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1、 第八章 习题课习题课一、一、基本概念基本概念 二、多元函数微分法二、多元函数微分法 三、多元函数微分法的应用三、多元函数微分法的应用 多元函数微分法多元函数微分法11.1.1.1.设设设设 求求求求 解解解解 22.2.2.2.设设设设 其中其中其中其中 具有二阶导数，具有二阶导数，具有二阶导数，具有二阶导数，具有一阶导数具有一阶导数具有一阶导数具有一阶导数,则有则有则有则有函数函数函数函数 函数函数函数函数 33.3.3.3.设设设设 则则则则 解解解解 4.4.4.4.设设设设 则则则则 z z 在点在点在点在点 的梯度的梯度的梯度的梯度 解解解解 45.5.5.5.设设设设 单位向量单
2、位向量单位向量单位向量 则则则则 解解解解 56.6.6.6.设设设设 由方程由方程由方程由方程 所确定，所确定，所确定，所确定，求求求求 d dz.z.解解解解 设设设设 解法解法解法解法2 2 2 2 两边微分得到两边微分得到两边微分得到两边微分得到 67.7.7.7.设设设设 由方程由方程由方程由方程 所确定所确定所确定所确定,求当求当求当求当 时，时，时，时，解解解解 当当当当 时，时，时，时，设设设设 z z 的全微分的全微分的全微分的全微分 d d z z.解法解法解法解法2 2 2 2 两边微分两边微分两边微分两边微分 代入得代入得代入得代入得 78.8.8.8.已知直线已知直线
3、已知直线已知直线 是曲面是曲面是曲面是曲面 在点在点在点在点MM处的处的处的处的法线法线法线法线，试确定试确定试确定试确定 x x0 0 和和和和 z z0 0 的值。的值。的值。的值。解解解解 S S S S 在点在点在点在点 M M 处的法向量处的法向量处的法向量处的法向量 L L 的方向向量的方向向量的方向向量的方向向量 由题意由题意由题意由题意 得得得得 即点即点即点即点 为为为为L L与与与与S S S S 的交点。的交点。的交点。的交点。MM在在在在L L上，上，上，上，8101101101101页页页页7.7.7.7.求过点求过点求过点求过点的平面，的平面，的平面，的平面，该平面
4、该平面该平面该平面在坐标轴在坐标轴在坐标轴在坐标轴的截距的截距的截距的截距都是正数，都是正数，都是正数，都是正数，且平面且平面且平面且平面与三个坐标面与三个坐标面与三个坐标面与三个坐标面 所围成所围成所围成所围成 的四面体的四面体的四面体的四面体体积最小，体积最小，体积最小，体积最小，并求并求并求并求最小四面体最小四面体最小四面体最小四面体 的体积。的体积。的体积。的体积。解解解解 设设设设平面方程为平面方程为平面方程为平面方程为过已知点过已知点过已知点过已知点得得得得四面体四面体四面体四面体体积体积体积体积等价于等价于等价于等价于在在在在，问题，问题，问题，问题下的最小值。下的最小值。下的最
5、小值。下的最小值。唯一驻点唯一驻点唯一驻点唯一驻点平面方程为平面方程为平面方程为平面方程为9101101101101页页页页8.8.8.8.在椭球面在椭球面在椭球面在椭球面的第一卦限的第一卦限的第一卦限的第一卦限部分上求部分上求部分上求部分上求一点，一点，一点，一点，使该点处使该点处使该点处使该点处的切平面、的切平面、的切平面、的切平面、椭球面椭球面椭球面椭球面及三个坐标面及三个坐标面及三个坐标面及三个坐标面在第一卦限在第一卦限在第一卦限在第一卦限所围成的立体所围成的立体所围成的立体所围成的立体体积最小，体积最小，体积最小，体积最小，并求最小的体积。并求最小的体积。并求最小的体积。并求最小的体
