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1、1.1.定义定义:幂幂 级级 数数一、函数项级数的一般概念一、函数项级数的一般概念2.2.收敛点与收敛域收敛点与收敛域:3.3.和函数和函数:(定义域是定义域是?)函数项级数的部分和函数项级数的部分和余项余项注意注意(x在收敛域上在收敛域上)函数项级数在某点函数项级数在某点x的收敛问题的收敛问题,实质上实质上是数项级数的收敛问题是数项级数的收敛问题.解解由达朗贝尔判别法由达朗贝尔判别法原级数绝对收敛原级数绝对收敛.原级数发散原级数发散.收敛收敛;发散发散;二、幂级数及其收敛性二、幂级数及其收敛性1.1.定义定义:2.2.收敛性收敛性:证明证明由由(1)结论结论几何说明几何说明发散区域发散区域发
2、散区域发散区域收敛区域收敛区域这是幂级数收敛的特性这是幂级数收敛的特性推论推论定义定义:正数正数R称为幂级数的称为幂级数的收敛半径收敛半径.称为幂级数的称为幂级数的收敛区间收敛区间，收敛域收敛域=收敛区间收敛区间+收敛的端点收敛的端点可能是可能是规定规定问题问题如何求幂级数的收敛半径如何求幂级数的收敛半径?证明证明由比值审敛法由比值审敛法,定理证毕定理证毕.若若 在在 x0 处收敛处收敛 则则在在 x0 处处发散发散 若若 则则 若若在在 x0 处条件收敛处条件收敛 则则这是幂级数收敛的特性这是幂级数收敛的特性注注利用该定理求收敛半径要求所有的利用该定理求收敛半径要求所有的 或只有有限个或只有
3、有限个例例2 2 求下列幂级数的收敛区间求下列幂级数的收敛区间:解解该级数收敛该级数收敛该级数发散该级数发散发散发散收敛收敛故收敛区间为故收敛区间为(0,1.如缺项，如缺项，则则必不存在，必不存在，但幂级数并不是没有收敛半径，此时不能但幂级数并不是没有收敛半径，此时不能套用定理，可考虑直接用比值法或根值法求收敛套用定理，可考虑直接用比值法或根值法求收敛半径半径例例3已知幂级数已知幂级数 的收敛半径的收敛半径R=1求求的收敛半径的收敛半径解解 任取任取由由收敛知收敛知注：注：由检比法易得由检比法易得 收敛收敛故由比较审敛法知故由比较审敛法知 在在故收敛半径故收敛半径内绝对收敛内绝对收敛注意注意收
4、敛半径为收敛半径为1，并不意味着，并不意味着三、幂级数的运算三、幂级数的运算1.1.代数运算性质代数运算性质:(1)加减法加减法(其中其中(2)乘法乘法(其中其中(3)除法除法(相除后的收敛区间比原来相除后的收敛区间比原来两级数的收敛区间小得多两级数的收敛区间小得多)2.2.和函数的分析运算性质和函数的分析运算性质:(收敛半径不变收敛半径不变)(收敛半径不变收敛半径不变)解解两边积分得两边积分得例例5 求和函数求和函数解解收敛域为收敛域为记记则则并求并求 的和的和故故故故常用已知和函数的幂级数常用已知和函数的幂级数记住几个常见级数的和记住几个常见级数的和常数项级数求和的一种重要方法常数项级数求和的一种重要方法幂级数法或幂级数法或Abel法法四、小结四、小结1.函数项级数的概念函数项级数的概念:2.幂级数的收敛性幂级数的收敛性:收敛半径收敛半径R3.幂级数的运算幂级数的运算:分析运算性质分析运算性质思考题思考题 幂级数逐项求导后，收敛半径不变，那幂级数逐项求导后，收敛半径不变，那么它的收敛域是否也不变？么它的收敛域是否也不变？思考题解答思考题解答不一定不一定.例例它们的收敛半径都是它们的收敛半径都是1,但它们的收敛域各是但它们的收敛域各是练练 习习 题题练习题答案练习题答案