四节系统误差与随机误差的合成一、按极限误差合成一、按极限误差合成 误差的合
21、成可按照两种形式合成：按极限误差的误差形式合成、按标误差的合成可按照两种形式合成：按极限误差的误差形式合成、按标准差形式合成。准差形式合成。测量过程中，假定有测量过程中，假定有 r r 个单项已定系统误差，个单项已定系统误差，s s 个单项未定系统误个单项未定系统误差，差，q q 个单项随机误差。它们的误差值或极限误差分别为：个单项随机误差。它们的误差值或极限误差分别为：1、单次测量情况、单次测量情况 若各个误差的传递系数取各个误差的传递系数取 1 1，则测量结果总的极限误差为：，则测量结果总的极限误差为：式中，式中，R R 为各个误差之间的协方差之和。为各个误差之间的协方差之和。本讲稿第二十
22、七页，共五十五页 当各个误差均服从正态分布，且各个误差间互不相关时，测量结果当各个误差均服从正态分布，且各个误差间互不相关时，测量结果总的极限误差可简化为：总的极限误差可简化为：一般情况下，已定系统误差经修正后，测量结果总的极限误差就是总的未一般情况下，已定系统误差经修正后，测量结果总的极限误差就是总的未定系统误差与总的随机误差的均方根值，即：定系统误差与总的随机误差的均方根值，即：2、n 次重复测量情况次重复测量情况 当每项误差都进行当每项误差都进行 n n 次重复测量时，由于随机误差间具有抵偿性、系次重复测量时，由于随机误差间具有抵偿性、系统误差（包括未定系统误差）不存在抵偿性，总误差合成
23、公式中的随机误统误差（包括未定系统误差）不存在抵偿性，总误差合成公式中的随机误差项应除以重复测量次数差项应除以重复测量次数 n n。总极限误差变为：总极限误差变为：本讲稿第二十八页，共五十五页二、按标准差合成二、按标准差合成 测量过程中，假定有测量过程中，假定有 s s 个单项未定系统误差，个单项未定系统误差，q q 个单项随机误差，个单项随机误差，它们的标准差分别为：它们的标准差分别为：1、单次测量情况、单次测量情况 若各个误差的传递系数取若各个误差的传递系数取 1 1，则测量结果总的误差为：，则测量结果总的误差为：式中，R 为各个误差之间的协方差之和。若用标准差来表示系统误差和随机误差的合
24、成公式，则只考虑未若用标准差来表示系统误差和随机误差的合成公式，则只考虑未定系统误差与随机误差的合成。定系统误差与随机误差的合成。本讲稿第二十九页，共五十五页 当各个误差均服从正态分布，且各个误差间互不相关时，测量结当各个误差均服从正态分布，且各个误差间互不相关时，测量结果总标准差为：果总标准差为：2、n 次重复测量情况次重复测量情况 当每项误差都进行当每项误差都进行 n n 次重复测量时，由于随机误差间具有次重复测量时，由于随机误差间具有抵偿性、系统误差（包括未定系统误差）不存在抵偿性，总误抵偿性、系统误差（包括未定系统误差）不存在抵偿性，总误差合成公式中的随机误差项应除以重复测量次数差合成
25、公式中的随机误差项应除以重复测量次数 n n。总误差变为总误差变为：本讲稿第三十页，共五十五页【例例】用用TC328BTC328B型天平，配用三等标准砝码称一不锈钢球质量，一型天平，配用三等标准砝码称一不锈钢球质量，一次称量得钢球质量次称量得钢球质量 ，求用标准差表示的测量误差。，求用标准差表示的测量误差。(1)(1)随机误差随机误差:天平示值变动性所引起的误差为随机误差。多次重复称量同一球的天平示值变动性所引起的误差为随机误差。多次重复称量同一球的质量的天平标准差为质量的天平标准差为 (2)(2)未定系统误差未定系统误差:标准砝码误差和天平示值误差，在给定条件下为确定值，但又不知标准砝码误差
