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1、目录 上页 下页 返回 结束 第三节一、格林公式一、格林公式 二、平面上曲线积分与路径无关的二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件等价条件格林公式及其应用 第十一章 *三、全微分方程三、全微分方程目录 上页 下页 返回 结束 LD区域 D 分类单连通区域 ( 无“洞”区域 )多连通区域 ( 有“洞”区域 )域 D 边界L 的正向正向: 域的内部靠左域的内部靠左定理定理1. 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成,则有, ),(yxP),(yxQLDyQxPyxyPxQdddd( 格林公式格林公式 )函数在 D 上具有连续一阶偏导数,LDyxyQxPyxQPdddd或一、一、 格林公式格林
2、公式目录 上页 下页 返回 结束 证明证明: 1) 若D 既是 X - 型区域 , 又是 Y - 型区域 , 且bxaxyxD)()(:21dycyxyD)()(:21则yxxQDdddcyyyQd),(2)()(21dyyxxQCBEyyxQd),(CAEyyxQd),(CBEyyxQd),(EACyyxQd),(dcyyyQd),(1dcydOdcyxECBAbaD定理1 目录 上页 下页 返回 结束 即yxxQDddLyyxQd),(同理可证yxyPDddLxyxPd),(、两式相加得:LDyQxPyxyPxQdddd定理1 目录 上页 下页 返回 结束 L2) 若D不满足以上条件, 则
3、可通过加辅助线将其分割1DnD2DnkDyxyPxQk1ddyxyPxQDddnkDkyQxP1ddLyQxPdd为有限个上述形式的区域 , 如图)(的正向边界表示kkDD证毕yxO定理1 目录 上页 下页 返回 结束 推论推论: 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积LxyyxAdd21格林公式格林公式LDyQxPyxyPxQdddd例如例如, 椭圆)20(sincos:byaxL所围面积LxyyxAdd212022d)sincos(21ababab定理1 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 设 L 是一条分段光滑的闭曲线, 证明0dd22yxxyxL证证: 令,22xQyxP则yPxQ利
4、用格林公式 , 得yxxyxLdd22022xxDyxdd00目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 计算,dde2Dyyx其中D 是以 O(0,0) , A(1,1) , B(0,1) 为顶点的三角形闭域 . 解解: 令, 则2e, 0yxQPyPxQ利用格林公式 , 有Dyyxdde2Dyyxde2yxOAyde2yyyde102)e1(2112eyxy yx) 1 , 1 (A) 1 , 0(BDO目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 计算,dd22Lyxxyyx其中L为一无重点且不过原点的分段光滑正向闭曲线.解解: 令,022时则当 yx22222)(yxxyxQ设 L 所围区域为D
5、,)0 , 0(时当D由格林公式知0dd22Lyxxyyx,22yxyP22yxxQyPyxLO目录 上页 下页 返回 结束 dsincos2022222rrr2,)0 , 0(时当D在D 内作圆周,:222ryxl取逆时针方向,1D, 对区域1D应用格Lyxxyyx22ddlyxxyyx22ddlLyxxyyx22dd0dd01yxDlLyxxyyxyxxyyx2222ddddL1Dl记 L 和 l 所围的区域为林公式 , 得yxO目录 上页 下页 返回 结束 二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件定理定理2. 设D 是单连通域 ,),(),(yxQyx
6、P在D 内具有一阶连续偏导数,(1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有.0ddLyQxP(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分(3)yQxPdd ),(yxuyQxPyxudd),(d(4) 在 D 内每一点都有.xQyPLyQxPdd与路径无关, 只与起止点有关. 函数则以下四个条件等价:在 D 内是某一函数的全微分,即 目录 上页 下页 返回 结束 (1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有.0ddLyQxP(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分LyQxPdd与路径无关, 只与起止点有关. 说明说明: 积分与路径无关时, 曲线积分可记为 证明证明 (1) (2)设21