6、积。解解解解 切点为切点为切点为切点为切平面方程为切平面方程为切平面方程为切平面方程为证明证明证明证明切平面的切平面的切平面的切平面的法向量法向量法向量法向量切平面切平面切平面切平面方程方程方程方程切平面切平面切平面切平面在坐标轴在坐标轴在坐标轴在坐标轴的截距的截距的截距的截距立体立体立体立体体积体积体积体积等价于等价于等价于等价于在在在在下的最大值。下的最大值。下的最大值。下的最大值。设拉格朗日函数设拉格朗日函数设拉格朗日函数设拉格朗日函数问题问题问题问题10令令令令唯一驻点唯一驻点唯一驻点唯一驻点由实际意义可知由实际意义可知由实际意义可知由实际意义可知切点：切点：切点：切点：存在最小值存在
7、最小值存在最小值存在最小值最小体积最小体积最小体积最小体积11上求一点上求一点上求一点上求一点 ,例例例例1 1 1 1在曲面在曲面在曲面在曲面并写出该法线方程并写出该法线方程并写出该法线方程并写出该法线方程 .解解解解:得得得得垂直于垂直于垂直于垂直于平面平面平面平面使该点处的法线使该点处的法线使该点处的法线使该点处的法线设所求点为设所求点为设所求点为设所求点为相当于相当于相当于相当于 曲面在该点曲面在该点曲面在该点曲面在该点 的法向量的法向量的法向量的法向量垂直于垂直于垂直于垂直于已知平面已知平面已知平面已知平面的法向量的法向量的法向量的法向量平行于平行于平行于平行于已知平面的法向量已知平
8、面的法向量已知平面的法向量已知平面的法向量曲面在该点曲面在该点曲面在该点曲面在该点的法向量的法向量的法向量的法向量所求的点为所求的点为所求的点为所求的点为曲面在该点曲面在该点曲面在该点曲面在该点法线方程为法线方程为法线方程为法线方程为12例例例例2.2.2.2.抛物面抛物面抛物面抛物面被平面被平面被平面被平面截成一截成一截成一截成一椭圆椭圆椭圆椭圆，求求求求原点原点原点原点到这到这到这到这椭圆椭圆椭圆椭圆 的最长距离的最长距离的最长距离的最长距离 与最短距离与最短距离与最短距离与最短距离解解解解题目相当于求题目相当于求题目相当于求题目相当于求在条件在条件在条件在条件和和和和下的极值下的极值下的
9、极值下的极值设拉格朗日函数设拉格朗日函数设拉格朗日函数设拉格朗日函数令令令令最长距离最长距离最长距离最长距离最短距离最短距离最短距离最短距离13例例例例3.3.3.3.求平面求平面求平面求平面和柱面和柱面和柱面和柱面的交线上的交线上的交线上的交线上与与与与xOyxOy平面平面平面平面距离最近的点距离最近的点距离最近的点距离最近的点解解解解等价于求等价于求等价于求等价于求在条件在条件在条件在条件下的最小值下的最小值下的最小值下的最小值,点点点点到到到到xOyxOy平面平面平面平面距离距离距离距离为为为为设拉格朗日函数设拉格朗日函数设拉格朗日函数设拉格朗日函数令令令令或或或或与与与与xOyxOy平
10、面平面平面平面 距离最近点距离最近点距离最近点距离最近点最远点最远点最远点最远点14例例例例4 4 4 4 已知三角形周长为已知三角形周长为已知三角形周长为已知三角形周长为12121212。问当它各边长为多少时，问当它各边长为多少时，问当它各边长为多少时，问当它各边长为多少时，绕其一边旋转绕其一边旋转绕其一边旋转绕其一边旋转解解解解:x x 边上的高为边上的高为边上的高为边上的高为 h h ，则则则则x xy yz zh h旋转体体积旋转体体积旋转体体积旋转体体积V V V V设设设设所得旋转体的体积最大？所得旋转体的体积最大？所得旋转体的体积最大？所得旋转体的体积最大？设三角形三边长为设三角
11、形三边长为设三角形三边长为设三角形三边长为 x x，y y，z z，且绕且绕且绕且绕 x x 边旋转。边旋转。边旋转。边旋转。设三角形面积为设三角形面积为设三角形面积为设三角形面积为 S S.是两个圆锥体体积之和是两个圆锥体体积之和是两个圆锥体体积之和是两个圆锥体体积之和本题即求本题即求本题即求本题即求在条件在条件在条件在条件下的最大值。下的最大值。下的最大值。下的最大值。令令令令15由由由由由由由由 (1),(2),(3)(1),(2),(3)得得得得由前式得由前式得由前式得由前式得由后式得由后式得由后式得由后式得代入代入代入代入 (4)(4)并化简并化简并化简并化简是是是是唯一唯一唯一唯一