26、和天平示值误差，在给定条件下为确定值，但又不知道具体误差数值，而只知道误差范围（或标准差），故这两项误差均属道具体误差数值，而只知道误差范围（或标准差），故这两项误差均属未定系统误差。未定系统误差。砝码误差砝码误差:天平称量时所用的标准砝码有三个，即天平称量时所用的标准砝码有三个，即10g10g的一个，的一个，2g2g的两个，标准差分别为的两个，标准差分别为:故三个砝码组合使用时，质量的标准差为故三个砝码组合使用时，质量的标准差为 根据根据TC328BTC328B型天平的称重方法，其测量结果的主要误差如下：型天平的称重方法，其测量结果的主要误差如下：本讲稿第三十一页，共五十五页 天平示值误差天
27、平示值误差 该项标准差为该项标准差为:三项误差互不相关，且各个误差传播系数均为三项误差互不相关，且各个误差传播系数均为1 1，因此误差，因此误差合成后可得到测量结果的总标准差为合成后可得到测量结果的总标准差为 最后测量结果应表示为（倍标准差）：最后测量结果应表示为（倍标准差）：本讲稿第三十二页，共五十五页本讲稿第三十三页，共五十五页本讲稿第三十四页，共五十五页本讲稿第三十五页，共五十五页第五节误差分配第五节误差分配误差分配误差分配 给定测量结果允许的总误差，合理确定各个单项误差。给定测量结果允许的总误差，合理确定各个单项误差。在误差分配时，随机误差和未定系统误差同等看待。在误差分配时，随机误差
28、和未定系统误差同等看待。假设各误差因素皆为随机误差，且互不相关，有：假设各误差因素皆为随机误差，且互不相关，有：若已经给定若已经给定 ，确定，确定 D Di i 或相应的或相应的 i i,使其满足使其满足式中，式中，称为部分误差，或局部误差称为部分误差，或局部误差本讲稿第三十六页，共五十五页一、按等影响原则分配误差一、按等影响原则分配误差 等影响原则等影响原则：各分项误差对函数误差的影响相等，即各分项误差对函数误差的影响相等，即 由此可得：由此可得：或用极限误差表示：或用极限误差表示：函数的总极限误差 各单项误差的极限误差 进行误差分配时，一般应按照下述步骤：进行误差分配时，一般应按照下述步骤
29、：本讲稿第三十七页，共五十五页二、按可能性调整误差二、按可能性调整误差(1)(1)对各分项误差平均分配的结果，会造成对部分测量误差的对各分项误差平均分配的结果，会造成对部分测量误差的需求实现颇感容易，而对令一些测量误差的要求难以达到。需求实现颇感容易，而对令一些测量误差的要求难以达到。这样，势必需要用昂贵的高准确度等级的仪器，或者以增这样，势必需要用昂贵的高准确度等级的仪器，或者以增加测量次数及测量成本为代价。加测量次数及测量成本为代价。按等影响原则分配误差的不合理性按等影响原则分配误差的不合理性(2)(2)当各个部分误差一定时，则相应测量值的误差与其传播系当各个部分误差一定时，则相应测量值的
30、误差与其传播系数成反比。所以各个部分误差相等，相应测量值的误差并数成反比。所以各个部分误差相等，相应测量值的误差并不相等，有时可能相差较大。不相等，有时可能相差较大。在等影响原则分配误差的基础上，根据具体情况进行适当调整。在等影响原则分配误差的基础上，根据具体情况进行适当调整。对难以实现测量的误差项适当扩大，对容易实现的误差项尽可能缩小，对难以实现测量的误差项适当扩大，对容易实现的误差项尽可能缩小，其余误差项不予调整。其余误差项不予调整。本讲稿第三十八页，共五十五页例：测量一圆柱体的体积时，可间接测量圆柱直径例：测量一圆柱体的体积时，可间接测量圆柱直径 D D 及高度及高度 h h，根，根据函