7、, LL21ddddLLyQxPyQxP1ddLyQxP2ddLyQxP21ddLLyQxP02L2ddLyQxP1ddLyQxP为D 内任意两条由A 到B 的有向分段光滑曲线, 则(根据条件(1)BAyQxPddAByQxPddAB1L定理2 目录 上页 下页 返回 结束 (2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分(3)yQxPdd ),(yxuyQxPyxudd),(dLyQxPdd与路径无关, 只与起止点有关. 在 D 内是某一函数的全微分,即 证明证明 (2) (3)在D内取定点),(00yxA因曲线积分),(),(00dd),(yxyxyQxPyxu),(),(yxuyxxuu
8、x则),(yxPxuxuxx0lim),(lim0yxxPx),(),(ddyxxyxyQxP),(),(dyxxyxxPxyxxP),(同理可证yu),(yxQ因此有yQxPuddd和任一点B( x, y ),与路径无关,),(yxxC),(yxB),(00yxA有函数 定理2 目录 上页 下页 返回 结束 (4) 在 D 内每一点都有.xQyP(3)yQxPdd ),(yxuyQxPyxudd),(d在 D 内是某一函数的全微分,即 xyuyxu22所以证明证明 (3) (4)设存在函数 u ( x , y ) 使得yQxPuddd则),(),(yxQyuyxPxuP, Q 在 D 内具有
9、连续的偏导数,从而在D内每一点都有xQyPxyuxQyxuyP22,定理2 目录 上页 下页 返回 结束 证明证明 (4) (1)设L为D中任一分段光滑闭曲线,DD (如图) ,上因此在DxQyP利用格林公式格林公式 , 得yxxQxQyQxPLDdd)(ddDDL0所围区域为证毕 (1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有.0ddLyQxP(4) 在 D 内每一点都有.xQyP定理2 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明: 根据定理2 , 若在某区域D内,xQyP则2) 求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算,3) 可用积分法求d u = P dx + Q dy在域 D 内的原函数:Dyx
10、),(00及动点,),(DyxyyxQxyxPyxuyxyxd),(d),(),(),(),(00 xxxyxP0d),(0或yyyyxQyxu0d),(),(0则原函数为yyyyxQ0d),(xxxyxP0d),(若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线;取定点1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径;yx0y0 xOxy定理2 目录 上页 下页 返回 结束 4) 若已知 d u = P dx + Q dy ,则对D内任一分段光滑曲BAyyxQxyxPd),(d),(ABu定理2 )()(AuBu线 AB ,有yyxQxyxPABd),(d),(注注: 此式称为曲线积分的基本公式曲线积分的基
11、本公式(P211定理4). babaxFxxf)(dd)(DAB 它类似于微积分基本公式: BAud)()(xfxF其中)()()(aFbFxFab目录 上页 下页 返回 结束 yA xL例例4. 计算,d)(d)3(22yxyxyxL其中L 为上半24xxy从 O (0, 0) 到 A (4, 0).解解: 为了使用格林公式, 添加辅助线段,AOD它与L 所围原式yxyxyxAOLd)(d)3(22Dyxdd4OAyxyxyxd)(d)3(22402dxx圆周区域为D , 则O6483目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 验证yyxxyxdd22是某个函数的全微分, 并求出这个函数. 证证
12、: 设,22yxQyxP则xQyxyP2由定理2 可知, 存在函数 u (x , y) 使yyxxyxuddd22),()0 , 0(22dd),(yxyyxxyxyxu)0 ,(x 0yyxyd02yyxyd022221yx)0 , 0(),(yx目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 验证22ddyxxyyx在右半平面 ( x 0 ) 内存在原函数 , 并求出它. 证证: 令2222,yxxQyxyP则)0()(22222xyQyxxyxP由定理定理 2 可知存在原函数),()0 , 1 (22dd),(yxyxxyyxyxu 0)0(arctanxxyxyyyxyx022d)0 ,(x)
13、0 , 1(),(yxO目录 上页 下页 返回 结束 xy)0 ,(x)0 , 1(),(yxO),()0 , 1 (22dd),(yxyxxyyxyxuyyy021dyxyyarctan1arctanarctanyxarctan2xyxxy122d或), 1 (y)0(arctanxxy目录 上页 下页 返回 结束 例例7. 设质点在力场作用下沿曲线 L :xycos2由)2, 0(A移动到, )0,2(B求力场所作的功W解解:)dd(2Lyxxyrk令,22rxkQrykP则有)0()(22422yxryxkyPxQ可见, 在不含原点的单连通区域内积分与路径无关. )(22yxr其中),(
