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1、 7.4 不变子空间 定义：设 是 的一个子空间，是 的一个线性变换。若 ，则称 在线性变换 之下不变。若 在 之下不变，则 叫做 的一个不变子空间。例1、本身和零空间 在任意线性变换下不变，称为平凡不变子空间。例2、令 是 的一个线性变换。证明：和 在 之下不变。例3、令 是数域 上的一切一元多项式所成的向量空间，是求导数运算。令 表示一切次数不超过 的多项式连同零多项式所成的子空间。证明：在 之下不变。现在看一看，不变子空间和简化线性变换的矩阵有什么关系。设 是数域 上的一个 维向量空间，是 的一个线性变换。假设有一个非平凡的子空间 ，那么取的一个基 ，再补充成为 的一个基 。在 之下不变
2、 所以，关于基 的矩阵为：由此可见，如果线性变换 有一个非平凡子空间，那么适当选取 的基，可以使与 对应的矩阵中有一些元素是零。特别地，若 可以表成两个非平凡子空间 与 的 直和：，那么选取 的一个基 和 的一个基 ，凑成 的一个基 。当 与 在 之下不变时，关于这样选取的基的矩阵是 。一般地，若向量空间 可表成 个不变子空间 的直和，那么在每一个子空间中选一个基，凑成 的一个基，则 关于这个基的矩阵就有形状 。因此，给了 维向量空间 的一个线性变换，只要能够将 分解成一些在之下不变的子空间的直和，那么就可以适当地选取 的基，使得 关于这个基的矩阵有较简单的形状。显然，这些不变子空间的维数越小，相应的矩阵的形状就越简单。特别，如果能够将 分解成 个在 之下不变的一维子空间的直和，那么与 对应的矩阵就有对角形式。