31、数式据函数式 三、验算调整后的总误差三、验算调整后的总误差 误差按等影响原理确定后，应按照误差合成公式计算实际总误差，若超误差按等影响原理确定后，应按照误差合成公式计算实际总误差，若超出给定的允许误差范围，应选择可能缩小的误差项再进行缩小。若实际总误出给定的允许误差范围，应选择可能缩小的误差项再进行缩小。若实际总误差较小，可适当扩大难以实现的误差项的误差，合成后与要求的总误差进行差较小，可适当扩大难以实现的误差项的误差，合成后与要求的总误差进行比较，直到满足要求为止。比较，直到满足要求为止。求得体积求得体积 V V，若要求测量体积的相对误差为，若要求测量体积的相对误差为1 1，已知直径和高度的
32、公，已知直径和高度的公称值分别为称值分别为 ，试确定直径试确定直径 D D 及高度及高度 h h 的准确度。的准确度。本讲稿第三十九页，共五十五页一、按等影响分配原则分配误差一、按等影响分配原则分配误差得到测量直径 D 与高度 h 的极限误差:【解】【解】计算体积 体积的绝对误差体积的绝对误差:本讲稿第四十页，共五十五页 用这两种量具测量的体积极限误差为用这两种量具测量的体积极限误差为 因为 查资料，可用分度值为查资料，可用分度值为0.10.1mmmm的游标卡尺测高的游标卡尺测高 ，在，在5050mmmm测量测量范围内的极限误差为，用范围内的极限误差为，用0.020.02mmmm的游标卡尺测直
33、径，在的游标卡尺测直径，在2020mmmm范围内的极限误差为范围内的极限误差为 。二、调整后的测量极限误差二、调整后的测量极限误差 显然采用的量具准确度偏高，选得不合理，应作适当调整。若改用分显然采用的量具准确度偏高，选得不合理，应作适当调整。若改用分度值为度值为0.050.05mmmm的游标卡尺来测量直径和高度，在的游标卡尺来测量直径和高度，在5050mmmm测量范围内的极限测量范围内的极限误差为误差为 。此时测量直径的极限误差虽超出按等作用原则分配所。此时测量直径的极限误差虽超出按等作用原则分配所得的允许误差，但可从测量高度允许的多余部分得到补偿。得的允许误差，但可从测量高度允许的多余部分
34、得到补偿。本讲稿第四十一页，共五十五页调整后的实际测量极限误差为调整后的实际测量极限误差为 因为 因此调整后用一把游标卡尺测量直径和高度即能保证测量准因此调整后用一把游标卡尺测量直径和高度即能保证测量准确度。确度。本讲稿第四十二页，共五十五页微小误差微小误差 测量过程包含有多种误差时，当某个误差对测量结果总误差的影响较测量过程包含有多种误差时，当某个误差对测量结果总误差的影响较小，可以忽略不计的误差称为微小误差。小，可以忽略不计的误差称为微小误差。已知测量结果的标准差：若将其中的部分误差取出后，则得 如果 ，则称为微小误差 第六节微小误差取舍准则本讲稿第四十三页，共五十五页测量误差的有效数字取
35、一位：测量误差的有效数字取一位：某项部分误差舍去后，满足某项部分误差舍去后，满足：或或则对测量结果的误差计算没有影响。则对测量结果的误差计算没有影响。测量误差的有效数字取二位：测量误差的有效数字取二位：或或 对对于于随随机机误误差差和和未未定定系系统统误误差差，微微小小误误差差舍舍取取准准则则是是被被舍舍去去的的误误差差必必须须小小于于或或等等于于测测量量结结果果的的十十分分之之一一到到三三分分之之一一。对对于于已已定定系系统统误误差差，按按百百分分之之一到十分之一原则取舍。一到十分之一原则取舍。某项部分误差舍去后，满足：某项部分误差舍去后，满足：应用：应用：计计算算总总误误差差或或进进行行误
36、误差差分分配配时时，若若发发现现有有微微小小误误差差，可可不不考考虑虑该该项误差对总误差的影响。项误差对总误差的影响。选选择择高高一一级级精精度度的的标标准准器器具具时时，其其误误差差一一般般应应为为被被检检器器具具允允许许误误差的差的1/101/103/103/10。本讲稿第四十四页，共五十五页最佳测量方案的确定：最佳测量方案的确定：当测量结果与多个测量因素有关时，采用什么方法确定各个因素，当测量结果与多个测量因素有关时，采用什么方法确定各个因素，才能使测量结果的误差最小。才能使测量结果的误差最小。研究间接测量中使函数误差为最小的最佳测量方案。函数的标准研究间接测量中使函数误差为最小的最佳测