14、2xyrkFsFWLdLBAyxO目录 上页 下页 返回 结束 :AB)dd(2yxxyrkWABd)cos(sin2022k)02:(sin2,cos2yxk2思考思考: 积分路径是否可以取?OBAO取圆弧为什么？注意, 本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径无关 !LBAyxO内容小结 转内容小结目录 上页 下页 返回 结束 判别判别: P, Q 在某单连通域D内有连续一阶偏导数,xQyPDyx),(为全微分方程 则求解步骤求解步骤:方法1 凑微分法;方法2 利用积分与路径无关的条件.1. 求原函数 u (x, y)2. 由 d u = 0 知通解为 u (x, y) = C .*三、全
15、微分方程三、全微分方程使若存在),(yxuyyxQxyxPyxud),(d),(),(d则称0d),(d),(yyxQxyxP为全微分方程.目录 上页 下页 返回 结束 ),(yxyxO例例8. 求解0d)33(d)35(222324yyyxyxxyyxx解解: 因为yP236yyx ,xQ故这是全微分方程. , 0, 000yx取则有xxyxuxd5),(04yyyxyxyd)33(02225x2223yx3yx331y因此方程的通解为Cyyxyxx332253123)0 ,(x法法1目录 上页 下页 返回 结束 0d)33(d)35(222324yyyxyxxyyxx求解法法2 此全微分方
16、程的通解为 yu,)(2yy Cyxu),(xu, 则有)(d)35(),(324yxyyxxyxu待定，)()(233225yyyxyxx两边对 y 求导得yu由得与比较得331)(yy 取因此方程的通解为Cyyxyxx33225312332435yyxx22233yyxyx)(3322yyxyx目录 上页 下页 返回 结束 例例9. 求解0d1d)(2yxxxyx解解:21xyP 这是一个全微分方程 .用凑微分法求通解. 将方程改写为0ddd2xxyyxxx即, 0d21d2xyx故原方程的通解为021d2xyx或Cxyx221,xQ目录 上页 下页 返回 结束 思考思考: 如何解方程?0
17、dd)(3yxxyx这不是一个全微分方程 ,12x就化成例9 的方程 .,0),(yx使0d),(),(d),(),(yyxQyxxyxPyx为全微分方程,),(yx则称在简单情况下, 可凭观察和经验根据微分倒推式得到为原方程的积分因子.但若在方程两边同乘注注:若存在连续可微函数 积分因子.目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 格林公式LyQxPdd2. 等价条件在 D 内与路径无关.yPxQ在 D 内有yQxPudddyxyPxQDddLyQxPdd对 D 内任意闭曲线 L 有0ddLyQxP在 D 内有设 P, Q 在 D 内具有一阶连续偏导数, 则有为全微分方程0ddyQx
18、P目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1. 设,4:, 1:222412yxlyxL且都取正向, 问下列计算是否正确 ?Lyxxyyx22d4d) 1(lyxxyyx22d4dlxyyxd4d41Dd5415Lyxxyyx22dd)2(lyxxyyx22ddlxyyxdd41Dd2412提示提示:时022 yxyPxQ) 1(yPxQ)2(LO2y1x2lD目录 上页 下页 返回 结束 2. 设, )56,4(),(42234yyxxyxyxugradgrad).,(yxu求提示提示:),(dyxuxxyxd)4(34yyyxd)56(422),(yxuOyx),(yx)0 ,(
19、xxxxd04yyyxyd)56(0422C551x322yxCy 5xxyxd)4(34yyyxd)56(422),()0 , 0(yxC作业作业P212 2 (1) ; 3 ; 4 (3) ; 5 (1) , (4) ； 6 (2) ,(5) ; *8 (2), (4), (7) ; 9第四节 目录 上页 下页 返回 结束 CCCDOyxaaC 备用题备用题 1. 设 C 为沿yxaxyxaxxayCd)ln(2d22222222ayx从点), 0(a依逆时针), 0(a的半圆, 计算解解: 添加辅助线如图 ,利用格林公式 .原式 =321aaayayd)ln2(D222xaya222xa
20、yyxddC到点目录 上页 下页 返回 结束 D2. 质点M 沿着以AB为直径的半圆, 从 A(1,2) 运动到Dyxdd2点B(3, 4),到原点的距离,解解: 由图知 故所求功为AByxxyddABBAABxxxd) 1(3122 锐角,其方向垂直于OM, 且与y 轴正向夹角为AB)dd(yxxy) 1(21334xyAB的方程F求变力 F 对质点M 所作的功. ( 1990 考研 ) , ),(xyFF 的大小等于点 M 在此过程中受力 F 作用,sFWdO),(yxMBAyx目录 上页 下页 返回 结束 ,0) 1 ,0(,1FCF3. 已知曲线积分与路径无关, 其中求由确定的隐函数解解: 因积分与路径无关 , 故有xFxFxsincosxFxyFysinsin即因此有dcosdsin),(yxxxyyxFL0),(yxF. )(xfy xyFFyxtanxyytan10 xyxycos1xsecsin),(cos),(xyyxFyxyxFxy