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1、第三节一、函数项级数的概念一、函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛性二、幂级数及其收敛性 三、幂级数的运算三、幂级数的运算 幂级数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十二章 一、一、函数项级数的概念函数项级数的概念设为定义在区间 I 上的函数项级数函数项级数.对若常数项级数敛点敛点,所有收敛点的全体称为其收敛域收敛域;若常数项级数为定义在区间 I 上的函数,称收敛,发散,所有为其收收 为其发散点发散点,发散点的全体称为其发散域发散域.机动 目录 上页 下页 返回 结束 为级数的和函数和函数,并写成若用令余项则在收敛域上有表示函数项级数前 n 项的和,即在收敛域上,函数项级数的和是 x 的函
2、数 称它机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如例如,等比级数它的收敛域是它的发散域是或写作又如又如,级数级数发散;所以级数的收敛域仅为有和函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、幂级数及其收敛性二、幂级数及其收敛性 形如的函数项级数称为幂级数幂级数,其中数列下面着重讨论例如,幂级数为幂级数的系数系数.即是此种情形.的情形,即称 机动 目录 上页 下页 返回 结束 发 散发 散收 敛收敛 发散定理定理 1.(Abel定理定理)若幂级数则对满足不等式的一切 x 幂级数都绝对收敛.反之,若当的一切 x,该幂级数也发散.时该幂级数发散,则对满足不等式证证:设收敛,则必有于是存在常数 M 0,使
3、阿贝尔 目录 上页 下页 返回 结束 当 时,收敛,故原幂级数绝对收敛.也收敛,反之,若当时该幂级数发散,下面用反证法证之.假设有一点满足不等式所以若当满足且使级数收敛,面的证明可知,级数在点故假设不真.的 x,原幂级数也发散.时幂级数发散,则对一切则由前也应收敛,与所设矛盾,证毕机动 目录 上页 下页 返回 结束 幂级数在(,+)收敛;由Abel 定理可以看出,中心的区间.用R 表示幂级数收敛与发散的分界点,的收敛域是以原点为则R=0 时,幂级数仅在 x=0 收敛;R=时,幂级数在(R,R)收敛;(R,R)加上收敛的端点称为收敛域收敛域.R 称为收敛半径收敛半径，在R,R 可能收敛也可能发散
4、.外发散;在(R,R)称为收敛区间收敛区间.发 散发 散收 敛收敛 发散机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理2.若的系数满足证证:1)若 0,则根据比值审敛法可知:当原级数收敛;当原级数发散.即时,1)当 0 时,2)当 0 时,3)当 时,即时,则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2)若则根据比值审敛法可知,绝对收敛,3)若则对除 x=0 以外的一切 x 原级发散,对任意 x 原级数因此因此 的收敛半径为说明说明:据此定理因此级数的收敛半径机动 目录 上页 下页 返回 结束 对端点 x=1,的收敛半径及收敛域.解解:对端点 x=1,级数为交错级数收敛;级数为发散.故收敛域为例例1
5、 1.求幂级数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.求下列幂级数的收敛域:解解:(1)所以收敛域为(2)所以级数仅在 x=0 处收敛.规定:0!=1机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3.的收敛半径.解解:级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理2,比值审敛法求收敛半径.时级数收敛时级数发散 故收敛半径为 故直接由机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4.的收敛域.解解:令 级数变为当 t=2 时,级数为此级数发散;当 t=2 时,级数为此级数条件收敛;因此级数的收敛域为故原级数的收敛域为即机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、幂级数的运算三、幂级数的运算定理定理3.设幂级数及的收敛
6、半径分别为令则有:其中以上结论可用部分和的极限证明.机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:两个幂级数相除所得幂级数的收敛半径可能比原来两个幂级数的收敛半径小得多.例如,设 它们的收敛半径均为但是其收敛半径只是 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理4 若幂级数的收敛半径则其和函在收敛域上连续,且在收敛区间内可逐项求导与逐项求积分,运算前后收敛半径相同:机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解:由例2可知级数的收敛半径 R+.例例5.则故有故得的和函数.因此得设机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6.的和函数解解:易求出幂级数的收敛半径为 1,x1 时级数发散,机动 目录 上页
7、 下页 返回 结束 例例7.求级数的和函数解解:易求出幂级数的收敛半径为 1,及收敛,机动 目录 上页 下页 返回 结束 因此由和函数的连续性得:而及机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例8.解解:设则机动 目录 上页 下页 返回 结束 而故机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1.求幂级数收敛域的方法1)对标准型幂级数先求收敛半径,再讨论端点的收敛性.2)对非标准型幂级数(缺项或通项为复合式)求收敛半径时直接用比值法或根值法,2.幂级数的性质1)两个幂级数在公共收敛区间内可进行加、减与也可通过换元化为标准型再求.乘法运算.机动 目录 上页 下页 返回 结束 2)在收敛区间内幂
8、级数的和函数连续;3)幂级数在收敛区间内可逐项求导和求积分.思考与练习思考与练习 1.已知处条件收敛,问该级数收敛半径是多少?答答:根据Abel 定理可知,级数在收敛,时发散.故收敛半径为机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.在幂级数中,n 为奇数n 为偶数能否确定它的收敛半径不存在?答答:不能.因为当时级数收敛,时级数发散,说明说明:可以证明比值判别法成立根值判别法成立机动 目录 上页 下页 返回 结束 P277 1 (1),(3),(5),(6),(7)2 (1),(3)P323 7 (1),(4)8 (1),(3),9 作业第四节 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题 求极限其中
9、解解:令作幂级数设其和为易知其收敛半径为 1,则机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、求幂级数收敛域的方法二、求幂级数收敛域的方法 标准形式幂级数:先求收敛半径 R,再讨论 非标准形式幂级数通过换元转化为标准形式直接用比值法或根值法处的敛散性.求下列级数的敛散区间:练习练习:机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解:当因此级数在端点发散,时,时原级数收敛.故收敛区间为机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解:因故收敛区间为级数收敛;一般项不趋于0,级数发散;机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.解解:分别考虑偶次幂与奇次幂组成的级数极限不存在 原级数=其收敛半径注意:机动 目录 上页 下页 返回 结束