37、量方案。函数的标准差为：差为：欲使欲使 为最小，可从哪几方面来考虑？为最小，可从哪几方面来考虑？第七节误差分析第七节误差分析考虑因素：考虑因素：因为已定系统误差可以通过误差修正的方法来消除，所以因为已定系统误差可以通过误差修正的方法来消除，所以设计最佳测量方案时，只需考虑随机误差和未定系统误差的影设计最佳测量方案时，只需考虑随机误差和未定系统误差的影响。响。研究对象和目标：研究对象和目标：本讲稿第四十五页，共五十五页一、逐个分析各个误差的来源，分别确定各个误差的大小及对总误差一、逐个分析各个误差的来源，分别确定各个误差的大小及对总误差的贡献的贡献 有些基本操作可根据所用量具的已知精度估计出来，
38、有些操作有些基本操作可根据所用量具的已知精度估计出来，有些操作的误差也可以通过多次重复操作的方法，即用实验方法加以确定。的误差也可以通过多次重复操作的方法，即用实验方法加以确定。误差分析大致可分为三个方面工作误差分析大致可分为三个方面工作 二、确定实验结果的总误差二、确定实验结果的总误差两种方法：两种方法：1.1.把各误差因素的分误差按平方和关系计算求出；把各误差因素的分误差按平方和关系计算求出；2.2.通过实验直接求出，即让各误差因素都有变化，观察实验结果的数通过实验直接求出，即让各误差因素都有变化，观察实验结果的数据离散性。据离散性。三、综合分析三、综合分析 找出分误差最大的几个误差因素，
39、提出减小它们对总误差的贡献找出分误差最大的几个误差因素，提出减小它们对总误差的贡献途径，使实验达到最有利的测量条件。途径，使实验达到最有利的测量条件。本讲稿第四十六页，共五十五页实验目的实验目的n n观察液体的内摩擦现象，学会用落球法测量液体的粘滞系数。观察液体的内摩擦现象，学会用落球法测量液体的粘滞系数。观察液体的内摩擦现象，学会用落球法测量液体的粘滞系数。观察液体的内摩擦现象，学会用落球法测量液体的粘滞系数。n n应用斯托克斯定律测定蓖麻油的粘滞系数。应用斯托克斯定律测定蓖麻油的粘滞系数。应用斯托克斯定律测定蓖麻油的粘滞系数。应用斯托克斯定律测定蓖麻油的粘滞系数。n n掌握基本测量仪器（如
40、游标卡尺、螺旋测微计、停表等）的使用掌握基本测量仪器（如游标卡尺、螺旋测微计、停表等）的使用掌握基本测量仪器（如游标卡尺、螺旋测微计、停表等）的使用掌握基本测量仪器（如游标卡尺、螺旋测微计、停表等）的使用方法。方法。方法。方法。误差分析的一个实例：液体粘滞系数的测定误差分析的一个实例：液体粘滞系数的测定一、实验介绍一、实验介绍本讲稿第四十七页，共五十五页实验仪器实验仪器盛液体玻璃筒、蓖麻油、小钢盛液体玻璃筒、蓖麻油、小钢盛液体玻璃筒、蓖麻油、小钢盛液体玻璃筒、蓖麻油、小钢球、停表、钢尺、游标卡尺、球、停表、钢尺、游标卡尺、球、停表、钢尺、游标卡尺、球、停表、钢尺、游标卡尺、螺旋测微计、比重计、
41、竹夹。螺旋测微计、比重计、竹夹。螺旋测微计、比重计、竹夹。螺旋测微计、比重计、竹夹。本讲稿第四十八页，共五十五页实验原理实验原理 在粘滞性液体内下落的小球受到三个力的作用，即重力在粘滞性液体内下落的小球受到三个力的作用，即重力在粘滞性液体内下落的小球受到三个力的作用，即重力在粘滞性液体内下落的小球受到三个力的作用，即重力f f f f重重重重、浮力、浮力、浮力、浮力 f f f f浮浮浮浮 和粘滞性阻力和粘滞性阻力和粘滞性阻力和粘滞性阻力 f f f f阻阻阻阻。按斯托克斯定律：当液面无限宽广，且小球的运动。按斯托克斯定律：当液面无限宽广，且小球的运动。按斯托克斯定律：当液面无限宽广，且小球的