12、驻点，驻点，驻点，驻点，也是所求最大值点。也是所求最大值点。也是所求最大值点。也是所求最大值点。16已知曲面已知曲面已知曲面已知曲面 上一点上一点上一点上一点MM处处处处平行于平面平行于平面平行于平面平行于平面 证明：证明：证明：证明：证证证证 设点设点设点设点 曲面在曲面在曲面在曲面在点点点点MM的法向量的法向量的法向量的法向量 由题意，由题意，由题意，由题意，则则则则 即即即即 点在点在点在点在 yozyoz 平面上。平面上。平面上。平面上。平面的法向量平面的法向量平面的法向量平面的法向量 的的的的法线法线法线法线L L点点点点 MM在在在在 yoyoz z 平面上。平面上。平面上。平面上
13、。例例例例5 5 5 5 17例例例例6.6.6.6.其底部所占的区域为其底部所占的区域为其底部所占的区域为其底部所占的区域为 小山的高度函数为小山的高度函数为小山的高度函数为小山的高度函数为 1).1).1).1).设设设设 为区域为区域为区域为区域D D D D上一点，上一点，上一点，上一点，问问问问 在该点沿在该点沿在该点沿在该点沿 平面上什么方向平面上什么方向平面上什么方向平面上什么方向若记此方向导数的若记此方向导数的若记此方向导数的若记此方向导数的 最大值为最大值为最大值为最大值为 试写出试写出试写出试写出 的表达式。的表达式。的表达式。的表达式。2).2).2).2).现要利用此小
14、山现要利用此小山现要利用此小山现要利用此小山要在要在要在要在D D的边界线的边界线的边界线的边界线 找出使找出使找出使找出使1 1 1 1中的中的中的中的 达到最大值的点，达到最大值的点，达到最大值的点，达到最大值的点，设有一小山，设有一小山，设有一小山，设有一小山，它的底面它的底面它的底面它的底面 所在的平面为所在的平面为所在的平面为所在的平面为xoyxoy平面平面平面平面,为此需要在山脚为此需要在山脚为此需要在山脚为此需要在山脚 开展攀岩活动，开展攀岩活动，开展攀岩活动，开展攀岩活动，也就是说，也就是说，也就是说，也就是说，试确定攀登起点的位置试确定攀登起点的位置试确定攀登起点的位置试确定
15、攀登起点的位置.的方向导数最大？的方向导数最大？的方向导数最大？的方向导数最大？解解解解：1)1)1)1)由梯度的几何意义知，由梯度的几何意义知，由梯度的几何意义知，由梯度的几何意义知，在点在点在点在点 沿梯度沿梯度沿梯度沿梯度 方向的方向导数最大，方向的方向导数最大，方向的方向导数最大，方向的方向导数最大，最大值为梯度的模，所以最大值为梯度的模，所以最大值为梯度的模，所以最大值为梯度的模，所以 寻找一上山坡度最大的点寻找一上山坡度最大的点寻找一上山坡度最大的点寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点作为攀登的起点作为攀登的起点作为攀登的起点.2.2.2.2.求求求求 在在在在 约束下的约束下的约束下的约束下的 最大值点。最大值点。最大值点。最大值点。182)2)2)2)求求求求 在在在在 约束下的约束下的约束下的约束下的 最大值点。最大值点。最大值点。最大值点。令令令令 由由由由 +得得得得 或或或或 若若若若 则由则由则由则由有有有有 代入代入代入代入 若若若若 代入代入代入代入 得得得得 4 4 4 4 个可能的极值点个可能的极值点个可能的极值点个可能的极值点 都可以作为都可以作为都可以作为都可以作为攀登攀登攀登攀登的起点。的起点。的起点。的起点。19