42、运动。按斯托克斯定律：当液面无限宽广，且小球的运动速度不大，没有旋涡产生时，粘滞阻力等于：速度不大，没有旋涡产生时，粘滞阻力等于：速度不大，没有旋涡产生时，粘滞阻力等于：速度不大，没有旋涡产生时，粘滞阻力等于：f阻=6r 式中式中 为液体的粘滞系数；为液体的粘滞系数；r r是小球的半径；是小球的半径；是小球的速度。是小球的速度。粘滞系数与液体的种类及温度有关。粘滞系数与液体的种类及温度有关。本讲稿第四十九页，共五十五页f重重 f浮浮 f阻阻=0 当小球在液体内下落时，因为当小球在液体内下落时，因为 和和r是一定的，故阻力将随下是一定的，故阻力将随下落速度的增大而增大。最后必将达到重力、浮力、阻
43、力三者的落速度的增大而增大。最后必将达到重力、浮力、阻力三者的合力为零。此后小球就以速度合力为零。此后小球就以速度 0作匀速运动，即作匀速运动，即 本讲稿第五十页，共五十五页但因液体总要放在一定的容器内，液面不可能是无限广的。但因液体总要放在一定的容器内，液面不可能是无限广的。但因液体总要放在一定的容器内，液面不可能是无限广的。但因液体总要放在一定的容器内，液面不可能是无限广的。当考虑到容器壁的存在时，当考虑到容器壁的存在时，当考虑到容器壁的存在时，当考虑到容器壁的存在时，应修正为：应修正为：应修正为：应修正为：R R为容器的内半径；为容器的内半径；r r为钢球的半径；为钢球的半径；t t为小
44、球下落的时间；为小球下落的时间；l l为为小球下落的距离，小球下落的距离，m m为小球的质量，为小球的质量，1 1为油的密度。此公式仍为油的密度。此公式仍未把容器的底与液体的表面这种边界对实验的影响考虑在内，未把容器的底与液体的表面这种边界对实验的影响考虑在内，在实验中忽略不计。在实验中忽略不计。本讲稿第五十一页，共五十五页二、计算误差二、计算误差1.1.误差传递系数的计算误差传递系数的计算具体的测量条件及直接测量量的数据为，具体的测量条件及直接测量量的数据为，T=6.0T=6.0O OC C本讲稿第五十二页，共五十五页2.2.直接测量量标准偏差的估计直接测量量标准偏差的估计rr，t t，m
45、m三个量通过重复测三个量通过重复测1010次得到数据，经标准偏差计算得次得到数据，经标准偏差计算得l l，R R，三个量只进行了单词测量，它们的标准偏差可使用仪器最小三个量只进行了单词测量，它们的标准偏差可使用仪器最小分度的分度的3 3-1/2-1/2倍来计算倍来计算用米尺测用米尺测l l，故，故用卡尺测用卡尺测R R，故，故用密度计测用密度计测，故，故本讲稿第五十三页，共五十五页3.3.计算计算的总标准偏差的总标准偏差将上面计算的将上面计算的6 6个量的标准偏差和误差传递系数代入误差传递个量的标准偏差和误差传递系数代入误差传递公式得公式得三、六个直接测量量的分误差在总误差中所占的百分三、六个直接测量量的分误差在总误差中所占的百分数计算数计算本讲稿第五十四页，共五十五页四、误差分析及具体改进意见四、误差分析及具体改进意见1.1.减小减小t t值的措施：值的措施：提高实验计时人员的计时技术；提高实验计时人员的计时技术；实验测量中，力求使小钢球在圆筒中心轴线下降；实验测量中，力求使小钢球在圆筒中心轴线下降；增加时间增加时间t t的测量次数；的测量次数；改换测量时间的仪器。改换测量时间的仪器。2.2.减小减小 值的措施：值的措施：加大圆筒形液体容器的长度加大圆筒形液体容器的长度l l；减小小钢球的半径；减小小钢球的半径；用密度较小的小球。用密度较小的小球。本讲稿第五十五页，共五十五页